中学受験の算数 速さと比—同じ道のりか同じ時間かを見て比を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

同じ道のりでは時間が逆比になる理由を、速さと時間の積が等しくなる図で確かめます。

よくあるのは、小6が同じ道のりを進む2人の速さの比を見て、かかった時間もそのまま同じ比にする場面です。速い人ほど先に着くはずなのに、式では速い人の時間のほうが長くなってしまいます。比の数字を入れかえる前に、何を同じにしているかを言葉にしましょう。道のりをそろえたときと、時間をそろえたときでは、比の対応が変わります。

どこをそろえる問題か

速さと比の問題には、まず同じ道のりをそれぞれ進む型があります。2人の速さの比と片方の時間から、もう片方の時間を求める問題です。速いほうは短い時間で着きますから、速さと時間の比の順番に注意します。時間の差や和が与えられることもあります。

次に、同じ時間だけ進んだときの道のりを比べる型があります。1分間に進む道のりが多い人は、同じ分数をかけた後もその割合だけ多く進みます。この場合は道のりの比と速さの比が同じです。どちらも比を使いますが、そろっている量を見ないまま数字を動かすと、別の型の式になります。

問題を読んだら、2人の名前を縦に並べ、「速さ」「時間」「道のり」を横に書いてみます。同じ場所へ別々に行くのか、同じ長さの時間を進むのかを確認して、等しい欄に印を付けます。出発時刻が同じという条件だけでは、進んだ時間が同じとは限りません。到着時刻や途中で止まった時間まで読み取ってから判断します。

同じ量を目印にする

速さは、一定の時間に進む道のりで表します。分速（ふんそく）なら1分間に進む長さ、時速（じそく）なら1時間に進む長さです。比べる前に時間と長さの単位をそろえます。たとえば分速と時速の数字をそのまま比にすると、1分間と1時間の道のりを比べることになり、速さの比にはなりません。

図1のように、同じ時間なら速さが2と3の人の道のりも2と3です。1分ごとに2ます、3ます進むと考えれば、どちらも同じ回数だけ進むので、道のりの比は変わりません。ますの長さは共通で、速さの比は同じ時間の道のりの比として読めます。

一方、図1の下段では同じ6ますを進みます。1分に2ます進む人は3分、1分に3ます進む人は2分です。速さが2：3なら、同じ道のりにかかる時間は3：2になります。速さの比の前後を入れかえた比を、ここでは逆比（ぎゃくひ）と呼びます。

なぜ入れかえるのでしょう。速さと時間をかけると道のりになります。同じ道のりなら、速さが大きい分、時間は短くなる必要があります。上の例では2かける3も、3かける2も6です。この積が等しいことが、逆比を選ぶ理由です。2と3の数字を暗記するのではなく、同じ距離に戻して確かめましょう。

なお、道のりも時間も両方が違う場合は、どちらかの比をそのまま使うことはできません。何が等しいかを先に探し、条件が足りるかを考えます。途中で速さが変わる場合も、その区間ごとに時間と道のりを分けて考えます。

同じ道を進む基本例題

問題　公園から図書室まで同じ道を、あきさんとまことさんがそれぞれ一定の速さで歩きます。2人の速さの比は、あきさん：まことさん = 3：4です。あきさんは24分かかりました。まことさんは何分かかりますか。整数で答えましょう。

図2のように、同じ道のりを進むので、速さの比3：4に対応する時間の比は4：3です。順番はいつも、あきさん：まことさんです。比を逆にするときに人の順番まで逆にしないよう、名前を書いたままにします。

あきさんの24分は、時間の比の4にあたります。まず比の1にあたる時間を求めます。

24 ÷ 4 = 6（分）

まことさんの時間はその3つ分です。

6 × 3 = 18（分）

答えは18分です。図2では24分を4等分し、まことさんの時間を同じ長さの3つ分として描いています。4と3は分数そのものではなく、同じ大きさに分けた時間の個数です。比の1が何分かを出したので、実際の時間に戻せます。

確かめるには、速さを比の数で置き、進んだ長さを比べます。1分あたりに進む長さをあきさんが3の分、まことさんが4の分とすると、24分と18分で進む長さは次のようになります。

3 × 24 = 72

4 × 18 = 72

同じ長さになりました。さらに、まことさんは速さの比が大きいので、24分より短い18分という向きも合っています。速さの比を時間にそのまま使うと、まことさんは32分になり、速いのに長くかかるという矛盾（むじゅん）が生じます。計算が合っていても、条件に戻すと誤りを見つけられます。

この確認は比の数字を実際の分速と決めたという意味ではありません。共通の大きさを1つの分として考え、両者の積を比べています。道のりが同じかを調べるために必要なのは、2つの積が等しいことです。

時間の差から両方を求める

問題　同じ長さの遊歩道を、ゆいさんとけんさんがそれぞれ一定の速さで進みます。速さの比は、ゆいさん：けんさん = 5：3です。けんさんはゆいさんより12分長くかかりました。2人の時間をそれぞれ整数の分で求めましょう。

同じ道のりなので、時間の比は、ゆいさん：けんさん = 3：5です。けんさんのほうが遅く、その時間が長いという問題文にも合います。比の差は次の2つ分です。

5 − 3 = 2

この2つ分が12分ですから、1つ分を出します。

12 ÷ 2 = 6（分）

ゆいさんは3つ分、けんさんは5つ分です。

6 × 3 = 18（分）

6 × 5 = 30（分）

答えは、ゆいさん18分、けんさん30分です。時間の差は30 − 18 = 12（分）で、条件と一致します。速さの比の数と時間の積も、5 × 18 = 90、3 × 30 = 90となり、同じ道のりです。

この問題の分かれ目は、12分を比のどこに当てるかです。12分は2人分の合計ではなく、長い時間から短い時間を引いた差です。比の3と5を足して8で割ると、差ではなく合計が12分であるかのように扱ってしまいます。文章中の「より長く」を見つけたら、長い線分から短い線分を引いた部分を指さしてみましょう。

もし同じ時間に進んだ道のりの差が与えられていたなら、速さの比5：3を道のりの比として使います。時間の逆比を使うのは、同じ道のりを進み、それぞれにかかる時間を比べるときです。数だけでなく、何の差を表しているかまで書くと選びやすくなります。

間違えた比を条件に戻す

同じ道のりを進む2人の速さが、先に書いた順に2：3だとします。時間も2：3としてしまうと、速いほうが長い時間を使うことになります。図3のように、速さの比と時間の比を同じにしたとき、進む長さは2 × 2と3 × 3で異なります。

原因は、「速さの比は道のりの比と同じ」という考えを、時間が同じでない場合にも使ってしまうことです。図3の正しい組は時間を3：2とし、2 × 3と3 × 2を同じ長さにしています。直すときは「道のりが同じ」と書き、速いほうの時間が短いことを確認したうえで、時間を逆比にします。

別の間違いは、同じ時間なのに道のりを逆比にすることです。1分に2ますと3ます進むなら、同じ4分では8ますと12ますです。8：12は2：3で、3：2ではありません。時間をそろえて道のりを数え直せば、どちらの比を使うか判断できます。

単位の取り違えも確かめましょう。時速6 kmと分速80 mを比べるとき、6：80とはできません。時速6 kmは1時間に6000 mなので、1分には6000 ÷ 60 = 100 m進みます。分速100 mと分速80 mの比は5：4です。先に単位をそろえると、比の数字が何を表すか明らかになります。

条件が不足している場合には、急いで逆比にしないことも必要です。2人の道のりが違うかもしれない問題で、速さの比と片方の時間だけからもう片方の時間を決めることはできません。等しい道のりという条件があるか、問題文に戻って探します。

条件を表に書くときは、数値がない欄を空けたままでもかまいません。空欄を勝手に同じと決めず、問題に書かれた等しい量を囲みます。たとえば2人が別の場所から出発して同じ時刻に着いても、出発した時刻が違えば、進んだ時間は同じとは限りません。比の計算に入る前に、出発から到着までのそれぞれの時間を確かめます。道のりが同じという条件もなければ、この方法だけでは時間の比は決まりません。

自分で比を選ぶ練習

次の4問はそれぞれ一定の速さで進むものとします。まず問題を通して読み、同じ量に印を付けてから式を作りましょう。答えと途中の考え方は4問の後にあります。

1. 同じ長さの並木道を、はるさんとりくさんが走ります。速さの比は、はるさん：りくさん = 4：5です。はるさんが15分かかったとき、りくさんの時間を整数の分で求めましょう。
2. 同じ時間に、ななさんとそうさんがそれぞれ歩きます。速さの比は、ななさん：そうさん = 3：7です。ななさんが600 m進んだとき、そうさんが進んだ道のりを整数のmで求めましょう。
3. 同じ長さの道を、あおいさんとたくさんが自転車で進みます。速さの比は、あおいさん：たくさん = 7：4です。たくさんはあおいさんより9分長くかかります。2人の時間をそれぞれ整数の分で求めましょう。
4. 同じ時間に、2台のおもちゃの車が進みます。速さの比は、赤い車：青い車 = 5：8です。進んだ道のりの合計が390 cmのとき、それぞれの道のりを整数のcmで求めましょう。

練習の答えと考え方

1. 答えは12分です。同じ道のりなので時間の比は、はるさん：りくさん = 5：4です。はるさんの15分が5つ分ですから、15 ÷ 5 = 3（分）が1つ分です。りくさんは3 × 4 = 12（分）です。4 × 15 = 60、5 × 12 = 60となり、道のりも等しくなります。速いりくさんの時間が短いことも条件に合います。

2. 答えは1400 mです。同じ時間なので、道のりの比は3：7です。600 ÷ 3 = 200（m）が1つ分で、200 × 7 = 1400（m）です。600：1400を200で割ると3：7に戻ります。同じ時間に速いそうさんが長く進むことも確認できます。

3. 答えは、あおいさん12分、たくさん21分です。同じ道のりなので時間の比は4：7です。その差の7 − 4 = 3が9分にあたります。9 ÷ 3 = 3（分）が1つ分です。あおいさんは3 × 4 = 12（分）、たくさんは3 × 7 = 21（分）です。21 − 12 = 9（分）、7 × 12 = 84、4 × 21 = 84で、時間差と道のりの両方が合います。

4. 答えは赤い車150 cm、青い車240 cmです。同じ時間なので道のりの比は5：8です。合計は5 + 8 = 13（こ分）、390 ÷ 13 = 30（cm）が1つ分です。赤い車は30 × 5 = 150（cm）、青い車は30 × 8 = 240（cm）です。150 + 240 = 390（cm）で合計に戻り、150：240を30で割ると5：8です。

答えが出たら、使った比が速さ、時間、道のりのどれかをもう一度読みます。差を求める問題で和を使っていないか、同じ時間という条件が同じ道のりに変わっていないかも見直します。比の順番と名前をそろえたまま、元の条件に戻せれば、数字を入れかえた根拠も説明できます。

覚えておきたいこと

同じ時間なら、道のりの比は速さの比と同じです。
同じ道のりなら、時間の比は速さの逆比です。順番にも注意します。
比を使う前に単位と人の順番をそろえます。
求めた値は差や合計、道のりの積で確かめます。

お子さまが迷ったとき

お子さまが比を逆にするか迷ったら、先に正解を伝える代わりに「2人が同じなのは何かな」と聞いてみてください。道のりと答えたら、速い人が長くかかるか短くかかるかを、図の線分を指して説明してもらいます。時間と答えたら、1分間の進み方を同じ回数分並べてみます。

途中で手が止まったときは、比の1つ分が何を表すかを一緒に書くと、次の計算を選びやすくなります。時間差を比の合計で割った場合も、2本の線分の余った部分を示して、どこが差かを尋ねます。速さ、時間、道のりのつながりを言葉と数で行き来することが、比を選ぶ手がかりです。