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高校受験の数学相似比と面積比—平行線の線分比から面積と体積の比へつなぐ｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.11更新 2026.11.11武蔵野個別指導塾の特徴高校受験の数学単元別

平行線で分かれた辺の比から、残りの部分の面積や相似な立体の体積まで順にたどる相似比の使い道です。

よくあるのは、中3が相似な三角形の辺の比を見つけ、その比をそのまま面積の比として答える場面です。辺の長さが何倍かと、広がりが何倍かは別の問いです。どの図形とどの図形を比べているかを図に書き込み、長さから面積へ進むところで比を作り直します。

平行線から何を取り出すか

平行線で切り取った三角形について、対応する長さを比べ、面積や体積の比へ進みます。立体は相似比を使った体積の比較に限ります。学習範囲の確認として、第1学年の数と式には正負の数、文字を用いた式、一元一次方程式があります。

相似比と面積比の問題には、いくつかの出方があります。1つ目は三角形の2辺を横切る平行線から、分けられた線分の長さを求める型です。小さい三角形と元の三角形の相似を利用し、対応する辺を同じ順に並べます。辺の一部と辺全体を取り違えなければ、比例式を立てられます。

2つ目は、相似な図形の面積や、三角形から小さい三角形を除いた部分の面積を求める型です。除いた後の部分は元の三角形と相似とは限りません。まず大きな三角形と小さな三角形の面積比を作り、そこから差を取ります。

3つ目は、相似な立体の対応する長さから体積を求める型です。立体では長さの比を3回かけた比を使います。どの型も、求めるものが長さ、面積、体積のどれかを最初に書いておくと、計算の途中で比を取り違えにくくなります。

辺の一部と全体を区別する

三角形ABCの辺AB上に点D、辺AC上に点Eがあり、DEとBCが平行な場合を考えます。図1のように、小さい三角形ADEと大きい三角形ABCでは、角Aが共通で、平行線の同位角がそれぞれ等しくなります。2組の角がそれぞれ等しいので、三角形ADEと三角形ABCは相似です。

図1では頂点の対応がAとA、DとB、EとCです。辺の対応を確かめると、小さい三角形のADにはAB、AEにはAC、DEにはBCが当たります。AD:ABとAE:ACは同じ比ですが、AD:ABとAE:ECを同じ比にすることはできません。後者のECは大きい三角形の辺全体ではないためです。

例えばAD:ABが2:5なら、残りのDBは全体の5に対して3に当たります。同様にAE:ACも2:5、AE:ECは2:3です。このことから、平行線が三角形の2辺を分けるとき、AD:DBとAE:ECも等しいとわかります。全体との比を使うか、分けられた部分どうしの比を使うかを決め、左右でそろえます。

DとEがそれぞれABとACの中点なら、AD:ABは1:2です。逆に、1つの辺の中点を通り、別の辺に平行な直線は残りの辺も2等分します。また、中点どうしを結ぶ線分は残りの辺に平行で、その長さは半分です。これは中点連結定理と呼ばれ、平行と長さの両方を取り出せます。

相似比が2:5の三角形では、対応する底辺も高さも2:5です。面積は底辺と高さの積に比例するので、面積比は2×2:5×5、つまり4:25です。相似な立体なら対応する3方向の長さが同じ割合で変わるため、体積比は2×2×2:5×5×5、つまり8:125です。平面では2回、立体では3回かける意味を、単位が長さ、面積、体積のどれかと一緒に確かめます。

比の数は実際の長さそのものとは限りません。たとえば辺の比が2:5でも、対応する辺は2 cmと5 cmに限らず、4 cmと10 cmでも同じ比です。比の値を長さとして使うには、どちらかの実際の長さと対応させ、共通の倍率を求めます。面積についても、比の数と実際のcm²を区別します。

平行線を見つけても、図の形を目測して長さを決めてはいけません。平行という条件から等しい角を示し、相似な三角形の頂点の対応を確認します。さらに、求める線分が対応する辺そのものなのか、全体から一部を引いた残りなのかを調べます。線分が図中で交差したり、向きが反対に見えたりしても、頂点の対応を書けば比の順序を点検できます。

面積の差を扱うときは、比を引く前に比べる対象を決めます。小さい図形と大きい図形の面積比が4:25なら、重ならない残りは25-4=21に対応します。小さい部分と残りの面積比は4:21であり、4:25とは異なります。実際の面積が与えられたときは、どの数がその面積に当たるかを確かめてから割り算をします。

基本例題：小さい三角形と残りを求める

三角形ABCの辺AB上にD、辺AC上にEがあり、DEはBCに平行です。AD=12 cm、DB=8 cm、AC=25 cm、BC=15 cmとします。三角形ABCの面積が150 cm²のとき、AE、DEの長さと、四角形DBCEの面積を求めます。長さはcm、面積はcm²で、整数または分数で答えます。

図2のように、まずABは12+8=20 cmです。12 cmと8 cmはそれぞれ辺の一部分なので、対応する辺の全体を作ります。平行線の角と共通の角から、三角形ADEと三角形ABCは相似です。対応順はA-D-EとA-B-Cです。

相似比はAD:AB=12:20=3:5です。この順序は小さい三角形:大きい三角形です。AEとACも同じ順に比べ、AEをx cmとすると、

x:25=3:5

5x=25×3

x=15

となります。したがってAEは15 cmです。DEをy cmとすると、DEとBCが対応するので、

y:15=3:5

5y=15×3

y=9

となり、DEは9 cmです。比の等式では、外側の積と内側の積が等しいことを使いました。未知数を含む比でも、小さい方を先にそろえてから式を書くと対応を追えます。

面積比は3×3:5×5=9:25です。大きい三角形の面積150 cm²を25等分したうち、小さい三角形は9に当たります。よって三角形ADEの面積は150×9/25=54 cm²です。四角形DBCEは大きい三角形からこの三角形を除いた部分なので、150-54=96 cm²です。

条件に戻して確かめます。12:20、15:25、9:15はいずれも3:5です。また、150 cm²を9:16に分けると54 cm²と96 cm²で、合わせて150 cm²に戻ります。面積比9:25は小さい三角形と大きい三角形の比であり、残りとの比ではないことも確認できます。

一部分の比から全体へ戻す

三角形PQRの辺PQ上にS、辺PR上にTがあり、STはQRに平行です。PS:SQ=2:3、四角形SQRTの面積が84 cm²です。三角形PQRと三角形PSTの面積をそれぞれcm²で、整数または分数で求めます。

ここで与えられた2:3は小さい三角形と大きい三角形の相似比ではありません。PQ全体は2+3=5に当たるので、PS:PQ=2:5です。平行線による角の等しさと角Pの共通性から、三角形PSTと三角形PQRは相似です。面積比は4:25となります。

四角形SQRTに当たるのは大きい三角形から小さい三角形を引いた部分です。そのため、小さい三角形:四角形:大きい三角形の面積の対応は4:21:25です。21に当たる量が84 cm²なので、比の1に当たる量は84÷21=4 cm²です。よって大きい三角形は4×25=100 cm²、小さい三角形は4×4=16 cm²です。

元の場面に戻すと、100-16=84 cm²で、与えられた四角形の面積になります。また16:100=4:25で、辺の比2:5を2回かけた結果と一致します。全体の面積が与えられる場合は直接その25分の4を取れますが、残りの面積が与えられる場合は、先に25-4=21を作るところが分かれ目です。

誤答を図で直す

図3のように、相似比が2:3の2つの正方形について、面積比を2:3と答えたとします。辺の対応は正しく読めていますが、面積では縦と横の両方が変わることを落としています。辺が2と3の正方形なら、面積はそれぞれ2×2と3×3です。

図3の小さい正方形は同じ大きさの正方形4個分、大きい方は9個分です。したがって面積比は4:9です。正方形で数えたこの関係は、相似な三角形でも、対応する底辺と高さのそれぞれに同じ比がかかることで確かめられます。

もう1つの誤りは、小さい部分と全体の面積比4:9を使う場面で、残りを9として扱うことです。全体が9なら小さい部分は4、残りは9-4=5です。何を引いた残りかを言葉で書いてから計算すると、比の各数が指す面積を見失いにくくなります。

手を動かして確かめる

次の4問では、長さはcm、面積はcm²、体積はcm³とし、整数または分数で答えます。各図形の点は、特に断りがなければ辺上にあります。

三角形ABCの辺AB上にD、辺AC上にEがあり、DEはBCに平行です。AD=8 cm、DB=4 cm、AC=18 cm、BC=15 cmのとき、AEとDEを求めます。
三角形DEFの辺DE、DFの中点をそれぞれG、Hとします。EF=14 cm、三角形DEFの面積が48 cm²のとき、GHの長さと三角形DGHの面積を求めます。
相似な2つの図形の対応する辺の比が小さい方から3:4で、小さい方の面積が27 cm²です。大きい方の面積と、両者の面積の差を求めます。
相似な2つの立体の対応する長さの比が小さい方から1:3で、大きい方の体積が216 cm³です。小さい方の体積を求めます。

解答とたどり方

AB=8+4=12 cmです。平行線の角と共通の角から三角形ADEと三角形ABCは相似なので、相似比は8:12=2:3です。AEをx cmとするとx:18=2:3より3x=36、x=12です。DEをy cmとするとy:15=2:3より3y=30、y=10です。答えはAE=12 cm、DE=10 cmです。8:12、12:18、10:15がいずれも2:3となり、与えられた辺の長さと平行線から得た対応に合います。
中点連結定理よりGHはEFに平行で、GH=14÷2=7 cmです。DG:DE=1:2であり、平行線の角から三角形DGHと三角形DEFは相似です。面積比は1:4なので、48÷4=12 cm²です。答えは7 cm、12 cm²です。7×2=14 cm、12×4=48 cm²となり、与えられた長さと面積に戻ります。中点という条件から、残りの辺も等分されていることを図に印で示すと、1:2の根拠を追えます。
面積比は3×3:4×4=9:16です。小さい方の27 cm²が9に当たるので、比の1は27÷9=3 cm²です。大きい方は3×16=48 cm²、面積の差は48-27=21 cm²です。答えは48 cm²、21 cm²です。48×9/16=27 cm²、48-21=27 cm²となり、元の小さい方の面積に戻ります。差の21を面積比の16そのものと取り違えないようにします。
体積比は1×1×1:3×3×3=1:27です。大きい方の216 cm³が27に当たるので、小さい方は216÷27=8 cm³です。答えは8 cm³です。8×27=216 cm³となり、与えられた体積に戻ります。長さの比を3回かけた後に体積を求めるので、216÷3とすることはできません。