高校受験の数学 平方根の計算—根号の中を整理して四則と分母の有理化を進める｜武蔵野個別指導塾

根号の中の和を分ける誤りを確かめ、有理化と同じ根号の項をまとめる計算を、等号の前後の値に注目して進めます。

よくあるのは、中3が√(9 + 16)を√9 + √16と分け、答えを7にしてしまう場面です。左側は√25で5なので、右側とは一致しません。根号の中に見える記号が足し算なのか掛け算なのかで、使える変形が変わります。数を扱う順序を意識すると、途中式のどこで値が変わったかも見つけやすくなります。

どの操作を選ぶか

ここでは平方根の簡単化、四則計算、分母の有理化を扱います。平方根の大小や整数の間での見積もりは詳しく扱いません。

出方の1つは、√の中から平方数を見つけて外へ出し、同じ根号の項をまとめる計算です。もう1つは、掛け算や割り算で根号の中を整理してから、分母に根号が残らない形にする計算です。さらに括弧のある式では、分配法則を使って各項に掛けてから整理します。どの場合も、見た目を変えても値を変えないことが目標です。

平方根を計算する前に振り返りたいのが、正負の数と文字を用いた式、そして一元一次方程式です。これらは中学校の学習指導要領において、第1学年の「数と式」で学ぶ内容です。そこで学ぶ符号や分配法則は、平方根の計算でも土台になります。新しい記号が出ても、前に習った操作が使えるかを確認しながら進めましょう。

積は分けられるが和は分けられない

√aは、aが0以上のとき、二乗してaになる0以上の数を表します。たとえば√4は2で、-2ではありません。a、bが0以上なら√a × √b = √(ab)です。両辺はともに0以上で、二乗するとどちらもabになります。この関係を逆に使うと、根号の中の平方数を外に出せます。

図1のように、√72では72を36 × 2に分けます。√36 = 6ですから、√72 = √36 × √2 = 6√2です。36を見つけにくければ、まず72 = 4 × 18として2√18にし、さらに√18 = 3√2と整理しても同じ結果になります。最後に根号の中に1より大きい平方数の因数が残っていないかを見ます。

図1では掛け算のまとまりを分けています。足し算について同じ操作は使えません。たとえば√(1 + 4)は√5ですが、√1 + √4は3です。括弧の中が先に足せる数なら、その和を計算してから平方根を考えます。積と和を同じように扱わないことが、根号の計算の入口です。

足し算では、根号の中が同じ項なら係数をまとめられます。2√3 + 5√3 = 7√3は、同じ量を2個と5個合わせる考えです。一方、√2と√3は異なる量なので、√5にはできません。整理前の根号が違っても、平方数を外に出すと同じになることがあります。まず各項を簡単にし、その後で係数を足し引きします。

割り算では、分母が0でないとき√a / √b = √(a / b)を使えます。ただし、答えの分母に根号が残る場合は、分子と分母に同じ0でない数を掛けて分母の根号をなくすことがあります。これを分母の有理化といいます。例えば1 / √3は、分子と分母に√3を掛けて√3 / 3です。同じ数の比は1なので、元の値は変わりません。

操作を選ぶための小さな確認

根号の中の数を因数に分ける際、外に出せる数を探すために、4、9、16、25のような平方数で割れるかを順に調べられます。たとえば√50は50 = 25 × 2から5√2です。二乗すると25 × 2 = 50に戻り、5√2は正なので、もとの正の平方根と一致します。平方数を見落として√(2 × 25)の途中で止まると値は正しくても、指定された簡単な形には届きません。

符号にも注意します。-√50は、正の平方根√50の前に負号を付けた数ですから-5√2です。負号を根号の中へ勝手に移すことはできません。引き算の項を整理するとき、根号の外に出た係数にもその負号が付いたままかを確認します。掛け算では負の数と正の数の積が負になるという、これまでの符号の規則がそのまま働きます。

分母を有理化するときも、最初に根号の中を整理すると掛ける数を選びやすくなります。例えば2 / √18は2 / (3√2)です。分子と分母に√2を掛けると2√2 / 6、約分して√2 / 3です。これに元の分母√18を掛けると、√2 × 3√2 / 3 = 2となり、元の分子に戻ります。分母が0でないことも確かめてから操作します。

計算の途中では、括弧がどこまで根号に含まれているかを丁寧に書きます。√(4 + 5)と√4 + 5は別の式です。前者は3、後者は7です。記号の線が手書きで短すぎると、本人が意図した範囲と読み手の受け取る範囲がずれることがあります。括弧を添えれば、どの和を先に計算するかを文字でも残せます。

基本例題: 整理してから合わせる

次の式を計算し、根号の中をできるだけ簡単にした形で答えてください。

√48 + 2√12 − √27

図2のように、まず各項の根号の中を平方数と3の積にします。どの項も√3を含む形になるため、最後に係数をまとめられます。

図2の順を式にすると、次のようになります。

√48 + 2√12 − √27 = √(16 × 3) + 2√(4 × 3) − √(9 × 3) = 4√3 + 2 × 2√3 − 3√3 = 4√3 + 4√3 − 3√3 = 5√3

2行目では、48、12、27をそれぞれ平方数を含む積に直しました。3行目では、√16 = 4、√4 = 2、√9 = 3を使っています。真ん中の項は根号の前に元から2があるので、外に出た2にも掛けます。最後の項は引き算なので、係数3を引きます。答えは5√3です。

確認すると、(4√3)² = 48、(2√3)² = 12、(3√3)² = 27です。いずれも0以上なので元の平方根に一致します。元の式に戻すと4√3 + 2 × 2√3 − 3√3となり、確かに5√3です。元の係数や引く符号を戻すところまで見ると、根号の整理だけ正しくても起きる間違いに気づけます。

もし最初に48、12、27を足し引きして√33とするなら、元の式の3項を1つの根号にまとめたことになります。足し引きと根号はそのように入れ替えられません。また、4√3 + 4√3を8√6とするのも誤りです。根号は共通の部分として残し、その前の数だけを合わせます。

分母と括弧があるときの分かれ目

次の式を計算し、分母を有理化して、根号の中をできるだけ簡単にした形で答えてください。

3 / √6 + √2(√12 − √3)

最初の項には分母の根号があり、後ろの項には括弧があります。足し算の両側を一度に操作するのではなく、それぞれの項で必要な操作を選びます。まず分母を有理化します。

3 / √6 = (3 × √6) / (√6 × √6) = 3√6 / 6 = √6 / 2

分母の√6 × √6は6です。約分は分子の係数3と分母の6について行います。次に、括弧内の2項それぞれに√2を掛けます。

√2(√12 − √3) = √2 × √12 − √2 × √3 = √24 − √6 = 2√6 − √6 = √6

したがって、元の式は√6 / 2 + √6 = 3√6 / 2です。括弧の前にマイナスがあるときも各項の符号まで含めて掛ける必要があります。この例では掛ける数が正なので、括弧内の引き算はそのまま残りました。

元の式へ戻して確認します。√6 / 2に√6を掛けると3になるため、最初の商に等しいことが確かめられます。また(2√6)² = 24で2√6は正なので、√24 = 2√6です。後ろの部分は2√6 − √6 = √6となり、合わせて3√6 / 2に戻ります。小数の近似に頼らず、二乗と積で確かめられます。

誤った行から直す

√(9 + 16) = √9 + √16 = 7という行を見たら、図3のように、最初の等号の左右を別々に計算します。左側は√25 = 5、右側は3 + 4 = 7なので、そこで値が変わっています。

図3の誤りの原因は、積に使える性質を和にも広げたことです。修正するときは、括弧内の和を先に求めて√25 = 5とします。5² = 25で5は正なので、元の平方根に合います。計算の最後に答えだけ直すより、最初に成り立たなくなった等号を見つけると、同じ誤りを別の式でも避けられます。

もう1つの失敗は、1 / √5を1 / 5とすることです。分母だけに√5を掛けると分数の値が変わります。分子にも同じ√5を掛けて√5 / 5とします。逆にこの答えに√5を掛けると1になるので、元の商であることを確かめられます。

間違いを見つけた後の再確認

同じ根号に整理した後、係数を掛けるのか足すのかも読み分けます。たとえば3√2 + 2√2は、√2が3個と2個なので5√2です。一方、3√2 × 2√2では係数同士と根号同士を掛け、6 × 2 = 12です。演算の記号を見ずに係数だけを処理すると、どちらも同じ答えにしてしまいます。途中式に掛け算の記号を残し、それぞれの部分を計算してからまとめます。

また、根号を簡単にした項は、二乗した値が元の中身に合うかだけでなく、その項が正か負かも見ます。二乗だけでは正負の違いが消えるためです。√50と-√50の二乗はいずれも50ですが、元の記号が表すのは別の値です。元の符号を残してから同類の項を集めると、引き算の係数を誤りにくくなります。

答えの形も最後に見直します。分母の根号が残っていないか、約分が残っていないか、根号の中に平方数の因数が残っていないかを順に確かめます。途中の形が等しいことと、問題に指定された形に仕上がっていることは別の確認です。どちらかを飛ばさず、元の式と答えの両方を見比べます。

手を動かす問題

次の4問はすべて、根号の中をできるだけ簡単にし、分母に根号があれば有理化して答えてください。途中式には、平方数の取り出しや分配した項を残してください。

1. √75 − √12を計算してください。
2. 4 / √8を計算してください。
3. √5(√20 + √45)を計算してください。
4. √(4 + 32) − 2√8を計算してください。

答えとたどり方

1. √75 − √12 = √(25 × 3) − √(4 × 3) = 5√3 − 2√3 = 3√3です。(5√3)² = 75、(2√3)² = 12で両方正なので、元の2項に戻せます。係数を引けば答えと一致します。

2. 4 / √8 = 4 / (2√2) = 2 / √2 = 2√2 / 2 = √2です。分母の整理をせず、最初に分子と分母に√8を掛けても4√8 / 8 = √8 / 2 = √2になります。答えの√2に元の除数√8を掛けると√16 = 4となり、元の被除数に戻ります。

3. √5(√20 + √45) = √100 + √225 = 10 + 15 = 25です。括弧の中を先に整理すると、√20 = 2√5、√45 = 3√5なので、√5 × 5√5 = 25ともなります。(2√5)² = 20、(3√5)² = 45で両方正です。元の括弧に戻した後も同じ値になります。

4. √(4 + 32) − 2√8 = √36 − 2 × 2√2 = 6 − 4√2です。根号の中の和は先に36にします。6² = 36で6は正、(2√2)² = 8で2√2も正なので、答えの各部分を元の式へ戻せます。6と4√2は異なる種類の項なので、さらに引き合わせることはできません。

4問目を√4 + √32 − 2√8と始めた場合は、最初の変形を見直します。和を分ける規則はなく、後の計算が合っていても元の値に戻りません。2問目で分母に掛ける数を選べなければ、先に√8を2√2に簡単化して、分母に残った√2を掛けると考えられます。いずれも操作の前後が等しいかを確かめて進めます。

手元に残す要点

根号の中の積は平方数を探して整理します。
和は根号ごとに分けず、中を先に計算します。
同じ根号の項は係数を足し引きします。
有理化では分子と分母に同じ数を掛けます。
答えは二乗や元の式への代入で確認します。

途中式から見えるつまずき

お子さまが答えを間違えたときは、まず各等号の前後を読み、最初に値が変わった行を探します。平方数を見つけられないのか、根号を外した後の係数を掛け忘れたのかで、やり直す場所が違います。合っている答えでも、分母だけを掛ける操作を偶然別の誤りで打ち消していないか、途中の説明を見ると区別できます。

個別指導では、本人に「この積を分けられる理由」と「和を分けられない例」を自分の言葉で説明してもらい、次に分子と分母へ何を掛けたかを確かめます。保護者が家庭で途中式を見るときも、正誤を先に告げるより、変形前の値へ戻せるかを尋ねると、本人が修正箇所を探せます。等号の両側が同じ値かを確かめる習慣が、平方根の計算を支えます。