高校数学C 複素数平面と極形式—絶対値と偏角から積と商の図形を読む｜武蔵野個別指導塾

偏角の周期と0の扱いを押さえ、積と商の長さと角度を複素数平面で読み解きます。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が、複素数の偏角を一つの値しかないと考える場面です。例えば正の実軸から反時計回りに一周して同じ向きへ戻っても、測った角には一周分の違いがあります。図の点は同じなのに角の表記が異なる理由を、原点からの距離と向きに分けて見ていきます。

複素数平面では、数の計算と点の位置を行き来します。実部と虚部から点を描くところから始め、積や商を取ったときに長さと向きがどう変わるかを追います。累乗の公式や方程式の解の配置、原点以外を中心とする回転はここでは扱いません。

テストで区別したい3つの問い

1つ目は、複素数 a+bi に対応する点、共役な複素数、絶対値を求める問いです。横軸に実部 a、縦軸に虚部 b を取ると、点は (a, b) です。共役な数は虚部の符号を反対にしますが、実部まで反対にするわけではありません。図で見ると実軸を折り目にした対称な位置です。

2つ目は、0でない複素数の絶対値と偏角から極形式を書く問いです。角を1つ見つけた後、それと同じ向きに至る角を考えます。問題が偏角の範囲を指定したときは、その範囲に入る代表を選びます。範囲を指定しないとき、1つの角だけを偏角の全部として書くと、一周分を加えた角が抜けます。

3つ目は、積または商の絶対値と偏角を使って点を求める問いです。積では長さを掛け、角を足します。商では長さを割り、分子の角から分母の角を引きます。商は分母が0でないときに限ります。まず0かどうかを見てから角を使うと、定義されない式を作らずに済みます。

点の座標と角の対応

複素数 z = a+bi の実部は a、虚部は b です。虚部は bi ではなく、その係数 b を指します。実軸と虚軸は直交し、原点 O から点 P(a, b) までの距離を絶対値 |z| と呼びます。三平方の関係から |z| = √(a²+b²) です。距離なので負にはならず、|z| = 0 となるのは a = b = 0 のときです。

図1のように、3+4i に対応する点と、その共役な複素数 3-4i に対応する点を実軸の両側に取ります。どちらも原点からの距離は √(3²+4²) = 5 です。一方、原点から見た向きは実軸に対して互いに反対側になります。共役では横の成分を保ち、縦の成分の符号を変えるので、この対称性が生まれます。

図1では横の目盛りと縦の目盛りを同じ縮尺で読みます。距離を示す線分の長さも、2つの点で等しくなっています。実部が負の点なら虚軸の左側に、虚部が負の点なら実軸の下側に置きます。符号を先に読んで位置を決めれば、計算した絶対値が正しくても点を別の象限に描く失敗を防げます。

0でない z の偏角は、正の実軸から半直線 OP まで測った向きつきの角です。反時計回りを正、時計回りを負とし、ラジアンで表します。例えば正の虚軸の向きなら π/2 も -3π/2 も同じ向きを表します。一般に1つの偏角を θ とすると、偏角は θ+2kπ、ただし k は整数です。整数を正にも負にも取れるので、一周を足す場合と引く場合の両方が含まれます。

0に対応する点は原点です。原点から原点へ向かう半直線の向きは決まらないため、0の偏角は定義しません。0の絶対値は0と決まりますが、偏角まで0と決めてはいけません。問題に角が現れたら、最初に対象の複素数が0でないことを確かめます。

r = |z| > 0、θ を z の偏角とすると、z = r(cos θ+i sin θ) と表せます。これが極形式です。横成分は r cos θ、縦成分は r sin θ ですから、展開すると元の a+bi に戻ります。逆に、座標から書くときは r を先に求め、cos θ = a/r、sin θ = b/r を同時に満たす角を選びます。正接だけで選ぶと、向きが半周ずれた点を区別できないので注意します。

基本例題：積の長さと向きを追う

問題：z = 1+i、w = √3+i とします。z と w の絶対値を根号を用いた正確な形で求め、それぞれについて 0以上2π未満の偏角を1つ求めて極形式で表してください。さらに zw の絶対値と、同じ範囲の偏角を求め、zw を a+bi の形で表してください。角は π を用いた正確な値で答えます。

まず z の実部と虚部はどちらも1です。よって距離の式に代入すると、

|z| = √(1²+1²) = √2

です。cos θ = 1/√2、sin θ = 1/√2 となり、点は第1象限にあります。指定範囲で θ = π/4 です。したがって、

z = √2(cos(π/4)+i sin(π/4))

となります。次に w については、

|w| = √((√3)²+1²) = √4 = 2

です。実部と虚部を2で割ると、cos φ = √3/2、sin φ = 1/2 です。点は第1象限にあり、指定範囲の偏角は φ = π/6 です。よって、

w = 2(cos(π/6)+i sin(π/6))

と書けます。積では絶対値を掛けるため |zw| = √2 × 2 = 2√2 です。偏角は π/4+π/6 = 3π/12+2π/12 = 5π/12 です。この角は指定範囲に入っています。図2のように、積の向きはそれぞれの向きの角を足した位置にあり、長さは2つの距離の積です。

w の偏角は π/6、積 zw の偏角は 5π/12 です。この角の関係を座標の計算でも確かめます。分配法則と i² = -1 を使うと、

zw = (1+i)(√3+i)

= √3+i+√3i+i²

= (√3-1)+(√3+1)i

です。実部と虚部はいずれも正で、5π/12 が第1象限にあることと一致します。さらに元の点の条件に戻して、積の成分の平方和を取ると、(√3-1)²+(√3+1)² = 8 です。距離は √8 = 2√2 となり、長さの積と一致します。角も加法定理により cos(5π/12) = (√3-1)/(2√2)、sin(5π/12) = (√3+1)/(2√2) なので、極形式を展開すると同じ成分に戻ります。

積の規則は暗記した操作に見えても、2つの極形式を展開し、三角関数の加法定理でまとめると得られます。偏角が指定範囲を超えるときは、最後に2πの整数倍を加減して範囲に戻します。長さに角を足したり、角を掛けたりしないよう、それぞれ別の行に書くと見直しやすくなります。

商では引く順序と0を確かめる

問題：u = -2+2√3i、v = 1-i とします。u/v の絶対値と偏角を求め、偏角は -π以上π未満の範囲で π を用いて答えてください。また、商を a+bi の形で正確に表してください。

まず分母 v は0ではないので商を作れます。|u| = √(4+12) = 4、|v| = √(1+1) = √2 です。u は第2象限にあり、実部を4で割ると -1/2、虚部を4で割ると √3/2 なので、偏角の1つは 2π/3 です。v は第4象限にあり、偏角の1つは -π/4 です。

商の絶対値は 4/√2 = 2√2 です。偏角は分子から分母を引くので、

2π/3 − (-π/4) = 8π/12+3π/12 = 11π/12

です。これは -π以上π未満に入ります。引く角が負なので、括弧を外すと足し算になります。分母と分子を逆に引けば向きが逆になり、元の商とは異なります。

成分でも確かめます。分母と分子に v の共役 1+i を掛けると、

u/v = (-2+2√3i)(1+i)/((1-i)(1+i))

= ((-2-2√3)+(-2+2√3)i)/2

= (-1-√3)+(√3-1)i

です。実部は負、虚部は正で、第2象限の 11π/12 と合います。求めた商に元の分母を掛けると、実部は (-1-√3)+(√3-1) = -2、虚部は (√3-1)-(-1-√3) = 2√3 です。元の u に戻るので、商の立式と成分を確認できます。

ここでの分かれ目は、分母が0かどうかです。分母が0なら、絶対値の比の分母も0になり、商も偏角の差も求められません。分子が0で分母が0でなければ商は0です。その絶対値は0ですが、商の偏角は定義されません。非零の数どうしの公式を、0のケースへそのまま移さないようにします。

誤答から向きを直す

例えば z = i の偏角を「π/2 しかない」と答える誤りを考えます。π/2 自体は正しい偏角ですが、指定範囲がないのに他の表し方を除いてしまっています。原因は、角を測る回転と、最後に向く半直線を同じものとして扱うことです。図3のように、π/2 と -3π/2 は回る向きと回転量が異なっても、最後は正の虚軸を向きます。

図3の2つの角の差は2πです。範囲の指定がなければ、偏角は π/2+2kπ、k は整数と直します。一方、0以上2π未満という条件なら、π/2 を答えます。-3π/2 は同じ向きでも指定範囲の外です。範囲を見落として一般形を書くだけでも、範囲を指定されていないのに代表値だけを書くことでも、求められた答えとずれます。

もう1つの誤りは、z = -2 の偏角を0とすることです。絶対値は2ですが、点は負の実軸にあります。正の実軸から半周した π が偏角の1つで、一般には π+2kπ です。角度を出した後に、cos の符号と sin の値を元の実部・虚部に戻して確認してください。絶対値だけでは、正の実軸と負の実軸を区別できません。

自分で確かめる4問

次の問題はすべて正確な値で答え、角は π を使います。偏角に範囲の指定がある場合はその範囲の値を答えます。

1. z = -3-4i の共役、絶対値、対応する点の座標を求めてください。絶対値は整数で表します。
2. z = -1+√3i を極形式で表してください。絶対値は整数、偏角は 0以上2π未満とします。範囲を指定しない偏角も k を整数として表してください。
3. z = 2i、w = -1+i とします。zw の絶対値を根号を用いて求め、偏角を -π以上π未満で表してください。積も a+bi の形にしてください。
4. z = 3-3√3i、w = -2i とします。z/w の絶対値を整数、偏角を 0以上2π未満で求め、商を a+bi の形で表してください。

解答と考え方

1. 共役は -3+4i、絶対値は √((-3)²+(-4)²) = 5、元の点の座標は (-3, -4) です。共役の点は (-3, 4) で、実軸からの上下の距離が等しくなります。元の点の横と縦の成分を平方して足すと25で、答えの距離5の平方に戻ります。

2. 絶対値は √(1+3) = 2 です。実部と虚部を2で割ると -1/2 と √3/2 なので、指定範囲の偏角は 2π/3 です。極形式は 2(cos(2π/3)+i sin(2π/3)) です。範囲を指定しない偏角は 2π/3+2kπ です。展開すると -1+√3i に戻り、第2象限という元の位置とも合います。

3. |z| = 2、|w| = √2 なので |zw| = 2√2 です。偏角の1つは z が π/2、w が 3π/4 です。その和 5π/4 から2πを引くと、指定範囲の -3π/4 になります。直接掛けると 2i(-1+i) = -2-2i です。この点は第3象限にあり、平方和は8なので、角と距離の両方が積の計算と一致します。

4. 分母 -2i は0ではありません。|z| = √(9+27) = 6、|w| = 2 ですから商の絶対値は3です。偏角の1つを z は -π/3、w は -π/2 とすると、その差は π/6 で指定範囲にあります。直接計算すると (3-3√3i)/(-2i) = 3√3/2+(3/2)i です。この商に -2i を掛けると 3-3√3i に戻ります。また両成分を3で割った値はそれぞれ √3/2、1/2 で、π/6 の向きとも一致します。

手元に残す要点

• 複素数 a+bi は点 (a, b)、共役は実軸に関して対称です。
• 0以外の偏角は2πの整数倍だけ違っても同じ向きです。
• 積では絶対値を掛けて偏角を足し、商では割って引きます。
• 分母0の商は作れず、0の偏角は定義しません。

どこで止まったかを見る

点は正しく描けるのに角を選べないなら、実部と虚部の符号から象限を言い、求めた角の cos と sin の符号を照合します。角は合っているのに商の成分が違うなら、分子から分母の角を引いたか、負の角を括弧に入れたかを見ます。個別指導で確かめるときも、完成した答えだけでなく、最初に0を除いた行と、範囲に角を戻した行を指して説明してみてください。どの判断が抜けたかが式に現れます。

計算が進まないときは、角の値を急いで求める前に、原点から点までの線分を描きます。実軸上の点も含め、向きが決まるかどうかを図で判断すると、0の特別な扱いを見落としにくくなります。