高校受験の数学 連立方程式の利用—二つの未知数と二つの条件を対応させる｜武蔵野個別指導塾

個数と代金、速さ、割合を表に整理し、文字の意味を固定して条件に戻す連立方程式の利用をたどります。

よくあるのは、中2の生徒が2種類の品物の個数を求める途中で、最初の式ではxを品物Aの個数と置いたのに、次の式では品物Bの個数として使ってしまう場面です。計算が正しく進んでも、異なる意味のxを同じ数として扱えば、問題の条件には戻れません。文字の意味を最初に書き、2つの条件を同じ表から式にする練習をしましょう。

文章の中の2つの関係を探す

ここでは個数と代金、速さ、割合の文章題を扱い、濃度は混合の立式に限ります。連立方程式そのものの解法の詳しい使い分けや、一次関数のグラフは扱いません。中学校学習指導要領では、第1学年の数と式に一元一次方程式が置かれています。

出方の1つは、2種類の品物について合計の個数と代金が与えられる型です。個数の和と代金の和は別の条件なので、それぞれ1本の式にします。次は、2人の移動について道のりや時間を比べる型です。速さと時間の単位をそろえ、進んだ道のりをそれぞれ求めてから、和や差を使います。もう1つは、異なる割合をもつ2つの量を合わせる型です。全体の量と、割合をかけて得られる部分の量を区別します。

どの型も、未知数を2つ置けば自動的に式が2本できるわけではありません。文章のどの条件を等式にしたのかを言葉で説明できることが先です。同じ条件を見た目だけ変えて2回書いても、異なる2つの関係を使ったことにはなりません。式を作る前に、既知の数と求める量、条件の区切りに印を付けてみましょう。

文字の席を決めてから表を埋める

未知数とは、まだ値がわからず、文字で表す量です。例えば2種類のノートについて、Aをx冊、Bをy冊と決めたら、最後までその対応を変えません。xとyの値がわかった後も、答えの単位は冊です。値段を文字に置いたのか個数を置いたのかを書かないと、式に現れる数の意味を確かめられません。

図1のように、列を品物の種類、行を単価と個数にして整理します。代金の行は単価と個数の積です。合計個数の条件はx + y、合計代金の条件は単価にそれぞれの個数をかけたものの和で表します。左辺と右辺は同じ種類の量で、単位もそろっている必要があります。

図1の表では、Aの代金が120x円、Bの代金が80y円です。たとえば合計が10冊ならx + y = 10、代金が960円なら120x + 80y = 960です。式の各項を指して「何の量か」と読むと、個数と円を足すような誤りを見つけやすくなります。2式とも同じ表のxとyを使っているかを確認しましょう。

速さでも表の役割は同じです。時間を分で置いたら速さを分速で表し、速さ × 時間を道のりにします。割合なら、全体の量 × 割合が対象の部分の量です。割合を足すのではなく、それぞれの部分の量を足すことに注意します。混合では、食塩水の重さと食塩の重さを別々の行に置けば、何を合わせた等式かが見えます。

表を作った後は、条件を1つずつ式に変えます。たとえば「合わせて」という言葉が冊数にかかるのか代金にかかるのかを確かめ、単位を式の横に書きます。条件が不足している場合には、計算を急いでもそれぞれの値が決まるとは限りません。逆に、計算した値が一方の条件を満たしていても、もう一方を満たすとは限らないため、両方を見る必要があります。

割合を使うときは、25%なら100分の25、つまり0.25を全体にかけます。混合の前後では食塩水の重さと食塩の重さがそれぞれ対応しますが、割合そのものを重さのように足すことはできません。表の行に単位を書くことで、同じ量どうしを結ぶ手がかりになります。

基本例題：冊数と代金を別々に読む

問題：120円のノートAと80円のノートBを合わせて10冊買うと、代金は960円でした。それぞれ何冊買いましたか。冊数を整数で答えましょう。

Aをx冊、Bをy冊と置きます。合計の冊数から、x + y = 10です。Aの代金は120x円、Bの代金は80y円ですから、合計の代金から120x + 80y = 960です。図2のように、1つの表の縦と横をたどって2本の式を作ります。

図2の各式は、上が冊数、下が円を表します。計算しやすくするため、代金の式の両辺を40で割ると、次の連立方程式になります。

x + y = 10

3x + 2y = 24

1本目の両辺を2倍して、2x + 2y = 20とします。2本目からこの式を辺ごとに引くと、x = 4です。これをx + y = 10に代入すると、4 + y = 10なのでy = 6です。したがってAは4冊、Bは6冊です。

ここで終わらず、問題の場面に戻します。冊数は4 + 6 = 10冊、代金は120 × 4 + 80 × 6 = 480 + 480 = 960円です。どちらも指定された値に戻り、冊数は0以上の整数です。片方の式に代入して計算を確認するだけでは、もう一方の条件の読み違いを見逃すことがあります。2つの条件を元の単位で確認しましょう。

もし計算結果が負の冊数や、冊数として指定された整数ではない値になったら、そのまま答えにしません。立式や計算を見直し、それでも条件を満たす数がなければ、その条件では求める冊数が存在しないと判断します。連立方程式の計算結果と、文章題の答えが同じ条件を満たすかは別の確認です。

少し難しい例題：出会う場合と追いつく場合

問題：家から公園まで一直線の道が1200mあります。兄は家から公園へ、妹は公園から家へ同時に出発し、4分後に出会いました。兄の分速は妹の分速より40m速いものとします。2人の速さをそれぞれ整数の分速で求めましょう。2人とも一定の速さで進みます。

兄の分速をx m、妹の分速をy mとします。4分間に進む道のりは兄が4x m、妹が4y mです。向かい合って進み、出会うまでに2人で1200mを進むので、4x + 4y = 1200です。また、兄が妹より分速40m速いので、x − y = 40です。最初の式の両辺を4で割るとx + y = 300になります。

x + y = 300とx − y = 40を辺ごとに足すと、2x = 340です。よってx = 170です。x − y = 40に代入すると170 − y = 40、y = 130です。答えは兄が分速170m、妹が分速130mです。

場面に戻すと、4分で兄は680m、妹は520m進み、和は1200mです。速さの差も170 − 130 = 40mです。2つの速さは正の整数で、2人が進む条件に合います。もし同じ向きに進んで追いつく問題なら、進んだ道のりの和ではなく差が、出発時の間隔に対応します。向きと出会う位置を線上に書いてから、和か差かを選びましょう。

出会った時刻までが2人とも同じとは限りません。出発時刻が異なる問題では、それぞれが実際に動いた時間を書き分けます。時間が分なのに速さを時速のままかけると単位が合いません。時速を分速に直すか、時間を時間の単位に直してから計算します。

式ができても戻れないとき

基本例題で、xをAの冊数、yをBの冊数と置いたのに、代金の式を80x + 120y = 960とする誤答を考えます。この式ではxがB、yがAの冊数として扱われています。図3のように、文字と単価の組を表で照らすと、取り違えた箇所が見えます。

図3の正しい組はAが120円とx冊、Bが80円とy冊です。したがって代金は120x + 80y円に直します。この例では誤った式を解いても整数の組が得られるため、計算結果の見た目だけでは誤りに気づきにくいところです。出た組を元の品物に割り当て、実際の単価で代金を計算すると違いを確かめられます。

別の誤りは、割合の条件で「全体の割合は2つの割合の和」とすることです。量が異なる2つを混ぜるときは、それぞれの量に割合をかけて部分の量を出し、その和を全体の部分の量と比べます。混ぜる前後で保たれる量が何かを言葉にすると、単に数を足す誤りを避けられます。

自分で条件を式にする練習

次の4問は、まず文字の意味と単位を書き、問題をまとめて解いてから解答を確認しましょう。個数や人数は整数、速さは整数の分速、重さは整数のgで答えます。

1. 150円のペンと90円の消しゴムを合わせて12個買い、代金は1440円でした。それぞれ何個ですか。
2. 兄と弟が900m離れた地点から向かい合って同時に歩き、5分後に出会いました。兄は弟より分速20m速く、2人とも一定の速さです。それぞれの分速は何mですか。
3. ある集まりの男子と女子を合わせると40人です。男子の25%、女子の50%が係に入り、係は合計14人でした。男子と女子はそれぞれ何人ですか。
4. 5%の食塩水と8%の食塩水を合わせて300gにすると、7%の食塩水になりました。それぞれ何g混ぜましたか。

式を立てたら、各項が何を表すかを声に出して読みます。特に3問目では、係に入らなかった人数ではなく、入った人数を数えることに注意しましょう。4問目では混ぜる前の食塩の重さをそれぞれ求め、混ぜた後の食塩の重さと比べます。途中で迷ったら、求める量と条件を表に戻して確かめます。

練習の解答と条件の確認

1. ペンをx個、消しゴムをy個とします。個数からx + y = 12、代金から150x + 90y = 1440です。後の式を30で割ると5x + 3y = 48です。前の式を3倍した3x + 3y = 36を引くと2x = 12、x = 6です。y = 6となるので、各6個です。6 + 6 = 12個、150 × 6 + 90 × 6 = 1440円となり、元の条件に合う整数です。

2. 兄の分速をx m、弟の分速をy mとします。5分の道のりの和から5x + 5y = 900、速さの差からx − y = 20です。前の式を5で割り、x + y = 180とします。2式を足して2x = 200、x = 100、y = 80です。兄は分速100m、弟は分速80mです。5分で500mと400m進み、和は900m、分速の差は20mです。両方とも正の整数です。

3. 男子をx人、女子をy人とします。人数の和はx + y = 40、係の人数は0.25x + 0.5y = 14です。後の式の両辺を4倍してx + 2y = 56とし、人数の式を引くとy = 16です。x = 24ですから、男子24人、女子16人です。24 + 16 = 40人で、係は24人の25%が6人、16人の50%が8人、合わせて14人です。人数は条件に合う整数です。

4. 5%の食塩水をx g、8%の食塩水をy gとします。重さの和はx + y = 300です。食塩の重さに着目すると、0.05x + 0.08y = 0.07 × 300です。右辺は21なので、両辺を100倍して5x + 8y = 2100です。最初の式を5倍した5x + 5y = 1500を引くと3y = 600、y = 200です。x = 100なので、5%が100g、8%が200gです。混ぜた重さは100 + 200 = 300g、食塩は5 + 16 = 21gで、300gの7%に等しくなります。両方とも正の整数です。

練習の途中で負の人数や小数の個数が出た場合も、まず計算の符号と文字の対応を見直します。式が正しく解けていても、元の条件に合わない値は答えにできません。速さについても、正の向きに進むと指定された場面では負の値を採用しません。条件を満たすかどうかの判断までが文章題の解答です。

手元に残す4行

• 文字の意味と単位を固定して表に書きます。
• 異なる2つの条件を、量と単位をそろえて式にします。
• 道のりは速さと時間の積、部分の量は全体と割合の積です。
• 解を元の場面に戻し、条件と整数性を確認します。

どこで止まったかを見分ける

式が書けないときは、数字を操作する前に、何をxと置いたかを本人の言葉で聞いてみます。表の各欄は埋まるのに等式にできないなら、合計や差を示す文と、等号の両側を指で対応させます。式は合うのに答えが違う場合は、計算の行ごとに何を加減したかを追います。

お子さまが答えだけを見て正誤を判断しているときは、得られた値で品物の代金や移動距離を作り直してもらいます。個別指導では、同じ文字が2式で同じ量を指すか、単位がそろうか、出た値が元の条件を満たすかを本人の説明とともに確かめます。条件と文字の対応が、連立方程式の利用を支えます。