高校数学の定期テスト—解説の途中を飛ばして写した式を、自力でつなぎ直す復習｜武蔵野個別指導塾

展開前後の2行の間に根拠を書き込み、自分の手でたどり直す式の再構成に取り組めます。

解説を写した後に手が止まったら、答え全体をもう一度写す前に、隣り合う2行を選びます。その間で何が変わったかを言葉にし、必要な途中式を足してください。元の式と次の式の両方に戻って確かめ、説明できなければ教科書や授業ノートの同じ変形を探します。答えの形を覚えるより、矢印の根拠を自分の言葉で言える状態を目指します。

よくあるのは、解答と同じ式は写せたが途中の変形を説明できない高1の場面です。正しい行が紙に並んでいても、その間を自力で埋められるとは限りません。保護者は解き方を先に示す役ではなく、お子さまが止まった行を指せるよう、解説と白紙を並べる役になれます。

どの行の間で止まったかを見つける

まず解説を上から読み、行ごとに「次へ進める理由を言えるか」を試します。答えが合っているかという印と、変形を説明できるかという印は別にします。たとえば最終行を見て納得できても、直前の括弧がどのように消えたか言えなければ、その2行の間が復習する場所です。問題全体に大きく印を付けるより、指で示せる狭さにすると、次に何を調べるか決めやすくなります。

図1のように、見えている2行と、その間の空白を分けて眺めます。自作の練習例では、上の行は (x + 2)(x + 3)、下の行は x² + 5x + 6 です。括弧がなくなり、x の項と数の項が現れています。下の行を読めることと、それぞれの項がどこから来たか説明できることは別の確認です。

「どこがわからない」と聞かれても答えにくいときは、変わった箇所を丸で囲みます。括弧が消えた、項がまとまった、符号が変わったなど、見えた事実を書けば十分です。まだ理由を推測できなくても構いません。変化を見つけられないときは2行を縦に並べ直し、文字の項、数の項、括弧の位置を順に見比べます。

一方、各項の出どころは言えるのに最後にまとめるところで止まる場合は、展開全体をやり直す必要はありません。どの項を足したのかを点検します。見当違いの規則を使っていそうなら、無理に名前を付けず「この行から次の行へ移る理由」として保留し、学校で使った資料へ戻ります。作業の対象は問題の中の短い区間です。

紙の余白に省略された行を作る

準備するのは、学校の解答、授業ノートか教科書、書き直すための紙と筆記具です。解答の上から書き込めない場合は、選んだ2行を紙に離して写します。2行の間に余白を取り、元の記号や符号が変わらないように照合してください。写す段階で違いが見つかったら、先に元の行を正します。

自作例の (x + 2)(x + 3) から x² + 5x + 6 への間には、x² + 3x + 2x + 6 を置けます。最初の括弧の x と 2 を、それぞれ次の括弧の x と 3 に掛けています。x と x で x²、x と 3 で 3x、2 と x で 2x、2 と 3 で 6 です。その後、3x と 2x をまとめると 5x になります。図2のように、掛ける段階と同じ文字の項をまとめる段階を分けると、どちらで止まったか見えます。

紙に書いた途中行について、上の行からどう作ったか、下の行にどうつながるかを両方向で確かめます。上からは各項を指しながら掛けた組を言い、下からは 5x が 3x と 2x に対応することをたどります。6 は数どうしの積です。下の行にある項が途中行のどこに由来するか言えなければ、その項に戻って書き直します。

次に解答を隠し、最初の式から途中行と次の行を自分で作ります。書けたら解答と照らし、違いがあれば最初に食い違った行を探します。途中行の並び順が異なっても、各項と計算が正しく対応しているかを見ます。見た目が違うという理由だけで消さず、同じ項がそろっているか説明してください。

終える条件は、選んだ2行の間を見ずにつなぎ、足した行の根拠を短く言えて、元の解答とも照合できることです。言葉は「それぞれに掛ける」「文字の項をまとめる」のような短さで構いません。言えたつもりでも途中の項を落とす場合は、言葉と式を交互に指し、どの操作がどの項を作ったかを確認します。最後に、止まった場所と戻った資料の該当箇所を一言残して閉じます。

違う止まり方に合わせて修正する

符号のある展開で止まった場合を考えます。自作例 (x − 1)(x + 4) は、x² + 4x − x − 4 を経て x² + 3x − 4 になります。途中の -x と -4 は、最初の括弧の -1 をそれぞれに掛けた結果です。答えの最後の符号を見て合わせるのでなく、掛けた組を一組ずつ指して、途中行の符号がどこから来たかを記します。符号の規則が曖昧なら、学校の教科書の該当部分へ戻ります。

別の止まり方として、同じ文字の項をまとめる段階で 4x − x を 4 と書いてしまうことがあります。このときは展開の各積が正しいか確かめたうえで、4x − x を 3x とする行に戻ります。文字を消す操作はしていないと説明できるかを試してください。最初から全行を写し直すのではなく、間違いが生まれた行を直してから先へ進みます。

また、因数分解の解説で x² + 7x + 12 から (x + 3)(x + 4) へ移る理由が言えない場合もあります。候補を展開し、3 と 4 の積が 12、和が 7 になることを確かめます。展開して元の式に戻ることは候補の照合です。候補をどう見つけるかがまだ説明できなければ、照合できたことと候補探しが残っていることを分け、授業で扱った方法に戻ってください。

手が止まったときの戻り先

途中行を作ろうとして何も書けない場合は、まず上の行をそのまま読みます。括弧の中に何があるか、次の行に何が現れたかを指で追い、変化した部分に印を付けます。操作の名前が出なくても、掛け算や足し算の記号を含む箇所を学校資料で探せます。図3のように、変化を見つけるところから資料の確認へ戻り、再び自分の式で試します。

資料を開いても該当箇所が見つからないときは、解答の問題番号と止まった2行を控えます。疑問を「この行の 3x はどこから出ましたか」のように狭くして、授業で尋ねる準備にします。教科書と学校の解答で表し方が違う場合は、どちらが誤りだと決める前に、それぞれの行の対応を先生に確認してください。

やり直しても元の行に戻れない場合は、途中行を残したまま、最初に違った項に印を付けます。消して正答を写すと、質問する場所が見えなくなります。疲れて続けられないときも、印と質問を残せば作業を中断できます。次に開いたとき、その印から再開すればよく、解答の最初から再び写す必要はありません。

別の式で確かめる

確認問題として、(x + 5)(x + 6) を展開し、省略しない途中行を作ってください。各項がどの組の積か説明し、同じ文字の項をまとめてから答えを照合します。解答は x² + 6x + 5x + 30、次に x² + 11x + 30 です。6x と 5x の和が 11x になるためです。

途中行が作れなかった場合は図2の掛ける段階へ戻り、最初の括弧の各項を次の括弧の各項に対応させます。途中行は合っていて最後の行が違う場合は、同じ文字の項をまとめる段階へ戻ります。解答を見た後にもう一度隠し、どこから項が出たか説明できれば、この確認を終えます。

書き足した行を点検する順番

途中行ができた後は、式の左から順に、元の式にあるどの項を使ったかを確認します。掛ける組に印を付けながら読めば、同じ組を重ねて使ったり、片方を落としたりした箇所を探せます。印を付ける作業は答えを得るための飾りではなく、途中行の各項に出どころがあるか調べるためのものです。印の付け方が途中でわからなくなったら、元の式をもう一度書き、各項を一組ずつ指して進めます。

次に、数と文字を分けて見ます。文字のない項が現れた理由を尋ねられたときに、数どうしを掛けた結果だと説明できるかを確かめます。文字を含む項では、係数だけでなく文字も残っているかを見ます。最後に符号を確かめ、途中行の各項が下の行へどのように移ったかを追います。最終行が合っていても、この点検で途中行の誤りに気づいたら、その行から修正します。

自分の途中行と解答を見比べても、違いが正しいのか判断できないことがあります。その場合は二つの式を勝手に同じものと決めず、変形の根拠を資料で確認します。資料にある例と文字や数字が違っても、どの項に何を掛けているかという関係に注目します。それでも対応を作れない場合は、両方の式を残して質問します。正しいかどうかを保留することも、誤った変形を先へ持ち込まないための手順です。

説明を言葉から式へ戻す

「それぞれに掛ける」と言えても、実際の式で何と何を掛けるか示せなければ、まだ操作の場所が曖昧かもしれません。元の式の一方の項を指し、もう一方の括弧の各項へ順に目を移します。それぞれの積を途中行のどこに書いたか示し、次の項についても繰り返します。逆に途中行の一項を指し、元のどの組から生じたか言えるかを試すと、書き漏れや重複にも気づけます。

保護者が聞き役になる場合は、「次は」と急がせるより、本人が指した箇所を見て「その項はどこから来たの」と尋ねる方法があります。説明が途中で途切れたら、すぐに続きの答えを言わず、紙に疑問符を付けて資料を開きます。本人が声に出すことを望まなければ、項どうしを線で結ぶ、短い言葉を書くなど、示し方を選べます。説明の形式より、式と根拠が対応していることを確認してください。

解答の下の行にたどり着いた後も、最初の行から一続きで見直します。一か所を修正したために、後の行に古い符号が残ることがあるからです。修正した部分に印を付け、そこから先の各行へ影響がないかを調べます。最後に印を消す必要はありません。どこを直したかが残れば、次に似たところで迷ったときの手がかりになります。

親子で迷いやすい点

解答と同じ途中行でなければいけませんか

同じ変形を別の順で書くことはあります。各行が正しくつながり、求められた答えに至るかを確かめます。学校で特定の書き方を求められているか迷うときは、授業の指示を確認してください。お子さまは自分の行を残し、保護者は違いを消す前に質問をまとめる手伝いができます。

親が変形の理由を説明できないときはどうしますか

無理に説明を作らず、止まった2行と試した途中行を一緒に確認します。「どの項が気になる」と尋ね、本人が指した場所を控えると、先生に聞く材料になります。保護者が答えを判定できなくても、資料を開いて比較する作業は支えられます。

解答を見ながらなら書ける場合もやり直しますか

見ながら書く段階は、行の対応を探す準備になります。その後、解答を隠して同じ区間をつなぎ、見直して違いを確かめます。隠すと止まるなら失敗を責めず、止まった項の根拠を資料に戻してから再試行します。

授業で確かめる質問を作る

学校や1対1の授業では、問題全体を見せるだけでなく、解答の2行と自分が足した行を並べて見せます。「この項を掛けたつもりですが、次の行との対応が合っていますか」と尋ねれば、先生はどこから説明するか選びやすくなります。資料に書かれた規則の意味が曖昧なら、その言葉と式のどの部分が対応するかも聞いてください。

説明を聞いた後は、先生の言葉を写して終えず、その場で選んだ2行をもう一度つなぎます。自分の説明と学校で習った説明が違う場合は、どの操作が同じで、どこが違うのか確かめます。持ち帰るのは完成した式と、次に迷ったときに開く資料の場所です。

2行の間を埋めて終える

写した解答から説明できない2行を選び、変化を見つけ、根拠になる途中行を足します。見ずに再現して元の解答と照合し、残った疑問は行を示して尋ねます。紙に残った矢印の間が、自分でたどれる式になります。次に同じ解説を開いたときも、足した行を隠して説明できるか試してください。説明が途切れた場所には印を残し、授業資料の対応する箇所へ戻ります。問いを短く書いておけば、次に先生へ尋ねるときにも途中の考えを示せます。