中学受験の算数 連比—共通する量をそろえて三つの比をつなぐ手順｜武蔵野個別指導塾

赤と青、青と白の個数の比を、共通する青の数をそろえてつなぐ連比です。

よくあるのは、小6が2組の比を見て、共通する量をそろえないまま三つの数を横に並べてしまう場面です。たとえば、赤と青、青と白の数を比べるとき、両方に青が出てきます。しかし、2組の比の中の青を表す数は、同じ実際の個数を同じ大きさの単位で表したものとは限りません。

連比では、まず青に注目して、2組で同じ数になるよう比を直します。その後で赤、青、白を順に並べます。どの量をそろえ、何倍したかを残しておくと、式が長くなっても理由をたどれます。

三つの量はどう問われるか

連比（れんぴ）は、三つ以上の量を同じ基準で比べたものです。赤、青、白の個数の比が 2 : 3 : 4 なら、同じ大きさのまとまりが赤に2つ、青に3つ、白に4つあると考えます。比の数自体が個数とは限りません。1つのまとまりが何個かを決めて、初めて実際の個数が出ます。

問題の出方には、まず2組の比から3つの量の比を求める型があります。共通の量をそろえることが中心です。次に、3つの合計と2組の比からそれぞれの実際の量を求める型があります。このときは連比の数を足し、合計を何等分するか考えます。

さらに、3つのうち2つの差がわかっている型もあります。比の差が実際の差に当たるので、その差から1つ分を求めます。合計を使う場合と差を使う場合とでは、最初に割る数が変わります。問題文が知らせているのは何の合計か、何と何の差かを確かめてから進みましょう。

共通する量を同じ数に直す

2組の比をつなぐとき、両方に出てくる量を共通する量と呼びます。図1では、赤と青の比が 2 : 3、青と白の比が 4 : 5 です。共通する量は青ですが、左の比では3、右の比では4と表されています。これらをそのまま一列に並べることはできません。

図1のように、3と4の両方の倍数である12を青に使います。赤と青の両方を4倍すると 8 : 12、青と白の両方を3倍すると 12 : 15 です。青が12でそろったので、赤 : 青 : 白は 8 : 12 : 15 です。赤だけを4倍して青を変えないような操作は、もとの比を変えるためできません。

なぜ両側に同じ数をかけてよいのでしょうか。赤2つ分に対して青3つ分という関係は、それぞれのまとまりを4つ集めても変わらないからです。青4つ分に対して白5つ分も同じです。まとまりの数を変えた後は、青の12を重ねて見て、1回だけ書きます。

最小の共通の倍数を使うと数を小さく保てますが、共通の倍数ならほかの数でもつなげられます。たとえば24にそろえれば 16 : 24 : 30 です。3つをすべて2で割れば 8 : 12 : 15 に戻ります。3つのうち2つだけを割ると関係が変わるので、簡単にするときも全部に同じ操作をします。

共通の量が比の右側と左側に現れるとは限りません。青 : 赤と白 : 青のように書かれている場合は、まず量の名前を比の数の上に書き、青の数を探します。順番を入れかえるなら、名前と数を一緒に動かします。逆比（ぎゃくひ）は比の順序を入れかえたものです。

比の数と実際の量を区別する

比は、量の大きさそのものではなく、量どうしの関係を示します。赤 : 青が 2 : 3 と書かれていても、赤が必ず2枚、青が必ず3枚という意味ではありません。赤が4枚、青が6枚でも、それぞれを2枚ずつのまとまりで数えれば 2 : 3 です。赤が6枚、青が9枚でも同じ関係です。比だけを見て実際の個数を決めず、合計や差など、1つ分の大きさを決める条件を探します。

共通する量をそろえる前には、比の向きにも注意します。赤 : 青が 2 : 3 なら、2は赤、3は青に対応します。青 : 赤と逆の順に書き直すなら 3 : 2 です。名前を変えずに数字だけを入れかえると、どちらが多いかまで変わってしまいます。線分を描くときも、左端に量の名前を書いておけば、長さと数の対応をたどれます。

共通の数にそろえるための倍数は、まず両方の段を思い浮かべると見つかります。3の段は3、6、9、12、4の段は4、8、12です。初めて共通する12を選ぶと、後の計算を小さな数で進められます。一方がすでに他方の倍数なら、大きい方をそのまま使えます。どちらにも同じ数をかけるのではなく、共通の量が同じになるよう、それぞれの組でかける数を選びます。

比を作った後の確かめには、実際の数がまだ必要ありません。8 : 12 : 15 なら、赤と青の 8 : 12 を4で割り、青と白の 12 : 15 を3で割ります。2組の条件に戻れば、つなぎ方の確認になります。これは合計や差を使った最後の検算とは別の段階です。途中で比を確かめておくと、後の計算が合わなかったときに、どこから見直すかを決めやすくなります。

基本例題　色紙の枚数を求める

赤、青、白の色紙が合わせて105枚あります。赤と青の枚数の比は 2 : 3、青と白の枚数の比は 4 : 5 です。赤、青、白はそれぞれ何枚ですか。答えは整数で書きましょう。

まず共通する青に印を付けます。赤 : 青の青は3、青 : 白の青は4です。3と4の最小公倍数（さいしょうこうばいすう）は12ですから、両方の青を12に直します。

赤 : 青を4倍して、

2 : 3 = 8 : 12

青 : 白を3倍して、

4 : 5 = 12 : 15

共通の青を重ねると、赤 : 青 : 白は 8 : 12 : 15 です。図2では、この比のまとまりを同じ長さで表しています。赤の8つ、青の12つ、白の15つを合わせると、全体は35つ分です。

問題文の105枚は3色の合計です。図2のように全体の比は35つ分なので、1つ分は次のように求められます。

8 + 12 + 15 = 35

105 ÷ 35 = 3（枚）

赤は 3 × 8 = 24（枚）、青は 3 × 12 = 36（枚）、白は 3 × 15 = 45（枚）です。答えをもとの条件に戻すと、合計は 24 + 36 + 45 = 105（枚）です。また、24 : 36 = 2 : 3、36 : 45 = 4 : 5 です。合計と2組の比がどれも合っています。

合計を求める式で青の12を2回足すと、青を実際より多く数えます。2組の比をつないだ後は、赤、青、白がそれぞれ1回ずつ入っているかを指で追いましょう。整数にならないときに勝手に四捨五入するのではなく、条件を見直すことも必要です。

差を使うときの分かれ目

赤、青、白のリボンの長さを比べます。赤と青の長さの比は 3 : 4、青と白の長さの比は 6 : 5 です。青は白より14 cm長いとします。赤、青、白の長さをそれぞれ整数のcmで求めましょう。

青を表す4と6の最小公倍数は12です。赤 : 青を3倍して 9 : 12、青 : 白を2倍して 12 : 10 にします。したがって、赤 : 青 : 白は 9 : 12 : 10 です。

ここで知らせている14 cmは、3本の合計ではなく青と白の差です。青の12つ分と白の10つ分の差は2つ分です。そこが14 cmに当たるので、

12 − 10 = 2

14 ÷ 2 = 7（cm）

1つ分は7 cmです。赤は 7 × 9 = 63（cm）、青は 7 × 12 = 84（cm）、白は 7 × 10 = 70（cm）です。青と白の差は 84 − 70 = 14（cm）で、赤と青は 63 : 84 = 3 : 4、青と白は 84 : 70 = 6 : 5 です。

もし問題に3本の合計が書かれていたら、9 + 12 + 10 = 31 の31つ分に当てます。今回は差なので、31で割ると求める単位が合いません。何を使って1つ分を出すかは、そろえた連比を見ただけでは決まりません。問題文に戻り、数値が表す範囲を確かめて選びます。

青を別々のまま扱う誤り

赤 : 青が 2 : 3、青 : 白が 4 : 5 のとき、赤 : 青 : 白を 2 : 3 : 5 とする誤答を考えます。図3の上の並べ方では、赤と青は 2 : 3 ですが、青と白は 3 : 5 です。もとの 4 : 5 と合いません。

原因は、青を表す3と4が違うのに、一方の青を消してしまったことです。図3のように、青を12にそろえた 8 : 12 と 12 : 15 を作れば、共通の青を重ねて 8 : 12 : 15 と書けます。新しい連比から隣り合う2つを取り出し、もとの2組に戻るかを確かめると、つなぎ間違いに気づけます。

もう一つの誤りは、青を12に直すとき、青だけを変えることです。たとえば 2 : 3 を 2 : 12 にすると、赤に対する青の割合が変わります。赤と青の両方に4をかけて 8 : 12 に直しましょう。どちら側に何をかけたかを矢印のそばに書くと、片方のかけ忘れを見つけやすくなります。

練習　共通の量を探してから解く

次の問題は、先に3問まとめて考えてみましょう。量の名前と比の数を対応させ、答えを出した後は、問題文の条件に戻して確かめます。

1. りんごとみかんの個数の比は 3 : 5、みかんとなしの個数の比は 2 : 3 です。りんご : みかん : なしを、最も小さい整数の比で答えましょう。
2. 赤、青、黄の玉が合わせて102個あります。赤 : 青は 1 : 2、青 : 黄は 3 : 4 です。それぞれの個数を整数で答えましょう。
3. 3本のひもの長さは、短い順に、1本目 : 2本目が 2 : 3、2本目 : 3本目が 4 : 7 です。3本目は1本目より65 cm長いとします。それぞれの長さを整数のcmで答えましょう。

練習の答えと考え方

1. 共通するみかんを10にそろえます。りんご : みかんは 3 : 5 を2倍して 6 : 10、みかん : なしは 2 : 3 を5倍して 10 : 15 です。答えは 6 : 10 : 15 です。6 : 10を2で割ると 3 : 5、10 : 15を5で割ると 2 : 3 です。3つを同時に割れる1より大きい整数はありません。

2. 共通する青を6にそろえます。赤 : 青は 1 : 2 を3倍して 3 : 6、青 : 黄は 3 : 4 を2倍して 6 : 8 です。赤 : 青 : 黄は 3 : 6 : 8、合計は17つ分です。102 ÷ 17 = 6（個）より、赤18個、青36個、黄48個です。合計は102個で、18 : 36 = 1 : 2、36 : 48 = 3 : 4 です。

3. 共通する2本目を12にそろえます。1本目 : 2本目は 2 : 3 を4倍して 8 : 12、2本目 : 3本目は 4 : 7 を3倍して 12 : 21 です。連比は 8 : 12 : 21 です。3本目と1本目の差は 21 − 8 = 13 つ分です。65 ÷ 13 = 5（cm）なので、1本目は 5 × 8 = 40（cm）、2本目は 5 × 12 = 60（cm）、3本目は 5 × 21 = 105（cm）です。105 − 40 = 65（cm）で、40 : 60 = 2 : 3、60 : 105 = 4 : 7 も成り立ちます。

練習の1では比を答えるため、実際の果物の個数は決まりません。たとえば 6 : 10 : 15 の各数を2倍した個数でも、同じ比を満たします。ところが練習の2では、合計が決まっているので、比の1つ分も決まります。同じように3では、両端の差が1つ分の大きさを決めます。何が与えられれば実際の量が決まるかを比べてみましょう。

途中の計算に迷ったら、比をそろえる段階と、実際の量を出す段階を分けて書きます。前半は量の名前と比の数、後半は合計または差と単位です。たとえば差が65 cmなら、13という比の差で割った結果は1つ分の長さです。その後にそれぞれの比の数をかけると、各ひもの長さになります。単位を最後まで書けば、求めた数が何を表しているかも確かめられます。

手元に残す目印

共通する量の比を両方で同じ数に直します。 比を直すときは、一組の両方に同じ数をかけます。 連比を作ったら、合計か差かを問題文から選びます。 答えは2組の比と、合計または差に戻して確かめます。

お子さまが手を止めたら

お子さまが数を並べたところで止まったら、まず図や式のどこまで説明できるか聞いてみてください。「この数は何の量を表しているかな」と尋ねると、共通する量の場所が見えてきます。名前と数字の対応があいまいなら、計算を先に教える代わりに、それぞれの数の上に名前を書く一手を促します。

青の数をそろえられた後で間違えた場合は、もとの2組の比を取り出せるか一緒に見ます。答えをすぐ直すより、自分の式のどこで関係が変わったかを見つける機会になります。合計や差を使う問題では、その数が図のどの部分に当たるかを指さしてから割り算を選びましょう。共通する量を同じ大きさの単位で表せば、離れていた2組の比がつながります。数を並べる前に名前をそろえる習慣が、次の一歩を支えます。図と式を行き来して確かめましょう。