高校数学II 点の座標と内分点・外分点—比の向きと位置を図で確かめ座標を計算する｜武蔵野個別指導塾

内分と外分の分母の違いを数直線から考え、重心や距離へとつなぐ内分点・外分点です。

よくあるのは、高校生が内分公式と同じ分母を外分点にも使い、計算した点が線分の中に入ってしまう場面です。式の形を覚えていても、点がどこにあるかを先に考えなければ、分母の違いを見落としやすくなります。数直線で長さの関係を作り、平面では横と縦の座標に同じ考えを使いましょう。中点、三角形の重心、2点間の距離も、座標の意味に戻してつなげます。

座標の問題で何を読むか

定期テストでは、2点と比から内分点や外分点を求める型があります。数直線上で位置を判断する問題も、平面上で2つの座標を計算する問題もあります。比の順番は、問題の点の名前の順番と対応させます。順番を取り違えると、計算自体が正しくても別の点になります。

別の型は、内分点や中点の座標から元の端点を逆算するものです。求める端点を文字で置き、座標ごとに方程式を立てます。さらに、三角形の頂点から重心を求めたり、2点間の距離を求めたりする型もあります。距離は座標の差から計算するので、座標を求めた後に別の操作が必要です。

どの型でも、最初に点の並びや座標を小さく書いておくと、答えを元の条件へ戻しやすくなります。例えば外分点が線分の中に出たら、計算を清書する前に分母と符号を調べます。ここでは直線の方程式は扱わず、点の位置と距離に焦点を当てます。

比を線分の長さとして読む

異なる2点 A、B に対し、線分 AB 上の点 P が AP : PB = m : n を満たすとき、P は AB を m : n に内分するといいます。m、n は正の数です。点 P が線分の外にあり、長さの比 AP : PB = m : n を満たすときは外分といいます。外分では m = n なら、そのような点は存在しません。線分の外では、どちら側にあっても一方の距離が他方より AB の長さだけ大きいからです。

数直線上で A の座標を a、B の座標を b とします。内分点の座標は (na + mb)/(m + n)、外分点の座標は (mb − na)/(m − n) です。内分と外分のどちらでも、a に掛かるのは反対側の比 n、b に掛かるのは m です。ただし外分は差を使い、m と n が等しくないことが条件です。

この形は長さから説明できます。図1のように A が左、B が右で、AP : PB = 2 : 1 とします。内分では AB 全体が等しい3区間、AP がその2区間です。外分では P は B の右にあり、AP は PB の2倍なので、AB が等しい1区間、AP がその2区間です。同じ比でも全体を表す区間の数が和と差に分かれます。

一般にも、内分では P の座標を a から b へ全体の m/(m + n) だけ進めて a + m(b − a)/(m + n) と表せます。整理すると上の内分の式です。外分では A から B への変化を m/(m − n) 倍した点となり、a + m(b − a)/(m − n) を整理して外分の式を得ます。m が n より小さい場合はこの倍率が負になり、P は A の側にあります。a と b の大小が逆でも、変化 b − a に符号が含まれるため同じ式を使えます。

平面の A(a, b)、B(c, d) では、横と縦に同じ割合で移動します。したがって内分点は ((na + mc)/(m + n), (nb + md)/(m + n))、外分点は ((mc − na)/(m − n), (md − nb)/(m − n)) です。比の数字を座標のすぐ隣に機械的に掛けず、どの端点にどの重みが付くかを確認します。1 : 1 の内分点は中点で、座標は ((a + c)/2, (b + d)/2) です。

基本例題：内分と外分を並べる

点 A(1, 2)、B(7, 5) について、線分 AB を 2 : 1 に内分する点 P と、2 : 1 に外分する点 Q の座標をそれぞれ整数で求めます。

図2のように、P は A と B の間、Q は B の外側です。AP は PB の2倍で、AQ も QB の2倍になります。まず P は A から B へ、横に6、縦に3進む変化のうち、それぞれ 2/3 だけ進んだ点です。

内分公式を使えば、横の座標は

(1 × 1 + 2 × 7)/(2 + 1) = 15/3 = 5

です。縦の座標も同じ重みで計算します。

(1 × 2 + 2 × 5)/(2 + 1) = 12/3 = 4

よって P(5, 4) です。A から P への横と縦の変化は (4, 2)、P から B への変化は (2, 1) です。対応する変化が2倍なので同一直線上にあり、長さも2倍です。元の AP : PB = 2 : 1 に戻ります。

次に Q では、外分公式の分母が 2 − 1 です。横の座標は

(2 × 7 − 1 × 1)/(2 − 1) = 13

縦の座標は

(2 × 5 − 1 × 2)/(2 − 1) = 8

となり、Q(13, 8) です。A から B への変化は (6, 3)、B から Q への変化も (6, 3) です。Q は B の外側にあり、AQ は AB の2倍、QB は AB と等しいので、AQ : QB = 2 : 1 です。分母を和にした P と、差にした Q は異なる場所にあります。

座標を代入するときは、横の式に縦の数を混ぜないことも必要です。横の計算と縦の計算を別行にし、どちらも同じ比で重みを付けると、移動の方向と比を確認できます。答えが整数でも、式の途中に分母を残しておけば、外分なのに和を使う誤りを見つけやすくなります。

重心と距離を組み合わせる

三角形 A(0, 0)、B(6, 0)、C(0, 9) の重心 G の座標と、A から G までの距離を求めます。座標は整数、距離は根号を用いた正確な形で答えます。

辺 BC の中点を M とすると、中点の公式から

M((6 + 0)/2, (0 + 9)/2) = M(3, 9/2)

です。重心は中線 AM を頂点 A から 2 : 1 に内分する点なので、

G((1 × 0 + 2 × 3)/3, (1 × 0 + 2 × (9/2))/3) = G(2, 3)

と求まります。実際、A から G への変化は (2, 3)、G から M への変化は (1, 3/2) で、前者は後者の2倍です。よって中線上で比の条件を満たします。

距離は横の差と縦の差を直角三角形の2辺として、三平方の定理から求めます。AG² = (2 − 0)² + (3 − 0)² = 13 なので、長さは負にならず、AG = √13 です。G の座標を戻すと、A からの横の差は2、縦の差は3で、距離の二乗は確かに13になります。

一般に三角形の3頂点の座標をそれぞれ (a, b)、(c, d)、(e, f) とすると、重心は ((a + c + e)/3, (b + d + f)/3) です。これは1つの頂点と反対側の辺の中点を結び、2 : 1 に内分して得られます。他の頂点を選んでも同じ座標になり、3本の中線がその点で交わることも確認できます。まず中点を作れば、重心公式を忘れても内分の考えから求め直せます。

外分の誤答を位置から直す

数直線上の A(0)、B(6) を 3 : 1 に外分する点を考えます。答えは整数で表します。誤って内分と同じ分母を使うと、(3 × 6 − 1 × 0)/(3 + 1) = 9/2 としてしまいます。

しかし図3のように 9/2 は A と B の間です。そこでの距離の比は (9/2) : (3/2) = 3 : 1 ですが、これは内分の位置です。比だけが合っていても、線分の外という条件を満たしていません。外分公式で和と差を混ぜたことが誤りの原因です。

正しくは分母を 3 − 1 とし、(3 × 6 − 1 × 0)/(3 − 1) = 9 です。B から右へ3進んだ点なので、A からの距離は9、B からの距離は3です。9 : 3 = 3 : 1 となり、位置と比の両方を満たします。

逆に、分母を差にしたからといって必ず正しいわけではありません。比を逆に入れると点は反対側に出ます。例えば AP が PB より短い外分点は A 側です。どちらの距離が長いかを図で見て、計算後に位置と比を両方調べましょう。分母が零なら計算を続けず、等距離の点が外側に存在するかを考えます。

自分で解く4問

次の座標と長さは、指定がなければ整数または分数で正確に答えます。距離に根号が必要な場合は根号を用います。

1. 数直線上の A(-4)、B(8) を 1 : 3 に内分する点 P の座標を求めます。
2. 数直線上の C(2)、D(10) を 1 : 2 に外分する点 Q の座標を求めます。
3. E(-2, 5)、F(4, -1) の中点 M と、2点間の距離 EF を求めます。
4. 三角形の頂点が J(3, 0)、K(0, 6)、L(6, 3) です。重心 G の座標を求め、J から辺 KL の中点までの中線上で、JG とその残りの部分の長さの比を求めます。

解答と戻して確かめる方法

1. P の座標は (3 × (-4) + 1 × 8)/(1 + 3) = -4/4 = -1 です。-4 から -1 までの距離は3、-1 から8までは9なので、P は線分上にあり、3 : 9 = 1 : 3 です。元の比と位置の両方を満たします。

2. Q の座標は (1 × 10 − 2 × 2)/(1 − 2) = 6/(-1) = -6 です。Q は C の左にあります。CQ = 8、DQ = 16 なので、CQ : QD = 1 : 2 です。比の前の数が小さい場合、Q が C 側に出ることもこの距離で確かめられます。

3. 中点は M((-2 + 4)/2, (5 + (-1))/2) = M(1, 2) です。E から M への変化は (3, -3)、M から F への変化も (3, -3) なので、M は EF の中点です。距離については EF² = (4 − (-2))² + (-1 − 5)² = 36 + 36 = 72 です。長さは非負なので EF = 6√2 です。横の差6と縦の差-6を元に戻して二乗の和を作ると、答えの二乗72と一致します。

4. 重心は G((3 + 0 + 6)/3, (0 + 6 + 3)/3) = G(3, 3) です。辺 KL の中点を N とすると、N((0 + 6)/2, (6 + 3)/2) = N(3, 9/2) です。J、G、N は横の座標が3でそろい、縦の座標が 0、3、9/2 の順に並びます。したがって JG = 3、GN = 3/2 で、JG : GN = 2 : 1 です。求めた重心は実際に中線上で条件の比になっています。

途中の符号が不安なときは、距離の計算に入る前に数直線や座標の差を書いてください。距離自体は負にならない一方、座標の差には向きがあるため負の値も現れます。2乗する前の差を残しておくと、引く順序や移動の向きを後から追えます。

端点を逆に求めるときの道筋

内分点が与えられ、片方の端点が未知の場合もあります。例えば数直線上の A(2) と未知の B を結ぶ線分を 1 : 2 に内分する点が P(4) なら、B の座標を x と置きます。内分の式から 4 = (2 × 2 + x)/3、両辺に3を掛けて 12 = 4 + x、したがって x = 8 です。実際に A から P まで2、P から B まで4なので、距離の比は 1 : 2 です。P が端点の間にあることも確認できます。

このように未知の端点の係数は、問題文でその端点の隣にある比の数とは限りません。式を作る前に AP と PB のどちらが短いかを見ます。逆算で得た端点が P を挟む反対側に来なければ、内分という条件に戻って見直します。平面でも未知の横座標と縦座標を別々に置けば、同じ操作で2本の式を作れます。

距離の式では、横か縦の差が零でも問題ありません。2点が同じ高さなら縦の差が零になり、残る横の差の絶対値が距離です。2点が一致する場合は距離が零ですが、その2点を端点とする内分や外分の位置は通常の比の説明では定まらないため、異なる端点を前提にします。

比は長さの比なので、座標そのものを割った値とは異なります。原点を移して座標の値が変わっても、2点間の差と線分の長さは変わりません。負の座標を含むときほど、座標の正負と長さの正負を混同しないようにします。

手元に残す要点

内分では比の和、外分では比の差を分母にします。 比の順序と反対側の端点の座標を掛けます。 外分点は線分の外にあり、等しい比では存在しません。 中点と重心は内分から求め、距離は座標の差で求めます。

どこで止まるかを見分ける

式を覚えているのに点が線分の内外のどちらにあるか答えられない場合は、数直線に端点と比を書き、長い方の距離を指して説明できるかを確かめます。位置は言えても座標の重みを逆にする場合は、点が近い端点の座標に大きい重みが付く理由を、内分の移動量からたどります。

個別指導では、途中式を見ながら、外分の分母を差にする理由、中点から重心への比、距離を非負の根号で表す理由を本人の言葉で確かめることができます。答えを元の位置と長さの比に戻せれば、公式の選択と計算の両方を点検できます。座標は図に戻してこそ位置を語ります。