中3数学の定期テスト過去問—縮小された図を実測して答えた問題をどう練習し直すか｜武蔵野個別指導塾

縮小コピーで測った長さを条件と分け、線分の式から答案を直すための手がかりは紙面と条件の照合です。

縮小された図を定規で測って答えたら、まず答案の数字がどこから来たかを確かめます。次に問題文と図に書かれた条件を拾い、必要な関係を式にして解き直します。紙の上で測った長さと、問題が与えた長さは別の欄に置きます。

よくあるのは、縮小コピーに定規を当てていた中3の夜、図の線の長さをそのまま答えにしてしまうという場面です。手元の紙は使用を認められた過去問の写しで、図には長さの条件が添えられています。見た目に数字が出せても、その数字が問いの条件から導かれたかは別に調べる必要があります。

紙の長さと問題の長さを分ける

紙面の線は図形の関係を示す手がかりですが、印刷やコピーで図全体が縮むと、その上に定規を当てて得た長さも変わります。図の横に書かれた長さは、問題の中で与えられた条件です。紙の線が何センチメートルに見えるかと、問題の図形の辺が何センチメートルと指定されているかを、同じ数字として扱わないところから始めます。

図1のように、紙面で測った値は測定の欄に、問題に記された値は条件の欄に入れます。ここに入れた数の違いは、どちらかの計算が間違っているという意味ではありません。異なる対象を表しているため、役割を区別する印です。

たとえば線分の脇に「6 cm」と書かれていても、縮小した紙でその線が3 cmに見えることがあります。後者は手元の紙についての観察で、前者は問題の条件です。この2つを同じ欄に書くと、どの数字を使って答えたのか後から追えません。測った数字を消す前に、紙面の値だと明記して残すと、誤答の経路が見えます。

似た誤りに、条件を使おうとしたものの、足すべき長さを引いてしまう場合があります。このときは数字の出どころは正しくても、関係の式が違います。また、条件を式にできた後で計算を取り違えた場合は、式と計算結果の間を調べます。実測の混入、関係の読み違い、計算の誤りを一まとめにせず、数字が初めてずれた場所を探してください。

図が正確な縮尺で描かれていると問題に明示され、実測が求められている場合は、指示に従って扱います。そうした指示がない図については、見た目が条件と合うように見えても実測値を根拠にしません。図に「図は正確ではない」などの注意があれば、それも条件を読む際に拾います。学校の資料に固有の指示があるときは、先生の説明と合わせて確かめます。

答案の横に条件の道筋を作る

使うのは、利用を認められた問題の紙、自分の答案、学校から示された解答や説明です。揃っていないものがあれば、推測で空欄を埋めず、何が足りないかをメモします。実物の紙面を別の場所に転載する必要はありません。問題番号と自分が迷った箇所を控え、元の資料を見ながら作業します。

図2のように、最初に答案、次に問題の条件、最後に式を並べます。答案の数字を見てすぐに正解へ書き換えるのではなく、その数字を選んだ理由を言葉にします。測った線に小さな印が残っていれば、それも手がかりです。印がなくても、当時の読み方を覚えている範囲で「紙に定規を当てた」と書けます。

次に問題文の指示を読み、何の長さを求めるのかを丸で囲みます。図に表示された長さ、点の位置、等しいことを示す印など、式を作る根拠になりそうな条件には別の印を付けます。求めるものに付けた丸と、与えられたものに付けた線を混ぜないことが要点です。条件を拾う際は、図の中の文字だけでなく、図の外にある説明も読みます。

その後、別紙に「条件」「紙面で測った値」「求める量」の3欄を設けます。条件の欄には出どころも添えます。たとえば、線分の全体の長さなら「問題文の全体」、部分の長さなら「図の表示」のように書きます。紙面で測った値は、使わない理由がわかるように残し、条件の欄へ移しません。

式を書く前に、条件が求める量とどうつながるかを短い文にします。全体が2つの部分に分かれるなら、全体から既知の部分を引けば残りが求まる、という関係です。式には条件として与えられた数を入れます。計算の答えを書いた後、求められた線分の名前と単位も問題に照らして確認します。

途中で資料の表示が薄くて数字を読めない場合は、線の見た目から補いません。別の読み方を仮に試した数を正しい条件として扱うと、後の式まで確定したように見えてしまいます。読めない位置を控え、読める資料や先生の説明で確認してから戻ります。問題の指示と解答の説明が食い違って見えるときも、どちらかを勝手に直さず、問題番号と該当箇所を添えて尋ねます。

解答を見ても関係がつかめない場合は、数を入れた式を丸暗記せず、各数がどの線分を表すかを書き添えます。そこが結べなければ、授業のノートや教科書で同じ関係の説明を探します。答えを知っている状態でも、元の条件を隠さずに式を自分で再現できるかが、練習を終える目安です。

1本の線分で直し方を試す

自作の練習として、一直線上に点A、B、Cがこの順に並ぶとします。問題の条件は、線分ACが12 cm、線分ABが7 cmです。求めるのは線分BCの長さです。図の線は位置関係を示すためのもので、紙面で測った値を条件として使う問いではありません。

ある縮小された紙では、BCを定規で測ると2.5 cmだったとします。その値を答えに書いた場合、紙面の実測から答えへ飛んでおり、12 cmと7 cmが式に使われていません。図3のように、全体ACから部分ABを除く関係に戻すと、BCは12 − 7で5 cmです。2.5 cmはこの紙の上の観察として残し、求める長さの答えとは分けます。

修正前の答案には「2.5 cm、紙面を測定」と書き添えます。修正後には「ACからABを引く」「12 − 7 = 5」「BCは5 cm」と並べます。途中に関係の文を置くことで、答えの数字が正しいかだけでなく、なぜその式を選んだかも見直せます。図は比率を測るためではなく、どの部分を引くか確認するために使います。

もし12と7を足して19 cmとしたら、実測ではなく関係の取り違えです。点の順番を読み直し、ABとBCを合わせたものがACだと確かめてから、求める部分を残す式に戻ります。もし12 − 7と書いた後に6と計算したら、関係の理解と計算を分け、引き算の行を点検します。どちらの場合も、見た目の線の長さで答えを決め直す必要はありません。

点の順番が読み取れない、またはBがAC上にあるか問題文から判断できない場合は、この引き算をすぐに適用できません。図の印や文章をもう一度調べ、それでも判別できなければ、どこまで読めたかを書いて先生に尋ねます。条件が欠けているかもしれない場面で、図の形を測って不足分を補わないことが、別の誤りを防ぎます。

縮小前の紙を手に入れた場合も、まず問題自体の条件を読みます。元の紙と写しで線を測り比べることは、紙面の違いに気づく観察にはなります。しかし、実測を指示されていない問いの答えは、元の紙の測定値ではなく条件から導きます。手元に元の紙がない場合も同じ道筋で練習できます。

記録が残っていないとき

答案に数字だけがあり、測ったかどうか思い出せない場合もあります。その数字が紙面の長さに近いという事実だけでは、当時の考え方を断定できません。「出どころ不明」と書いておき、条件から自分で式を作り直します。新しい式の各数が問題のどこに書かれているかを指せれば、過去の記憶が戻らなくても、今回の考え方を点検できます。

逆に、定規を使ったことを覚えていても、実測値を図の位置確認に使っただけで、答えは条件から計算していた可能性があります。途中式が残っていれば、そこに入った数の出どころをたどります。途中式がない場合は、当時の方法を決めつけるより、新しい解答に根拠を書いて残します。答案の数字と同じ答えが再現できても、根拠の記録があるかどうかを別に確かめます。

解答に式が載っていないときは、答えの数だけを条件欄に加えないようにします。答えは検算の照合先として脇に置き、問題文から読んだ条件と区別します。自分の式が合わないときは、まず求める線分を取り違えていないか調べ、それから条件と計算を順にたどります。解答の数字に合わせようとして条件を選び直すと、どこで迷ったかが見えなくなります。

別の紙で確かめ直す

自作の線分を描き直すときは、同じ条件を書いたまま、線の描き方を変えてみます。長めに描いた紙と短めに描いた紙で式が変わらなければ、紙面の寸法ではなく、書かれた条件を使えているかを説明しやすくなります。線の長短で点の順番まで変わると別の関係になるため、そこは描き直す前後で照合します。

線が曲がったり、印が重なって点の位置が曖昧になったりしたら、描いた図を根拠に答えを変える前に、条件に沿って描き直します。描き直しても問題文と図の対応が判断できないときは、途中のメモを残して確認先に渡します。作図の見た目を整えることより、何が与えられ、何が未確定かを分けることがこの練習の目的です。

別の条件で確かめる

次の問いを、定規を使わずに解いてみます。一直線上に点P、Q、Rがこの順にあり、PRは18 cm、QRは11 cmです。PQの長さを求め、どの条件を使ったかも書いてください。線を実際に描くなら、長さを正確に再現しようとするより、点の順番がわかる印を付けます。

答えは7 cmです。PRが全体で、QRがその一部分なので、残るPQは18 − 11で求まります。問題で与えられた2つの長さと点の順番が根拠です。線を描いて測った値が別の数字でも、その数字を式に入れる必要はありません。

29 cmとした場合は、全体と部分を足していないか、点の順番と全体の名前に戻って確かめます。7という数字が出ても、測った結果から書いた場合は、式と条件を結び直してください。数字が偶然一致しても、条件を変えた別の紙面で同じ説明ができるとは限りません。式を書けた後に答えの単位を落とした場合は、求める量の欄へ戻り、長さの単位を添えます。

点の順番を誤って読み、どれが全体かわからなくなった場合は、文字を左から順に書き、その下に各線分の端点を対応させます。答えを先に見たときは、いったん隠して条件から式までを書き直します。書けなければ、上の線分の例に戻り、全体と部分を見分けるところから試します。

解き終えた後は、問題を見ずに数字だけ覚えるのではなく、条件を見て関係を言い直します。言葉から式に移れない場合は、全体と部分を指でたどり、どの部分が未知なのかを先に示します。正しい答えを写せたかではなく、数字の出どころを自分自身の言葉で説明できるかを確かめる練習です。

家で残す記録と先生に聞くこと

家では、お子さま自身が答案の数字の出どころを説明できるか、問題文の条件を指せるかを一緒に確かめられます。保護者が先に正しい式を示すより、「その数は紙から測ったものか、問題に書いてあるものか」と尋ねると、本人の読み方が見えます。説明が途中で止まった場所に印を残し、答えを急いで埋める必要はありません。

先生への質問には、利用を認められた元の資料と答案を用意し、問題番号、読み取った条件、自分が作った式、止まった箇所を添えます。たとえば、点が線分上にあることをどの記述から判断するのか、解答の式の数がどの部分を表すのか、という聞き方ができます。学校の資料の指定や表記は、手元の教科書と案内、先生の説明に戻って確かめます。

過去問の図を見直す夜には、定規で読んだ数字の横に、条件から作った式を置いてみます。紙の大きさが変わってもたどれる根拠が残れば、次に見慣れない図を開いたときも、与えられた条件から考え始められます。