高校受験の数学 文字式の表し方—数量を文字で置き換えて式の意味を読み取る｜武蔵野個別指導塾

負の数の代入に括弧が必要な理由を、温度やカードの枚数の例から考え、文字式が表す数量を読み取ります。

よくあるのは、中1の人が文字に負の数を入れるとき、括弧を忘れて計算を進める場面です。たとえば x の2乗に負の数を入れると、負号も含めた数を2回かける必要があります。文字は単なる空欄ではなく、ひとまとまりの数を表す印です。何を置き換えたのかをたどると、式の書き方と値の求め方がつながります。

文字を使って何を表すか

ここでは、数量を文字を使った積や商で表すことと、数を代入して式の値を求めることを扱います。文字の項をまとめる一次式の計算や方程式の解法は扱いません。学習指導要領の数学では、文字を用いた式は第1学年の数と式に置かれています。

出方の1つは、文章にある「1個分」と「個数」から全体の量を式にする型です。1個 a 円の品を b 個買えば、代金は a × b 円です。文字を使うと、個数や単価が変わっても同じ関係を一つの式に残せます。もう1つは、できあがった式を文章に読み戻す型です。割る順序や、どこまでが一まとまりかに注意します。3つ目は、文字に指定された数を入れて値を求める型です。負の数や分数では、代入後の計算順序を確認します。

式を作るときは、最初から記号を省かず、言葉で関係を置いてから書くと見直しやすくなります。式の値を求めるときも、元の式の構造を保ったまま置き換えます。答えが数になった後、何を表す数かまで戻ることが確認の最後の一歩です。

積と商に残る意味

文字を使う式では、かけ算の記号 × を省くのが普通です。数と文字の積は数を前に置き、4 × a は 4a と書きます。a × b は ab、a × a は a² です。a² は a を2回かけた積であり、2a という2倍の意味とは異なります。1 × a は a、(-1) × a は -a と書きます。数どうしの積の記号は省かず、先に計算して表します。

割り算は分数の形にします。a ÷ 5 は a/5、a ÷ b は a/b です。後者は b が0でないときに使います。分母が0になる割り算はできないためです。a ÷ b と b ÷ a は順序が違います。分子に割られる量、分母に割る量を書けば、何を分けたのかを追えます。

図1のように、1袋に a 個入ったものが b 袋なら、全体は ab 個です。反対に、合計 a 個を b 袋に等しく分けるなら、1袋は a/b 個です。この場面では b は正の整数で、個数として扱える条件も必要です。記号の順を覚えるだけでなく、全体と1つ分のどちらを求めるかを見ます。

図1の積では、1袋分を袋の数だけ集めます。商では、全体を等しい大きさに分けます。同じ文字が登場しても役割は変わるので、式の横に単位や文字の意味を書いておくと混同を防げます。和や差をまとめて扱うときは括弧を使います。たとえば、1箱に赤い札が p 枚、青い札が q 枚入り、同じ箱が3箱なら、合計は 3(p + q) 枚です。3p + q とすると青い札を1箱分しか数えません。

式を言葉に戻す練習

式を読むときは、文字を左から順に声に出すだけでなく、どの計算が先にまとまるかを確認します。たとえば 7t は「t の7倍」です。t が1冊の重さなら、7冊分の重さを表します。一方、t + 7 は t に7を加えた量です。記号が省かれた積と、足し算を混同しないようにします。

(t + 8)/2 は、t と8の和を2で割る式です。t + 8/2 は、8を2で割ったものを t に加える式なので、通常は同じ意味になりません。t = 4 を入れると前者は (4 + 8)/2 = 6、後者は 4 + 8/2 = 8 です。値が違うことからも、分子に含まれる範囲が重要だと確かめられます。式を文章にするときは「和を2で割る」と「半分を加える」を言い分けます。

文字に入る値にも目を向けます。長さや個数を表す文字には、場面に応じた制約があります。たとえば、6個の品を同じ個数ずつ袋に入れるとき、袋の数は正の整数であり、1袋の個数も整数でなければなりません。計算の形として商が書けても、出た数が場面に合うかは別に確かめます。文字が温度や計算用の数を表すときは、負の数を入れられる場合もあります。

基本例題：温度差を式に入れる

ある場所の朝の気温を x ℃とします。昼の気温は朝より 6 ℃高いとします。昼の気温を x を使う式で表し、x = -3 のときの昼の気温を整数で求めてください。

まず、朝の気温に上がった分を加えるので、昼の気温は x + 6 ℃です。x が負でも、6 ℃高いという関係は変わりません。図2のように、x の位置に -3 を符号ごと括弧に入れます。

代入後は次のように計算します。

x + 6 = (-3) + 6 = 3

したがって昼の気温は 3 ℃です。括弧の中は朝の気温全体を表します。今回は括弧を外しても正しく計算できますが、負号が引き算や累乗と隣り合う場合にも同じ方法を使えるよう、まずひとまとまりにする習慣が役立ちます。

場面に戻して確かめます。朝の -3 ℃から 6 ℃上がると、0 ℃まで3 ℃、さらに3 ℃上がるので 3 ℃です。昼の 3 ℃と朝の -3 ℃の差も 3 − (-3) = 6 ℃となり、条件に合います。式の値の 3 を書くだけで終えず、気温として単位を付けます。

もし「朝より 6 ℃低い」なら式は x − 6 になります。高いと低いの違いは、文字に数を入れる前の加減に表れます。代入が正しくても、最初の関係を逆にしていれば場面に合いません。まず言葉で「朝の気温に上昇分を加える」と言えるかを確かめてください。

符号と累乗が重なるとき

次の式 A = -x² + 2x について、x = -2 のときの A の値を整数で求めてください。さらに、x = 2 のときの値も整数で求め、両者を比べてください。

-x² は、x を2乗した後にその反対の数をとる意味です。(-x)² とは括弧の位置が違います。x = -2 の場合は、文字の位置に (-2) を入れます。

A = -(-2)² + 2 × (-2) = -4 + (-4) = -8

ここで (-2)² = (-2) × (-2) = 4 です。その前にある負号を残すので、最初の部分は -4 になります。次の積 2 × (-2) は -4 です。2つの負の数を足して -8 を得ます。

一方、x = 2 の場合は次のとおりです。

A = -(2)² + 2 × 2 = -4 + 4 = 0

よって値はそれぞれ -8、0 で、前者の方が8小さくなります。2乗した部分は、-2 と 2 のどちらを入れても 4 です。一方、2x の部分は -4 と 4 に分かれます。正負が変わっても同じになる部分と、符号が変わる部分を見分けることが分かれ目です。

元の計算に戻ると、x = -2 では「4の反対の数」と「-2の2倍」を合わせて -8 です。x = 2 では「4の反対の数」と「2の2倍」が打ち消し合い、0 です。どちらも元の式の各部分に対応しています。もし式が (-x)² + 2x なら、最初の部分は x の反対の数を2乗するので、同じ x = -2 でも 4 になります。括弧の位置まで読んでから代入してください。

誤答を途中から直す

x = -2 のとき x² を -2² = -4 とする誤答を考えます。図3のように、文字に入れる数を括弧で囲まず書き換えると、元の x² が「-2 の2乗」ではなく「2の2乗に負号を付けた数」になってしまいます。

正しくは x² = (-2)² = 4 です。図3で括弧が囲むのは、代入する -2 全体です。2乗はその全体を2回かけるので、(-2) × (-2) = 4 となります。なお、-x² に代入する場合は、その結果にさらに元の負号を付けて -4 です。代入した数の負号と、元から式にある負号を区別します。

別の誤りとして、a ÷ 4 を 4/a とする場合があります。たとえば a = 12 なら、元の割り算は 12 ÷ 4 = 3 です。逆の 4/12 は 1/3 で、同じ値にはなりません。分数に直した後で具体的な数を入れ、元の割り算に戻るかを確かめると、順序の取り違えを見つけられます。分母に文字がある式では、その文字に0を入れてよいかも先に確認します。

見直しがうまく進まないとき

答えが合わなかったとき、最後の符号だけを直して終えると、どの操作で変わったかが残りません。元の式を書き、その下に代入だけをした行、さらにその下に積や2乗を計算した行を置きます。最初に食い違った行を探せば、代入の括弧を忘れたのか、負の数の加減を間違えたのかを分けられます。

時間が足りず最後まで計算できなかった場合も、文字の意味と代入した式を残しておくと、後から続きを確かめられます。分数を小数に急いで直す必要はありません。たとえば 1/3 はそのまま扱い、3倍して1に戻ることを使って確かめられます。分母が0になった場合は計算を続けず、その値を入れられる式かを元に戻って調べます。

問題文から関係を作れない場合は、文字を使う前に具体的な数を仮に置いて、何を何回集めるかを考える方法があります。1個分が6、個数が3なら全体は 6 × 3 です。この6と3をそれぞれ文字に置き換えれば、積の順序と意味が見えます。仮に置いた数は説明のためのもので、問題が指定した値とは区別します。図や式の見た目が正しくても、単位が合わなければ関係の取り方をもう一度確認します。

自分で試す問題

次の問題は、式を求めるものは指定された文字を使い、数値は整数または約分した分数で答えてください。問題を先に解き、後の解答で元の場面や式に戻して確かめます。

1. 1本 c 円の鉛筆を5本買います。代金を c を使って表し、c = 80 のときの代金を整数で求めてください。
2. 長さ d m のひもを同じ長さの4本に切ります。1本の長さを d を使って表し、d = 3 のときの長さを約分した分数で求めてください。
3. y = -3 のとき、y² − 2y の値を整数で求めてください。
4. 1箱に白いカードが m 枚、黒いカードが n 枚あります。同じ箱が4箱あるときのカードの合計を式で表し、m = 2、n = 7 のときの合計を整数で求めてください。

解答と確かめ

1. 代金は1本の値段を5回分集めるので、5c 円です。c = 80 を入れると 5 × 80 = 400 で、400円です。場面に戻しても80円を5本分合わせると400円となります。5 + c とすると本数と値段を足すことになり、代金を表しません。

2. 全体を4等分するので、1本は d/4 m です。d = 3 なら 3/4 m です。4本分を合わせると (3/4) × 4 = 3 m で、元の長さに戻ります。4/d と逆にすると、全体の長さを4等分する関係を表せません。

3. y² − 2y に -3 を代入します。

   (-3)² − 2 × (-3) = 9 − (-6) = 15

   答えは 15 です。元の式の前半は -3 を2回かけて9、後半は -3 の2倍を引くので 9 − (-6) = 15 です。負の数を引くことを足し算に直す前に、2y の値を括弧で残すと符号を追えます。

4. 1箱の合計は m + n 枚なので、4箱では 4(m + n) 枚です。m = 2、n = 7 を入れると 4(2 + 7) = 4 × 9 = 36 で、36枚です。場面で別々に数えても白は 2 × 4 = 8 枚、黒は 7 × 4 = 28 枚で、合わせて36枚です。括弧の中の両方が4箱分になっていると確認できます。

問題4では、先に箱1つの中身をまとめる方法と、色ごとに数えて最後に足す方法が一致します。このように別の順で場面を数え直すと、括弧を付ける位置も確認できます。計算結果だけでなく、各部分が何を数えたものかを説明してください。

手元に残す要点

• 積では × を省き、数を文字の前に書きます。
• 商は割られる量を分子、割る量を分母に置きます。
• 負の数は符号を含めて括弧に入れ、元の式の順序で計算します。
• 答えを場面や元の式に戻して、単位と条件を確かめます。

途中のどこで迷ったかを見る

文字式を見て手が止まるときは、まず文字が何を表すかを言葉で説明してみます。式は書けるのに値を間違える場合は、代入した行と、その次の計算行を分けて見ると、置き換えと計算のどちらで変化したかが見えます。お子さまが答えを急ぐ場合も、途中の括弧を残した1行が手がかりになります。

個別指導で確かめるなら、同じ式に正の数と負の数を入れ、2乗の前後で何が変わるかを本人の言葉で聞きます。数量の式では、分子と分母がそれぞれ何を表すかを指して説明できるかも確かめます。正しい答えに着いた場合も、元の量へ戻せれば式の意味が定着したかを判断しやすくなります。文字に入る数をひとまとまりに見ることが、符号を含む計算の道筋を支えます。