高校数学C ド・モアブルの定理—累乗と方程式の解を円周上に配置する｜武蔵野個別指導塾

偏角に2kπを加えてから割る理由を押さえ、複素数の累乗と方程式の解を円周上の点として結び付けます。

よくあるのは、定期テスト前に複素数の方程式を解き、偏角を1つ選んで割ったところで答えを1つしか書けない場面です。元の複素数は、角を1周分ずらしても同じ点を表します。その複数の表し方を割ると、異なる解が現れます。累乗では絶対値と偏角がそれぞれどう変わるかを押さえ、方程式では解の重複まで確かめましょう。

どこで定理を使うか

出方の1つは、複素数を何回も掛けた結果を求める問題です。実部と虚部の形で何度も展開する代わりに、絶対値を累乗し、偏角を回数倍します。最後に求められた形に戻すことまでが計算です。角を求めて途中で止めると、実部と虚部を答える問題には答えられません。

もう1つは、zのn乗が与えられた複素数になるようなzをすべて求める問題です。絶対値はn乗して指定値に、偏角はn倍して指定された角と同じ向きにならなければなりません。指定された角と同じ向きには、2πの整数倍を加えた角も含まれます。

3つ目は解を複素数平面に置き、個数や間隔を説明する問題です。式から出た角を小さい順に並べると、隣り合う解の角の差が見えます。定数が0のときは偏角を使わずに別に考えることも、解の個数を誤らない分かれ目です。学校の範囲表に従って必要な計算を選んでください。

絶対値と偏角の役割

0でない複素数zの絶対値をr、偏角の1つをθとすると、z = r(cos θ + i sin θ)と表せます。ここでrは正、iは2乗すると-1になる数です。原点から点zまでの長さがrで、正の実軸から反時計回りに測った角がθです。時計回りに測る角は負で表します。

同じ点の偏角はθだけではありません。1周を2πとして、θ + 2kπも同じ向きです。kは整数で、正でも負でも0でもかまいません。たとえば1周足した角と元の角は同じ点を指しますが、角を3で割るとその差は2π/3となり、別の方向を指します。方程式で2kπが必要な理由はここにあります。

図1のように、原点からの長さと角を別々に読み取ります。点の位置を決める2つの情報が、掛け算のあとには別々の規則で変化します。

0でない複素数を掛けると、絶対値は掛け合わされ、偏角は足し合わされます。この性質を同じ複素数の積に適用すると、正の整数nについて次の式を得ます。

(r(cos θ + i sin θ))のn乗 = rのn乗 × (cos nθ + i sin nθ)

特にr = 1の部分を表す式がド・モアブルの定理です。rを含む場合も、長さの変化を忘れず一緒に計算します。n = 0なら0でないzの0乗は1です。負の整数乗は逆数を考え、たとえばzの-2乗は1/(z²)です。0の負の整数乗は分母が0になるため定義されません。

たとえば偏角を2倍すると、原点のまわりの回転角は2倍です。ただし点と原点との距離がそのまま2倍になるわけではありません。元の距離がrなら、同じ数を2回掛けた点の距離はr²です。rが1より小さければ距離は小さくなり、rが1なら円周上に残ります。角と距離の操作を混ぜずに書くと、図の位置も予想しやすくなります。

偏角の代表を変えても、累乗の結果は同じです。θの代わりにθ + 2πを選ぶと、n倍した角はnθ + 2nπです。nが整数なら2nπは1周の整数倍なので、同じ向きに戻ります。反対に、方程式では割る前に考える1周の差が割った後には1周未満になるため、複数の点を調べる必要があります。

逆向きに方程式を解くとき、定数が0でなければ、n乗後の長さと向きから元の長さと向きを決めます。定数が0ならz = 0であり、0に偏角を割り当てる必要はありません。長さが0の点は原点で、向きが決まらないためです。

基本例題：3乗して8になる点

問題：複素数zについてz³ = 8を満たす解をすべて求め、実部と虚部を整数または根号を含む形で表してください。また複素数平面上の位置を示してください。

まず右辺8は、絶対値が8、偏角の1つが0の複素数です。0以外なので、zも0ではありません。z = r(cos θ + i sin θ)、r > 0と置いて両辺を比較します。

z³ = r³(cos 3θ + i sin 3θ)

絶対値はr³ = 8です。rは正なのでr = 2です。偏角は3θ = 0 + 2kπ、kは整数です。右辺の偏角を0に限らず、同じ向きの角を全部含めたうえで3で割ります。

θ = 2kπ/3

k = 0, 1, 2の順に、偏角は0、2π/3、4π/3です。kを3増やすとθが2π増え、同じ点に戻るので、これ以降に新しい解は増えません。図2のように、3点は原点から距離2の円周上で、隣り合う角が2π/3ずつ離れています。

それぞれ三角比を代入します。

k = 0：z = 2(cos 0 + i sin 0) = 2

k = 1：z = 2(-1/2 + i√3/2) = -1 + √3i

k = 2：z = 2(-1/2 − i√3/2) = -1 − √3i

したがって答えは2、-1 + √3i、-1 − √3iです。2を3乗すると8です。残りの2点も絶対値は2で、偏角を3倍するとそれぞれ2π、4πとなります。よって3乗した点は長さ8、向き0の点であり、元の条件z³ = 8に戻ります。実際に(-1 + √3i)² = -2 − 2√3iで、これに-1 + √3iを掛けても8です。共役の解も同様に8になります。

解をすべてといえる理由は、任意の解の絶対値が2に限られ、その偏角が2kπ/3に限られるからです。kを3で割った余りは0、1、2のどれかなので、どの整数を選んでも上の3点のいずれかに重なります。図で点を3つ描けたことと、ほかに解がないことを式で示すことは別の確認です。

定数の向きが0でない場合

問題：z⁴ = -16を満たすすべての複素数zを、実部と虚部が根号を含む形で求めてください。解の個数も答えてください。

右辺-16の絶対値は16で、偏角の1つはπです。z = r(cos θ + i sin θ)、r > 0と置くと、絶対値の条件からr⁴ = 16、よってr = 2です。偏角については、負の実軸の向きを表す角をすべて含めます。

4θ = π + 2kπ、kは整数

θ = π/4 + kπ/2

k = 0, 1, 2, 3の偏角は順にπ/4、3π/4、5π/4、7π/4です。それぞれの三角比を使うと解は、√2 + √2i、-√2 + √2i、-√2 − √2i、√2 − √2iです。4点は互いに異なり、kを4増やすと角が2π増えて元の点に戻るため、解の個数は4個です。

元の条件にも戻します。各解の絶対値は2、偏角を4倍した角は順にπ、3π、5π、7πです。いずれも負の実軸の向きなので、4乗すると絶対値16の-16になります。たとえば最初の解は2乗すると4i、さらに2乗すると-16です。角の式だけで終わらせず、与えられた数へ戻るか確かめます。

一般に正の整数nと0でない定数aに対し、zのn乗 = aを考えます。aの絶対値をR、偏角の1つをαとすると、zの絶対値はRの正のn乗根、偏角は(α + 2kπ)/nです。kを1増やすごとに角は2π/n増えます。k = 0からn − 1までのn個は差が2π未満で互いに異なり、kをn増やすと同じ点に戻ります。したがって異なる解はn個です。

一方、a = 0ならzのn乗 = 0の解はz = 0の1個です。0でない定数についての円周上の配置を、原点にそのまま持ち込むことはできません。解の重複を数える前に、定数が0かどうかを見分けましょう。

解を落とす誤答を直す

基本例題で「z³ = 8だから3θ = 0、よってθ = 0」とすると、答えは2だけになります。2自体は正しい解ですが、-1 + √3iと-1 − √3iが抜けています。原因は、8の偏角を0という1つの値に固定したことです。3θが2πや4πでも、3乗後は同じ正の実軸上に来ます。

図3のように、まず同じ向きを表す0 + 2kπを置き、そのあとで3で割ります。元の角では同じ向きだった差が、割った角では2π/3になり、別々の解が生まれます。逆にkをどこまでも書き続けると、すでに出た点を繰り返します。3つの異なる点を並べたあと、kを3増やしたときの一致も調べます。

角の並びから点を比べるときには、角度の大小だけで同じ点かどうかを決めません。たとえば角が負でも、2πを加えた角が既に書かれていれば同じ点です。逆に、角の差が2πの整数倍でなければ、原点からの距離が同じでも異なる点です。式で得た候補を図へ移し、1周したところで重なりを探します。

もう1つの誤りは、z = 2(cos θ + i sin θ)の3乗で、角を3倍しても長さを2のままにすることです。実際には2を3回掛けるので長さは8です。偏角と絶対値を別行に書き、最後に両方を合わせると見落としを減らせます。

負の累乗でz = 0を代入する誤りにも注意します。逆数は分母が0なら定義できません。0を含むかを先に見てから式を使えば、計算結果の有無を判断できます。角を負にした場合も、それだけで誤りではありません。2πの整数倍だけ違う角は同じ方向なので、答えの点を比較して判断します。

自分で解く4問

次の各問は、途中の絶対値と偏角の条件も書いてみてください。答えはすべて正確な形で表し、近似値は使いません。

1. z = √3 + iのとき、z³を実部と虚部が整数となる形で求めてください。
2. z² = -9を満たすすべてのzを、実部と虚部が整数となる形で求め、解の個数を答えてください。
3. z³ = -1を満たすすべてのzを、実部と虚部が分数または根号を含む形で求めてください。
4. z⁵ = 0を満たす複素数zをすべて求め、整数で表してください。また、解の個数を答えてください。

解答と条件への戻し方

1. zの絶対値は√(3 + 1) = 2です。実部と虚部がともに正なので、偏角の1つはπ/6です。ド・モアブルの定理より、z³ = 2³(cos(3π/6) + i sin(3π/6)) = 8iです。確かめに、z² = 2 + 2√3i、さらにこれに√3 + iを掛けると、実部は2√3 − 2√3 = 0、虚部は2i + 6i = 8iとなります。元の数を3回掛けても同じ答えです。

2. z = r(cos θ + i sin θ)、r > 0とすると、r² = 9よりr = 3です。右辺の偏角はπ + 2kπなので、2θ = π + 2kπ、θ = π/2 + kπです。k = 0, 1からz = 3i、-3iを得ます。kを2増やすと同じ点に戻るため、解は2個です。それぞれを2乗すると、どちらも-9になり、問題の条件に戻ります。

3. 右辺の絶対値は1、偏角の1つはπです。zの絶対値も1で、3θ = π + 2kπよりθ = π/3 + 2kπ/3です。k = 0, 1, 2を代入すると、解は1/2 + (√3/2)i、-1、1/2 − (√3/2)iです。3点の偏角を3倍するとπ、3π、5πで、いずれも負の実軸の向きです。長さも1なので3乗は-1となり、元の条件を満たします。kを3増やせば元の点と重なります。

4. 0以外の複素数の5乗は、その絶対値が正の数の5乗となるので0にはなりません。z = 0なら5乗も0です。したがって答えはz = 0、解は1個です。原点に戻して5乗すると与えられた0に一致します。偏角を使う前に、右辺が0であることを見ています。

手元に残す要点

• 整数乗では絶対値を累乗し、偏角をその整数倍にします。
• 0でない定数との方程式では、偏角に2kπを加えてから割ります。
• 正の整数nについて、右辺が0でなければ異なる解はn個です。
• 右辺が0なら解は0の1個で、負の整数乗では底の0を除きます。

止まった式から原因を探す

答えの点が1個しか出なかったら、偏角の条件に2kπがあるかを見ます。点の数は合うのに位置が違う場合は、割る前の偏角と割った後の角を別々に図へ書き、符号と回転方向を確かめます。大きさが合わない場合は、rのn乗を元の定数の絶対値に戻します。

個別指導で確認するなら、解答の最初の偏角の行を見せてもらい、kを1増やしたときに何度の差が生まれるかを尋ねます。次にkをn増やして同じ点に戻ることを確かめれば、解の不足と重複を区別できます。式と円周上の点を往復すると、偏角の1周が解の個数を決める理由が見えてきます。