中学受験社会 縮尺の計算—地図上の長さと実際の距離を単位をそろえて求める｜武蔵野個別指導塾

地図上の長さを実際の距離に直すとき、cmからkmへの換算と逆算をたどり、答えの単位まで縮尺で読み解きます。

よくあるのは、地図上の長さに縮尺の分母をかけ、出てきたcmの数をそのままkmとして答えてしまう小5の場面です。計算の途中まで合っていても、最後の単位を取り違えると、距離の大きさが大きく変わります。どの数が地図上の長さで、どの数が実際の長さなのか、単位を添えて追ってみましょう。

地図の距離から問われること

縮尺（しゅくしゃく）の問題には、地図上の長さから実際の距離を求める型があります。反対に、実際の距離と縮尺を使って、地図上では何cmになるかを求める型もあります。さらに、同じ距離を異なる縮尺の地図に表したとき、どちらが長く描かれるかを比べる問題もあります。

どの型でも、最初に「何と何が対応しているか」を見ます。地図に書かれた長さと、その地図が表す実際の長さは、同じものではありません。答えの欄にkmと書いてあれば、途中で出たcmをkmに直してから記入します。逆向きの問題では、実際の距離を地図上の長さと同じcmにそろえてから考えます。

問題文が地図上の直線距離を与えているときは、その直線について計算します。道に沿った距離を問う条件がなければ、道の曲がり方を勝手に足すことはできません。地図の画面や図の大きさは表示する環境で変わります。ここでは図を定規で測らず、問題文の数を使います。

分母が表す対応を読む

縮尺は、地図上の長さが実際の長さのどれくらいにあたるかを、同じ単位どうしで表したものです。たとえば10,000分の1なら、地図上の1cmは実際の10,000cmにあたります。1cmが10,000kmになるという意味ではありません。分母（ぶんぼ）は、地図上の1に対して実際が何になるかを示します。

図1は、地図上と実際を同じ単位で対応させ、その後に単位を直す順序です。左の1cmと右の10,000cmは、同じ長さではなく、地図と実際で対応する長さです。

図1の10,000cmは、100cmを1mとして100mに直せます。まずcmどうしで対応をつくり、読みやすい単位に直すことが要点です。1kmは1,000mなので、1kmは100,000cmです。cmからmへは100で割り、mからkmへは1,000で割ります。反対にkmからmへは1,000をかけ、mからcmへは100をかけます。

国土地理院「小学3年・4年のページ：距離と縮尺」（調査年なし）では、25,000分の1の地図上の4cmが実際の1km、つまり1,000mにあたると示しています。4に25,000をかけると100,000cmで、100で割ると1,000m、さらに1,000で割ると1kmです。これは縮尺の定義と単位換算の対応です。

同じ実際の距離を表す場合は、分母が大きいほど、地図上の長さは短くなります。たとえば実際の長さを同じcmにそろえて割るとき、より大きな数で割るからです。分母の数字が大きいことと、地図上の長さが大きいことを結びつけないようにします。

地図上から実際の距離へ

たとえば、20,000分の1の地図で、池から橋までの直線の長さが3cmです。実際の直線距離は何mでしょうか。与えられたのは地図上の長さなので、対応する実際のcmを求めてからmに直します。

図2は、地図上の3cmから実際の600mに至る順序を表しています。矢印の間で、かけ算と単位換算の役割を分けます。

図2の最初の矢印では縮尺を使い、次の矢印では単位を変えます。答えは600mです。途中の60,000にはcmを付けておくと、その数をそのままmやkmと書く誤りを見つけやすくなります。

逆向きにも確かめましょう。600mを60,000cmに直し、地図上の1cmに対応する20,000cmで割ると3です。元の地図上の3cmに戻るので、対応が合っています。答えの単位がmで指定されているため、60,000cmのままで終えず600mと書きます。

地図を取り替えるときの考え方

たとえば、同じ区間の直線を2種類の地図に表します。地図Aは15,000分の1で、この区間は地図上で6cmです。地図Bは30,000分の1です。地図Bでは何cmでしょうか。両方の地図は同じ実際の区間を表しているものとします。

地図Aから実際の距離を求めると、15,000cm × 6 = 90,000cmです。地図Bでは地図上の1cmが実際の30,000cmに対応するため、90,000 ÷ 30,000 = 3です。地図Bでの長さは3cmです。地図Aの6cmをそのまま地図Bに移さず、実際の距離を橋渡しにします。

地図Bの分母は地図Aの2倍です。同じ実際の距離を表すので、地図B上の長さは半分になります。ただし、この比べ方が使えるのは、両方が同じ実際の距離を表すという条件があるからです。違う区間なら、分母だけを見て地図上の長さの大小は決められません。

また、同じ6cmが別々の縮尺の地図に描かれている場合は、実際の距離が同じとは限りません。その場合は、それぞれの地図上の長さにそれぞれの分母をかけて比べます。何が同じという条件なのかを、計算する前に問題文で確かめます。

答えの単位で立ち止まる

基本の例題で60,000という数が出た後、誤って「60,000m」と書くことがあります。原因は、かけ算で出た数がcmであることを忘れ、求める単位をそのまま付けたことです。図3のように、途中の数にcmを戻してから、100で割る段階へ進みます。

図3では、60,000mという誤答から60,000cmへ戻し、600mに直しています。数だけを消して答えを覚え直すのではなく、どの段階で単位が変わったかを見ます。mからkmまで求める場合は、その後にさらに1,000で割る必要があります。

逆算では、実際の距離に分母をかけてしまう誤りもあります。たとえば、実際の距離をcmで表したら、それが地図上の1cm分の何個分かを求めます。地図上の長さを求めるときは、実際のcmを分母で割ります。答えを出したら、得られた地図上のcmに分母をかけて、元の実際のcmに戻るかを確かめます。

単位をそろえずに割ることにも注意します。実際の距離がmで与えられても、分母が示す1cmに対応する長さはcmです。mの数をそのままcmの数で割らず、先にmをcmに直します。どの段階も、数の右に単位を書くだけで見直す手掛かりが残ります。

答えの見当をつける

計算の前に、おおよその大小関係も考えられます。地図上の長さが同じであれば、分母が大きい地図ほど、対応する実際の距離は長くなります。たとえば、地図上で同じ5cmを比べるとき、それぞれの1cmが実際の何cmにあたるかを見れば、どちらが長いかを判断できます。この比較は地図上の長さが同じ場合の話です。

反対に、実際の距離が同じであれば、分母が大きい地図ほど地図上では短くなります。問題文の「同じ」が地図上の長さについてなのか、実際の距離についてなのかに印を付けましょう。条件を取り違えると、正しい計算の手順を覚えていても、大小の判断が逆になることがあります。

距離の単位を選ぶときにも、対応を手掛かりにします。cmで得た数をmに直すと数は小さくなり、さらにkmに直すと数はもっと小さくなります。長さ自体が短くなるのではなく、1単位の大きさが変わるためです。逆にkmをcmに直すと数は大きくなります。計算した数がこの方向と合わなければ、かけ算と割り算を取り違えていないか確認します。

問題に道のりが示され、複数の区間を合計する場合には、それぞれの区間が同じ縮尺の地図にあるかを確かめます。同じ縮尺で地図上の各区間の長さが与えられていれば、長さを足してから実際の距離に直すことができます。曲がった道について、端から端までの直線だけを測った値と、道に沿った長さは区別します。どちらを使うかは、問題の条件から判断します。

長さを足すときは、まず同じ単位に直します。地図上の長さと実際の長さを直接足しても、意味のある距離にはなりません。最後に求められたのが直線距離か道に沿った距離かを読み直し、条件と答えが対応しているか、最後に確かめます。

自分で試す4問

次の距離はすべて教材のための条件です。各問題の地図上の長さは直線の長さとし、図を測る必要はありません。まず問題を解き、その後にまとめてある解答で途中の対応を確かめましょう。

1. たとえば、50,000分の1の地図で、施設から広場までが地図上で7cmです。実際の直線距離は何kmですか。
2. たとえば、40,000分の1の地図で、実際の直線距離が2,000mの区間を表します。地図上では何cmですか。
3. たとえば、同じ区間を地図Cでは地図上8cmで表します。地図Cの縮尺は12,500分の1、地図Dの縮尺は50,000分の1です。地図Dでは何cmですか。
4. たとえば、80,000分の1の地図で、地図上の2cmを実際の距離に直すとき、次のア〜ウから正しいものを選びます。アは160,000cm、イは160,000m、ウは160kmです。

解答と途中の見直し

1. 答えは3.5kmです。地図上の1cmは実際の50,000cmなので、7cmは50,000 × 7 = 350,000cmです。100で割ると3,500m、さらに1,000で割ると3.5kmです。350,000をそのままkmにせず、2回の換算をそれぞれ書きます。

2. 答えは5cmです。2,000mを100倍して200,000cmにそろえます。地図上の1cmに対応する40,000cmが何個分かを調べるので、200,000 ÷ 40,000 = 5です。確かめとして5 × 40,000 = 200,000cmとなり、元の2,000mに戻ります。

3. 答えは2cmです。地図Cから実際の長さを出すと、12,500 × 8 = 100,000cmです。地図Dの1cmは50,000cmに対応するので、100,000 ÷ 50,000 = 2です。両地図が同じ区間を表すため、実際の100,000cmを共通の手掛かりにできます。

4. 答えはアです。80,000 × 2 = 160,000で、かけ算の結果はcmです。イは同じ数にmを付けているため違います。160,000cmは1,600m、つまり1.6kmなので、ウの160kmとも違います。数と単位を組にして3つを比べると、アが選べます。

手元に残す目印

• 地図上の1cmと実際の分母のcmを対応させます。
• 地図上から実際へは分母をかけ、実際から地図上へは単位をそろえて分母で割ります。
• 100cmは1m、1,000mは1kmです。
• 同じ実際の距離なら、分母が大きい地図ほど地図上では短く表します。
• 最後に指定された単位と逆向きの計算を確かめます。

家で隣に座る方へ

お子さまが大きな数を出した後で単位だけを答えの欄に合わせたら、かけ算を終えた時点の数を指して「これは地図上と実際のどちらの、何という単位かな」と尋ねてみてください。すぐに換算後の答えを伝えるより、途中にcmを書き足せるかを見ると、つまずいた場所を見分けられます。

逆算で迷っているときは、地図上の1cmが実際の何cmかを先に書いてもらいます。その1cm分が実際の距離に何個入るかを考えれば、割る理由に戻れます。正しく求めた後も、答えに分母をかけて元の長さに戻るかを、お子さま自身に確かめてもらいましょう。地図と実際を結ぶ対応は、単位を添えることで見失いにくくなります。