高校受験の数学 関数y=ax²のグラフ—比例定数と座標から放物線の形と対称性を読む｜武蔵野個別指導塾

座標の代入でaを求め、左右対称な点と2倍のときの値をたどり、放物線の形を読み解く手順です。

よくあるのは、中3がxを2倍にしたとき、yも2倍になると考える場面です。一次関数や比例で覚えた見方をそのまま持ち込むと、表の値もグラフの形も違ってしまいます。y=ax²では、まずxを二乗してからaをかけます。表の左右に並ぶ数と座標平面上の点を結びつけ、式の一つひとつの操作が曲線にどう現れるかを見ていきましょう。

式と絵を行き来する問題

ここではy=ax²の表、座標、放物線の対応を調べます。二乗で同じ値になる正負のxを組にすると、左右の形を説明しやすくなります。座標を式に代入する際には、正負の数や文字を用いた式、一元一次方程式の学習が土台になります。中学校学習指導要領は、これらを第1学年で扱う「数と式」の内容としています。

この単元では、まず表にxの値を入れて点を取り、曲線をかく問題があります。次に、曲線上の点の座標からaを求め、その式に別のxを代入する問題があります。さらに、y軸について対称な点を利用して、片方の座標からもう片方を読む問題もあります。どの形でも、座標の順序は横方向のx、縦方向のyです。

式から図へ進むときは、適当なxを選び、対応するyを計算して点を打ちます。図から式へ戻るときは、読み取った点がその式を満たすという条件を使います。見た目が似た曲線でも、実際に点を代入して確かめることが必要です。変域や変化の割合は別の学習単位で扱うため、ここでは立ち入りません。

二乗が左右の点を結ぶ

関数y=ax²では、aは0でない定数で、xの値を決めるとyの値が1つに決まります。aは比例定数と呼びます。xに0を入れるとyも0なので、グラフは原点(0, 0)を通ります。この曲線を放物線と呼びます。

例えばy=x²で、xが-2、-1、0、1、2のとき、yは順に4、1、0、1、4です。負の数を二乗すると正になるため、-2と2は同じ高さに対応します。図1のように、同じ高さにある2点はy軸からの距離が等しく、y軸を折り目として重なります。y軸はこの放物線の対称の軸です。

図1では(-2, 4)と(2, 4)を結ぶ横の線の中央にy軸があります。一般にも、xが正の数でも負の数でも、符号を反対にした数の二乗は同じです。したがって、一方が(p, q)なら、もう一方は(-p, q)です。ただしp=0のときはどちらも原点で、別々の2点にはなりません。

正のaでは原点から左右に離れるにつれて上向きに開き、負のaでは下向きに開きます。同じxで比較すると、aの絶対値が大きいほどyの絶対値が大きく、曲線は縦に伸びて見えます。符号と絶対値を分けて見れば、向きと開き具合を混同しにくくなります。

点を打った後は、原点で折れ曲がる線分にせず、左右の点をなめらかな曲線で結びます。点の数が少なく形に迷う場合は、さらにxを選んで計算します。計算した点を通ることと、左右対称であることを両方確認しましょう。

表を作るときは、例えば左から負の値、0、正の値の順に並べると、同じyが現れる位置を比べやすくなります。負の値を先にすべて計算し、正の値を対称性で補った場合も、いくつかは元の式で確かめます。対称性は計算を省くための印ではなく、式の二乗から説明できる性質です。

また、グラフを読むときに点が曲線上に見えても、目盛りが粗ければ座標を正確に決められない場合があります。問題で座標が与えられているならその値を使い、図から読む場合は軸の1目盛りがいくつかを先に確かめます。軸ごとに目盛りの幅が異なる図でも、横と縦を別々に読めば座標を取り違えずに済みます。

点から式を決める基本例

例題。y=ax²のグラフが点(2, 6)を通ります。aを分数で表し、x=-2とx=4のときのyを整数で求めてください。また、原点とこれらの点を含むグラフの形を説明してください。

点(2, 6)を通るとは、x=2のときy=6になるという意味です。座標の順番を式に合わせて、xに2、yに6を代入します。

6=a×2² 6=4a a=6/4=3/2

両辺を4で割ったので、式はy=(3/2)x²です。分数のまま計算すれば、値を丸めずに点の位置を決められます。x=-2では、負号を含めて二乗し、次のようになります。

y=(3/2)×(-2)² = (3/2)×4 = 6

x=4では、次のように計算します。

y=(3/2)×4² = (3/2)×16 = 24

したがって求める値は順に6、24です。図2のように、(-2, 6)と(2, 6)はy軸について対称です。aが正なので、原点から上向きに開く放物線になります。図の横軸と縦軸はそれぞれ目盛りの間隔を変えてありますが、表示された点の座標は式に一致しています。

図2の(4, 24)も代入結果に対応します。検算として、求めたaを初めの条件に戻すと、(3/2)×2²=6です。与えられた点を確かに通ります。xを2から4へ2倍にすると、x²は4から16へ4倍になり、yも6から24へ4倍です。点を結ぶ際は、3点だけで直線を引かず、その間にも式に合う点がある曲線として考えます。

もし(2, 6)をx=6、y=2と読み違えれば、別のaになります。求めた式に元の点を代入して6に戻るか調べると、座標の取り違えも発見できます。一方、xが0の点を代入すると0=a×0となり、aの値を決められません。原点を通るという情報だけでは、開く向きや幅は決まらないのです。

同じ高さの点は何個あるか

例題。y=-(1/2)x²のグラフ上で、y=-8となる点の座標をすべて整数で求めてください。また、y=2となる点があるか答え、その理由を説明してください。

まずy=-8を式に代入します。

-8=-(1/2)x² 16=x² x=4 または x=-4

両辺に-2をかけるとx²=16です。二乗して16になる数は4と-4なので、片方で止めません。答えは(4, -8)、(-4, -8)です。元の式に戻すと、どちらも-(1/2)×16=-8であり、指定された高さにあります。左右の点のx座標は互いに符号が反対で、y座標は同じです。

y=2の場合は、2=-(1/2)x²からx²=-4となります。しかし、実数を二乗した値は0以上ですから、これを満たすxはありません。したがって点はありません。負のaのグラフがx軸より下側と原点にあることからも、正の高さには届かないと読めます。

ここが分かれ目です。x²が正の数なら正負の2つのxを調べ、0ならxは0、負の数なら実数のxはありません。図で予想しても、式に戻して点の個数を確定させます。逆に、図の高さを読み違えたときは、式から出る符号と照らすと修正できます。

2倍をそのまま移さない

誤答の例を見ます。y=(1/2)x²でx=1のときy=1/2だから、x=2ではy=1、とする答えです。原因はxにかけた2を、二乗する前に見落としていることです。xを2倍にすると、その二乗には2が2回かかります。

図3のように、正しくはx=2を式に入れて、y=(1/2)×2²=2です。xが1から2に変わるとyは1/2から2へ4倍になります。xが負の場合も、例えば-1から-2なら二乗の値は1から4になるので、yは同じように4倍です。

図3の下の注記にあるy=1は、xにかけた2をyにも一度だけかけた誤答です。正しい矢印では、yに4をかけて2にしています。直すには、元の式に新しいxを括弧つきで代入し、二乗を先に計算します。答えが表と合っていても、その表自体を誤って作ることがあります。元の式への代入で点ごとに確認すると、誤りの出発点を見つけられます。

もう一つの誤りは、(-3)²を-9とすることです。(-3)×(-3)=9ですから、二乗の前に負号を含む括弧を置いて計算します。aが負のときのyが負になるのは、この正の二乗に負のaをかけるためです。二乗の符号とaの符号を別々に確認してください。

座標からaを求めた後、符号が図の向きと合うかも点検できます。原点以外でyが正ならaは正、yが負ならaは負です。x²は原点以外で正なので、yの符号はaの符号と同じになるからです。符号が食い違ったら、負の数の代入や両辺を割る計算へ戻ります。

ただし、符号が合うだけでは数値の正しさまでは保証できません。たとえば分母を約分し忘れた式や、座標を読み違えて得た式も、同じ向きに開くことがあります。与えられた点を戻す確認と、グラフの向きの確認はそれぞれ別の役割を持ちます。

自分で点を選ぶ練習

次の問題は、まずまとめて取り組み、後の解答で途中の考え方を照らしてください。座標は(x, y)の順で、指定された形で答えます。

1. y=2x²について、x=-3、0、3に対応するyをそれぞれ整数で求め、対称な2点の座標を答えてください。
2. y=ax²のグラフが点(-4, -12)を通ります。aを分数で求め、x=2のときのyを整数で答えてください。
3. y=(1/4)x²のグラフ上で、y=9となる点をすべて整数の座標で答えてください。y=-1となる点があるかも答えてください。
4. y=-3x²について、xが2から6に変わるとき、対応するyをそれぞれ整数で求め、後の値が初めの値の何倍か答えてください。

練習の答えとたどり方

1. x=-3ではy=2×(-3)²=2×9=18です。x=0ではy=0、x=3ではy=2×3²=18です。答えは順に18、0、18で、対称な2点は(-3, 18)、(3, 18)です。元の式で両方の高さが18となり、原点も通ることを確かめられます。負の値の二乗を負のままにすると左右の高さがそろわないので、符号の扱いを見直します。

2. 与えられた点を代入すると、-12=a×(-4)²=16aです。よってa=-12/16=-3/4、式はy=-(3/4)x²です。x=2ならy=-(3/4)×4=-3です。答えはa=-3/4、y=-3です。検算では、x=-4を戻すと-(3/4)×16=-12となり、与えられた点を通ります。x=2の点も(2, -3)として式に戻せます。aが負なので、求めた点がx軸より下にあることも合っています。

3. 9=(1/4)x²より、両辺を4倍してx²=36です。したがってx=6または-6、答えは(6, 9)、(-6, 9)です。それぞれ(1/4)×36=9となり、高さの条件に戻ります。y=-1については、-1=(1/4)x²ならx²=-4となるため、実数のxはなく、点はありません。正の数をかけた二乗が負にならないことが理由です。片方の座標だけを書いた場合は、符号を反対にしたxも二乗して確かめます。

4. x=2ではy=-3×2²=-12、x=6ではy=-3×6²=-108です。(-108)÷(-12)=9なので、後の値は初めの値の9倍です。xは3倍であり、二乗は4から36へ9倍です。元の式で各座標(2, -12)、(6, -108)を確かめると、負のaによって両方の高さが負になることも一致します。3倍と答えた場合は、6を式に入れたときの二乗を先に書き出します。

練習後は、計算の結果だけでなく、点が存在しない場合にその理由を書けたかも確認します。正負の2点、原点の1点、点がない場合を区別できれば、図と式の読み違いを減らせます。

見返すための要点

• 原点を通り、y軸について対称な放物線です。
• 点のxとyを式に代入してaを求めます。
• xを2倍にすると、対応するyは4倍です。
• 同じ高さの点は正負のxを確認します。

どこで止まったかを見つける

お子さまがグラフをかけないときは、まず表の値が式から作れているかを確かめます。値は合うのに点の位置が違うなら、座標の順番や軸の目盛りを指で追います。点は合うのに形が違うなら、左右の対応と原点付近のつなぎ方を説明してもらいます。

個別指導で確認するなら、答えだけでなく、負のxを代入した行とaの符号を判断した行を見ると、つまずきの位置を絞れます。点からaを決める問題では、その点を完成した式に戻し、もとの高さに一致する理由を自分の言葉で述べられるかを確かめます。式と点を往復するたびに、放物線の形は根拠を持った読み方へ変わります。