高校数学III 一次漸化式と極限—定数を引く変形から収束する条件まで調べる｜武蔵野個別指導塾

不動点を引いて差の一般項を求め、負の公比と初項の例外を調べることで、一次漸化式の収束に根拠を与えます。

よくあるのは、理系高3が演習ノートに「極限をαとおく」と書き、漸化式に代入して得た値で解答を終える場面です。その値は、収束すると仮定した場合の候補です。実際に近づくかどうかは、初項からの変化を追わなければ決まりません。定数との差を等比数列に変え、候補と収束の根拠を別々に調べましょう。

どこで場合を分けるか

一次漸化式 aₙ₊₁ = p aₙ + q では、次の3つの問いが典型です。nは正の整数、pとqは実数とします。

1. 初項と更新式から一般項を求め、極限を出す問いです。一定値を引いて等比数列を作ります。
2. 係数pが負のとき、候補の両側を行き来する項が収束するかを問う形です。符号の交代と差の大きさの両方を見ます。
3. pや初項が文字のとき、収束する条件を分類する問いです。差が最初からゼロなら、公比の大きさにかかわらず定数列となる場合があります。

この順番では、候補を見つけた段階で答えを確定しません。一般項を得てから、ゼロに近づく部分、一定の部分、交互に動く部分を見分けます。数学IIIの数列の極限の考えを使い、更新式の範囲に絞って調べます。

動かない値と、そこからの距離

更新しても変わらない数αを不動点と呼びます。αはα = pα + qを満たします。p ≠ 1なら、α = q/(1-p)と一意に定まります。p = 1ではこの割り算ができないので、後で更新式そのものに戻ります。

図1のように、不動点αを各項から引くと、定数項が消えます。図の矢印は項の更新による差の変化を表します。数直線上の距離を描いたものではありません。

bₙ = aₙ − αとおきます。α = pα + qを使うと、次のように1行ずつ変形できます。

bₙ₊₁ = aₙ₊₁ - α
       = p aₙ + q - (pα + q)
       = p(aₙ - α)
       = p bₙ

初項はb₁ = a₁ − αです。したがってbₙ = (a₁ − α)pⁿ⁻¹、元に戻してaₙ = α + (a₁ − α)pⁿ⁻¹を得ます。p = 0でもn = 1を初項として別に見れば、n ≧ 2ではaₙ = αです。一般項を書く際の0の0乗を使う必要はありません。

|p| < 1ならpⁿ⁻¹は0へ近づき、aₙはαに収束します。逆に|p| ≧ 1でも、a₁ = αなら差は常に0なので定数列です。差がゼロでない場合、p = -1では2値を交互に取り、p > 1では差の絶対値が限りなく大きくなり、p < -1では符号を交互に変えながら絶対値が大きくなります。いずれも有限値には収束しません。

p = 1ならaₙ₊₁ = aₙ + qです。q = 0では初項のまま、q ≠ 0ではaₙ = a₁ + (n-1)qとなり、有限値に収束しません。この場合は不動点を使う公式に無理に代入しないことが要点です。

差の式は、収束する速さの比較にも役立ちます。例えば差の絶対値が毎回1/3倍なら、更新を2回行うと元の1/9倍です。初めの差が大きくても、繰り返すうちに小さくなります。一方、公比の絶対値が1なら差の大きさは縮みません。符号が変わるかどうかまで調べると、定数列と交互に動く列を区別できます。

収束を仮定して更新式の両辺の極限を取る方法にも役割があります。有限値に収束するなら、1項ずらした数列も同じ値に収束するので、その値は不動点の方程式を満たします。ただし、その方程式を満たす値が存在することと、初項から生成された列がそこに近づくことは別の事実です。一般項や差の評価で後者を示して初めて、候補を極限として採用できます。

基本：3で割る更新を追う

【問題】a₁ = 5、aₙ₊₁ = (aₙ + 8)/3で定まる数列の一般項と極限を、正確な式で求めてください。

まず不動点をαとし、その値を解きます。ここでは係数が1/3なので、1との差はゼロではありません。

α = (α + 8)/3
3α = α + 8
2α = 8
α = 4

候補は4です。これだけでは収束を示していないので、各項から4を引きます。

aₙ₊₁ - 4 = (aₙ + 8)/3 - 4
              = (aₙ - 4)/3

bₙ = aₙ − 4とすると、b₁ = 5 − 4 = 1、bₙ₊₁ = bₙ/3です。よって次を得ます。

bₙ = (1/3)ⁿ⁻¹
aₙ = 4 + (1/3)ⁿ⁻¹
lim[n→∞] aₙ = 4

最後の行は、|1/3| < 1から等比数列が0に収束することによります。一般項にn = 1を代入すると5です。また、一般項の右辺を更新式に入れると4 + (1/3)ⁿとなり、次の項と一致します。初項と更新の両方に戻るので、求めた式が元の数列を表すと確認できます。

図2のように、最初の4項は5、13/3、37/9、109/27です。4との差は順に1、1/3、1/9、1/27となります。点は項を表し、点の間に別の項があるという意味ではありません。各項は4より大きく、更新後も4より大きいので、この例では4以上の範囲が保たれます。

なお、初項が4より小さければ差は負のまま縮み、下側から4に近づきます。初項が4なら初めから4が続きます。同じ更新式でも、初項によって近づく向きが違うことを式は表しています。

標準：負の公比で左右から近づく

【問題】a₁ = 7、aₙ₊₁ = -aₙ/2 + 3で定まる数列の一般項と極限を、正確な式で求めてください。

不動点αは次のように求めます。

α = -α/2 + 3
2α = -α + 6
3α = 6
α = 2

2との差を取ると、更新のたびに差が-1/2倍になります。

aₙ₊₁ - 2 = -aₙ/2 + 3 - 2
              = -(aₙ - 2)/2
bₙ = aₙ - 2
b₁ = 5
bₙ₊₁ = -bₙ/2
bₙ = 5(-1/2)ⁿ⁻¹
aₙ = 2 + 5(-1/2)ⁿ⁻¹

|-1/2| < 1ですから、符号が交代しても差の絶対値は0に近づきます。よってlim[n→∞] aₙ = 2です。単調に増加または減少することは、この収束に必要ではありません。

最初の項は7、-1/2、13/4です。2より上、下、上と動きますが、2との差の絶対値は5、5/2、5/4と半分ずつです。一般項にn = 1を入れると7で、更新式に入れると次の指数に進みます。また更新式 -x/2 + 3 は、区間[-1/2, 7]の両端をそれぞれ13/4と-1/2に移します。減少する一次式なので、その間の値も[-1/2, 13/4]に移り、元の区間内に残ります。初項からの項がこの範囲にあることも元の更新式と矛盾しません。

発展：公比が大きくても止まる初項

【問題】実数tに対し、a₁ = t、aₙ₊₁ = 2aₙ − 3とします。有限の極限をもつtをすべて求め、そのときの極限を答えてください。

不動点αを先に求めます。

α = 2α - 3
α = 3
aₙ₊₁ - 3 = 2aₙ - 6
              = 2(aₙ - 3)
aₙ - 3 = (t - 3)2ⁿ⁻¹
aₙ = 3 + (t - 3)2ⁿ⁻¹

t = 3なら差は常に0です。実際、初項3を更新すると2・3 − 3 = 3なので、以後も3が続き、極限は3です。

t > 3ならt − 3は正で、差は限りなく大きくなります。t < 3なら差は負で、その絶対値は限りなく大きくなります。いずれも有限値には収束しません。したがって求める条件はt = 3、極限は3です。

この例では、公比2の等比数列だから収束しないと即断すると、初項がゼロの差の列を落とします。逆に、方程式の解3を出しただけではt ≠ 3の場合の不収束を説明できません。候補、差の一般項、初項による場合分けの3つを揃えます。

誤答をどこで直すか

発展の問題で「極限をLとするとL = 2L − 3なので、どのtでも極限は3」と書いたとします。最初の条件付きの計算から得られるのは、収束するならL = 3という必要な条件です。収束そのものを証明する式ではありません。

図3のように、t = 3なら差が0のままですが、t = 4なら差は1、2、4と増えます。後者は実際の項が4、5、7となり、3から遠ざかります。同じ候補式でも初項を区別する必要があります。両方とも元の更新式に代入して、次の値を直接たどれます。

修正するときは、まず「収束すると仮定すれば候補は3」と書き換えます。続けてaₙ − 3 = (t − 3)2ⁿ⁻¹を導き、t = 3とt ≠ 3で差を調べます。これにより候補が実現する場合と、候補に近づかない場合を両方処理できます。

もう一つの誤りは、aₙ₊₁ − α = p(aₙ − α)からaₙ = (a₁ − α)pⁿ⁻¹とすることです。右辺が表すのはaₙそのものではなく、αからの差です。最後にαを戻し、n = 1で元の初項になるかを調べれば、戻し忘れに気づけます。

練習：更新式から条件まで

次の5問では、nは正の整数です。一般項と極限は正確な式で答え、有限値に収束しない場合はその理由も述べてください。

1. a₁ = 2、aₙ₊₁ = (aₙ + 6)/4の一般項と極限を求めてください。
2. a₁ = -1、aₙ₊₁ = -aₙ/3 + 4の一般項と極限を求めてください。
3. a₁ = s、aₙ₊₁ = -aₙ + 10が有限値に収束する実数sと、その極限を求めてください。
4. a₁ = 6、aₙ₊₁ = aₙ + cが有限値に収束する実数cと、その極限を求めてください。
5. a₁ = u、aₙ₊₁ = r aₙ + 2 − 2rとします。実数r、uについて有限値に収束する条件と、その極限を分類してください。

練習の答えと道筋

1. 不動点αは4α = α + 6からα = 2です。初項も2なので差は初めから0です。更新式に2を戻しても2となり、aₙ = 2、極限は2です。等比数列の公比を調べる前に、差の初項も見ます。

2. α = -α/3 + 4を解くとα = 3です。差の初項は-4、公比は-1/3です。

aₙ - 3 = -4(-1/3)ⁿ⁻¹
aₙ = 3 - 4(-1/3)ⁿ⁻¹
lim[n→∞] aₙ = 3

初項は-1に戻り、次の項は13/3です。更新式からも-(-1)/3 + 4 = 13/3となります。差の絶対値は1/3倍ずつ減るため、左右に振れても収束します。

3. 不動点は5です。差の式と偶奇を調べます。

aₙ₊₁ - 5 = -(aₙ - 5)
aₙ = 5 + (s - 5)(-1)ⁿ⁻¹

s = 5なら常に5で、極限は5です。s ≠ 5なら奇数項はs、偶数項は10 − sで、両者は異なります。したがって有限値に収束する条件はs = 5です。5を更新式へ戻しても5です。

4. 更新の差が常にcなので、aₙ = 6 + (n-1)cです。c = 0なら定数列で極限は6、c ≠ 0なら項は正または負の方向に限りなく大きくなります。答えのc = 0を元の式に戻すとaₙ₊₁ = aₙとなり、初項6が保たれます。

5. 2はどのrでも更新されない値です。差を取ると次の式になります。

aₙ₊₁ - 2 = r(aₙ - 2)
aₙ - 2 = (u - 2)rⁿ⁻¹

r = 0は初項の次から2です。r ≠ 0についても同じ差の式を使い、|r| < 1なら任意のuで極限は2です。u = 2なら任意のrで定数列となり、極限は2です。r = 1なら更新式はaₙ₊₁ = aₙであり、任意のuで極限はuです。残るr = -1かつu ≠ 2では2値を交互に取り、|r| > 1かつu ≠ 2では差の絶対値が大きくなるので収束しません。したがって条件は|r| < 1、またはu = 2、またはr = 1です。重なる場合の値はいずれも一致します。r = 1では更新式が恒等式となる点に注意してください。

持ち帰る4行

不動点を引くと、差は等比数列になります。 候補への収束は、公比と差の初項から示します。 差の初項が0なら、公比が大きくても定数列です。 p = 1は元の更新式に戻して調べます。

ノートの途中式で確かめること

解答を見直すときは、まず不動点の式の右辺に元の定数項が残っているかを見ます。次に、差を取った式で括弧の中がaₙ − αになっているか、初項の差がa₁ − αになっているかを確認します。符号が負のときは、2項ほど実際に更新して交互の向きと一般項の符号が一致するかを照合してください。

個別指導で確認するなら、候補の方程式から結論へ飛んだ行に印を付け、そこで収束をどう示すかを本人に説明してもらいます。文字を含む場合は、差が0になる初項と、公比が1または-1となる境界を別に代入します。初項と更新式へ答えを戻す習慣が、一次漸化式の極限の根拠を支えます。