高校受験の数学 一次関数の交点—直線の式を求めて連立方程式で座標を確かめる｜武蔵野個別指導塾

2点から式を作り、軸と囲む面積へつなげながら座標を読み解く一次関数の交点です。

よくあるのは、中2の生徒が2直線の交点を求める途中でx = 2と出し、そこで答えを書き終えるという場面です。計算が合っていても、点の位置は横方向の数だけでは決まりません。縦方向の数も求め、2つの式に戻すところまで進めると、交点として答えられます。グラフと式を往復しながら、座標を最後までそろえる練習をしましょう。

何を手がかりに交わる点を探すか

ここでは、2点を通る直線の式、2直線の交点、交点と座標軸で囲まれた三角形の面積を扱います。時間と道のりなど、区間ごとに変わる動きのグラフは扱いません。中学校学習指導要領では、一次関数と二元一次方程式の関係を学びます。

出方の1つは、直線上の2点の座標から式を決める問題です。先に傾きを求め、どちらかの点を使って切片を決めます。2つ目は、与えられた2直線の交点を求める問題です。交点では同じxに対するyの値が等しいので、2つの式を連立します。3つ目は、交点と軸上の点を頂点とする三角形の面積です。座標を求めた後、軸上の底辺の長さと、反対の頂点から軸までの高さを読み取ります。

どの型でも、図は位置関係をつかむ助けになります。ただし、目盛りが粗い図から読み取った値は予想にとどめ、式への代入で確かめます。答えが分数になる場合も、座標を分数のまま扱えば正確に確認できます。

同じ点に2本の式が集まる

座標 (x, y) は、原点からの横の位置と縦の位置を順に表します。直線 y = ax + b 上の点なら、その座標を式に入れたとき等式が成り立ちます。反対に、座標が式を満たせば、その点は直線上にあります。交点は2本の直線に共通する点なので、1組の座標が両方の式を満たします。

図1のように、2直線 y = x + 1 と y = -x + 5 は、点 (2, 3) で交わります。x = 2をそれぞれに入れると、前者は2 + 1 = 3、後者は-2 + 5 = 3です。2つのyが一致するため、この点は両方の線上にあります。

図1の点から横軸へ下ろすとx座標、縦軸へ進むとy座標を読めます。x座標だけでは、同じ縦の線上にある別の点と区別できません。答えは (2, 3) の順で書き、順序を入れ替えないようにします。

2点から式を作るときは、xの増加量に対するyの増加量を使います。例えば2点のxが1から4に、yが2から8に変わるなら、傾きは (8 − 2) ÷ (4 − 1) = 2です。式をy = 2x + bと置き、一方の点を代入してbを決めます。2点のx座標が等しいときはこの割り算の分母が0となり、y = ax + bの形の直線は作れません。条件を読んだ時点でxの差も確かめます。

基本例題：2点から式を作って交点へ

直線Lは2点 (0, 1)、(3, 4) を通ります。直線Mの式は y = -x + 5 です。Lの式と、LとMの交点の座標を求めなさい。座標は整数で答えなさい。

まずLの傾きを求めます。2点のxの差は3 − 0 = 3、対応するyの差は4 − 1 = 3です。したがって傾きは3 ÷ 3 = 1です。Lの式を y = x + b と置きます。

点 (0, 1) を代入すると、1 = 0 + b なので b = 1です。よってLは y = x + 1 です。もう一方の点も、x = 3のとき y = 3 + 1 = 4となり、与えられた座標に戻ります。

次に交点のx座標を求めます。交点では2つのyが等しいため、

x + 1 = -x + 5

両辺にxを加えると 2x + 1 = 5、両辺から1を引くと 2x = 4です。両辺を2で割り、x = 2を得ます。ここで止めず、Lの式に代入して y = 2 + 1 = 3 とします。答えはLが y = x + 1、交点が (2, 3) です。

図2のように、Lの2点と交点、Mの交点を別々に見ます。交点をMに戻すと y = -2 + 5 = 3です。LでもMでも同じ高さになり、問題の「両方の直線上」という条件を満たします。

図2は答えの位置の見当にも使えます。たとえば計算で (2, -3) と出たら図との違いに気づけますが、図の見た目だけで正しい値を決めず、式に戻して誤りを探します。切片を求める際、点のxとyを逆に入れると直線自体が変わるため、最初に作った式も2点で確かめます。

面積まで進むときの分かれ目

直線Pは2点 (0, 6)、(3, 0) を通り、直線Qは y = x − 3 です。PとQの交点をA、Pとx軸の交点をB、Qとx軸の交点をCとします。Aの座標と三角形ABCの面積を求めなさい。座標と面積は整数で答え、座標の1目盛りを1 cmとします。

Pの傾きは (0 − 6) ÷ (3 − 0) = -2です。切片は点 (0, 6) から6なので、Pは y = -2x + 6 です。点 (3, 0) に戻しても -2 × 3 + 6 = 0となります。

Aでは2つのyが等しいので、-2x + 6 = x − 3 です。両辺に2xを加え、さらに両辺に3を加えると 9 = 3x、よって x = 3です。Qに代入すると y = 3 − 3 = 0 なので A = (3, 0) です。Pにも代入して y = -6 + 6 = 0と確かめられます。

ここで面積を公式に入れる前に頂点を点検します。Bは問題の2点から (3, 0) です。CはQで y = 0 と置き、0 = x − 3 より (3, 0) です。A、B、Cはすべて (3, 0) に重なります。3点が同じ点なので三角形ABCはできず、面積は求められません。交点が軸上にある場合は、3点が異なると決めつけないことが分かれ目です。

ではQの切片が変わった場合も考えます。Qを y = x − 6 とすると、-2x + 6 = x − 6 より 3x = 12、x = 4です。y = 4 − 6 = -2 なので A = (4, -2)、Cは (6, 0)、Bは (3, 0) です。底辺BCは6 − 3 = 3 cm、高さはx軸からAまでの距離で2 cmです。面積は3 × 2 ÷ 2 = 3 cm²です。AをPに戻すと -8 + 6 = -2、Qにも戻すと4 − 6 = -2です。軸上の2点も各式でyが0になるので、図形の条件まで確かめられます。

高さが負になることはありません。y座標が負なら、その反対の数を距離として使います。また、軸上の2点が原点の左右に分かれる場合、座標をそのまま足すのではなく、大きい座標から小さい座標を引きます。底辺の端が同じ点なら長さは0で、通常の三角形はできません。

誤答を座標に戻して直す

基本例題で x = 2 を求めた後、交点を (2, 2) と書く誤りを考えます。横の値をそのまま縦にも使ったことが原因です。図3のように、(2, 2) をLに代入すると、右辺は2 + 1 = 3となり、左辺の2と一致しません。点はLの上にありません。

図3では同じxの位置に、誤った点と正しい交点を示しています。修正には、x = 2を元の式に入れてy = 3を出し、(2, 3) と書きます。さらにMに入れても3になるため、2直線に共通する点だとわかります。

もう1つの誤りは、交点の高さを使う面積で、y座標が負なのに高さを負の数のまま掛けることです。先ほどの変更後の点 (4, -2) なら、x軸までの距離は2です。符号は位置を表し、長さは0以上という役割の違いに戻ると修正できます。計算が途中で合わなくなった場合は、移項前の等式に戻り、両辺に同じ操作をしたかを1行ずつ確かめます。

練習：式、交点、面積をつなぐ

次の3問は、答えを整数または正確な分数で表してください。面積の問題では1目盛りを1 cmとし、単位も書いてください。

1. 2点 (1, 2)、(4, 8) を通る直線の式を求めなさい。また、この直線と y = -x + 6 の交点の座標を求めなさい。
2. 2直線 y = 2x + 1、y = -x + 5 の交点の座標を求めなさい。
3. 直線 y = x + 2 と y = -x + 4 の交点をD、それぞれの直線とx軸との交点をE、Fとします。Dの座標と三角形DEFの面積を求めなさい。

練習の答えと道筋

1. 傾きは (8 − 2) ÷ (4 − 1) = 2です。y = 2x + b に (1, 2) を入れると 2 = 2 + b、b = 0です。直線は y = 2x です。もう一方の点でも2 × 4 = 8となります。交点では 2x = -x + 6、3x = 6、x = 2です。y = 2 × 2 = 4より (2, 4) です。もう一方でも -2 + 6 = 4となり、両方の条件に戻ります。

2. 2x + 1 = -x + 5 より 3x = 4、x = 4/3です。最初の式に代入すると y = 8/3 + 1 = 11/3です。答えは (4/3, 11/3) です。もう一方でも -4/3 + 5 = 11/3となります。分数を小数に丸めずに戻すことで、2直線の高さが正確に一致すると確かめられます。

3. x + 2 = -x + 4 より 2x = 2、x = 1です。y = 1 + 2 = 3なので D = (1, 3) です。他方でも -1 + 4 = 3です。Eは 0 = x + 2 から (-2, 0)、Fは 0 = -x + 4 から (4, 0) です。両端をそれぞれの式に戻すと、どちらもyは0です。底辺EFは 4 − (-2) = 6 cm、高さは3 cmなので、面積は 6 × 3 ÷ 2 = 9 cm²です。負のx座標を含む底辺でも、端の差を取れば長さが出ます。

別の条件でも成り立つか調べる

交点を求める式で文字が消える場合もあります。例えば y = 2x + 1 と y = 2x + 4 を等しく置くと、2x + 1 = 2x + 4 です。両辺から2xを引けば 1 = 4 となり、成り立ちません。同じxに対して常に高さが3違うので、2本の直線は平行で交点がありません。計算が変だと見えても、矛盾がどこから生じたかを確認すると、交点が存在しないという結論になります。

一方、y = 2x + 1 と 2y = 4x + 2 では、後者の両辺を2で割ると前者と同じ式です。等しく置くと 1 = 1 となり、特定のxには決まりません。2本は重なり、直線上のどの点も共通します。連立の途中で文字が消えたときは、矛盾する等式か、いつでも成り立つ等式かを区別します。1組の座標を無理に答えにしないことが必要です。

2点から直線を決めるときも、引き算の順番が重要です。例えば (2, 7) と (5, 1) なら、xを後の点から先の点へ引いて 5 − 2 = 3、yも同じ順に 1 − 7 = -6 とします。傾きは-6 ÷ 3 = -2です。両方の順番を逆にしても 6 ÷ (-3) = -2となります。片方だけ逆にすると符号が変わるので、分子と分母が同じ2点の同じ向きの変化を表しているかを見ます。

この傾きで y = -2x + b と置き、(2, 7) を入れれば 7 = -4 + b、b = 11です。もう一方でも -2 × 5 + 11 = 1です。傾きの計算だけで終えず、最初に与えられた2点に戻すと、切片の計算を含めて点検できます。

面積では、交点が図の上側か下側かによって高さの読み方に注意します。軸より下ならy座標は負ですが、軸から点までの距離はその符号を除いた正の数です。軸上なら高さは0です。底辺がy軸上にある問題では役割が入れ替わり、底辺は2点のy座標の差、高さは残る点のx座標と0との差の大きさになります。どの辺を底辺に選んだかを図に記し、そこへ垂直な距離を高さとして取ります。

底辺を決める前に、求めた点が本当に指定された軸上にあるかも確かめます。x軸上の点はy座標が0、y軸上の点はx座標が0です。軸との交点を出すときに0を入れる文字を取り違えると、底辺の長さまで変わります。式へ戻したうえで、軸の条件も別に点検してください。

図から交点が整数らしく見えても、連立の結果が分数なら分数のまま答えます。目盛りの間にある位置は見た目で正確に決められません。逆に、式で求めた位置が図と大きく離れるときは、直線の傾きや切片を描き間違えていないかを確かめます。

手元に残す要点

2点の差から傾きを出し、点を代入して切片を決めます。
交点では2つのyが等しく、連立してxとyをそろえます。
得た座標は両方の式に戻します。
面積では軸上の底辺と軸までの距離を確かめます。

式のどこで立ち止まったかを見る

お子さまが交点の計算を終えたら、答えが数1つなのか座標の組なのかを見てください。xだけなら、その値をどちらの式に入れればyが出るかを尋ねます。座標がそろっていても片方の式にしか合わない場合は、等式を作った行と代入した行を分けてたどると、符号の間違いを見つけやすくなります。

個別指導で確かめる箇所は、2点の差の順序、2式のyを等しく置く理由、軸からの距離の読み方です。本人に図上の点を指しながら説明してもらい、面積が0となる場合も含めて、計算結果が図の条件に戻るかを一緒に点検します。交点は2本の式を結ぶ座標です。