中学受験の算数 平均算—合計と個数をそろえて平均のずれを直す｜武蔵野個別指導塾

人数の異なる2組の記録を合計に戻し、平均の取り違えを直す平均算です。

よくあるのは、小5のお子さまが人数の違う2組の平均を足し、2で割る場面です。たとえば、読んだ本の冊数を組ごとにまとめたとき、どちらの組も同じ人数とは限りません。平均の数字を1つずつ同じ重さで扱う前に、その数字が何人分の記録を表すのかを見ます。平均算では、平らにならした1人分から、もとの合計に戻すことが手がかりになります。

平均から何をたずねられるか

平均は、いくつかの量を合計し、同じ大きさに分け直したときの1つ分です。もとの数がみな同じだったという意味ではありません。ある人が多く、別の人が少なくても、全体の合計を人数で等しく分ければ平均を求められます。

問題の出方には、まず記録と人数から平均を出す型があります。次に、平均と人数から合計を戻し、足りない記録や増えた後の平均を求める型があります。さらに、人数の異なる2組について、それぞれの平均から合計を戻し、全員の平均を求める型があります。どの型でも、合計と、それを何個に分けるかが組になります。

問題を読むときは、平均の横に「何人分」「何日分」のように書き添えます。途中で1人加わったり、1日の記録を除いたりしたら、合計だけでなく分ける個数も変わります。最後に聞かれた単位まで戻して答えましょう。

ならした量を元に戻す

図1のように、3人の記録が2個、5個、8個なら、合計は15個です。15個を3人に等しく分けると、1人あたり5個になります。実際の記録は異なっていても、ならした後の合計は5個が3人分で15個です。

図1では、ならす前と後で個数の合計が変わらないことが見えます。平均を求めるときは「合計 ÷ 個数」、合計を戻すときは「平均 × 個数」です。個数は、記録の数や人数など、その平均を作ったもとの数です。平均が5個で3人なら、5 × 3 = 15個と戻せます。

この関係は、1人分の増減を見るときにも使えます。平均を基準にして、ある記録が平均より2個多ければ、別の記録の不足分と合わせて全体のつり合いを考えられます。基準より多い分と少ない分は、ならすとちょうど同じになります。ただし、不足を数えるときに負の数で表す必要はありません。「基準より何個少ない」と言葉で書けば十分です。

平均の数字だけを集めても、その後ろの人数が見えません。同じ人数の組なら、それぞれの平均を足して2で割っても全体の平均に一致します。人数が違うと、人数の多い組の記録が全体により多く含まれるため、まず組ごとの合計を作る必要があります。

同じ合計でも、分ける数で変わる

平均には、合計と個数の両方が必要です。たとえば色紙を18枚用意し、3人で等しく分けるなら、18 ÷ 3 = 6枚です。同じ18枚を6人で等しく分けるなら、18 ÷ 6 = 3枚です。合計が同じでも、分ける人数が変われば1人分は変わります。平均を比べるときには、何を何人で分けた数なのかを先にそろえます。

逆に、1人あたりの平均が同じでも人数が違えば、合計は違います。平均が4枚の3人では12枚、平均が4枚の5人では20枚です。両方の平均が4枚だから合計も同じだと考えると、人数の違いが消えてしまいます。問題文に「平均」とあったら、そのすぐ横に対応する人数を書いておくと、かける相手を取り違えにくくなります。

記録が0の人も、問題の対象に含まれるなら人数に数えます。3人の記録が0個、3個、6個なら合計は9個で、平均は9 ÷ 3 = 3個です。記録のある2人だけで割ると、問題が求める3人の平均ではなくなります。何人の記録を平均するかを文章で確かめましょう。

全体の平均がどちらに近いか

基本例題では、青組の平均6個と赤組の平均8個の差は2個です。全員が6個ずつだったと考えると、10人で60個です。赤組の6人は、1人あたりその基準より2個多いので、合計で2 × 6 = 12個多くなります。60 + 12 = 72個を10人で割れば、7.2個です。これは2組の合計を別々に戻した計算と同じ結果です。

この見方では、全体の平均が6個より1.2個高いことが見えます。赤組は人数が多いので、全体の平均は2つの平均の真ん中の7個より、赤組の8個に近くなります。反対に青組の人数が多ければ、6個に近づきます。等しい人数なら、真ん中になります。ただし、どれほど近いかは人数を使って計算します。

平均の値は対象の中の最も小さい値と最も大きい値の間にあります。2組の平均を合わせる場合も、全体の平均が2組の平均の間から外れたら計算を見直せます。もっとも、間に入っているだけでは正解の証明になりません。合計が元に戻るかという確認と組み合わせることが必要です。

基本例題：2組を合わせる

青組の4人は、紙で作った飾りが1人平均6個でした。赤組の6人は、1人平均8個でした。2組を合わせた10人の1人平均は何個ですか。答えは小数で求めます。

図2のように、それぞれの平均を人数分並べて合計を戻します。青組の6個は4人分、赤組の8個は6人分です。記録を1人ずつ知らなくても、組ごとの合計は求められます。

まず青組の飾りの合計です。

6 × 4 = 24個

続いて赤組の飾りの合計です。

8 × 6 = 48個

2組の合計は、24 + 48 = 72個です。人数は4 + 6 = 10人です。72個を10人に等しく分けると、72 ÷ 10 = 7.2個です。したがって、平均は7.2個です。

確かめると、7.2 × 10 = 72個で、2組の合計に戻ります。6個と8個の間にあることも確かめられます。ただし、間にあることだけでは正しいとは限りません。7個も間にありますが、7 × 10 = 70個となり、実際の合計72個と合いません。合計に戻す検算まで行うと、人数の違いを反映できたかがわかります。

人が加わる前の平均を探す

ある係の5人が集めた木の実は、1人平均12個でした。そこへ別の2人が加わると、7人の平均は14個になりました。後から加わった2人が集めた木の実は、合わせて何個ですか。答えは整数で求めます。

この問題では、平均が2個上がったことだけを使って、2人の合計を決めることはできません。増えた後の平均14個は、もとの5人にも、加わった2人にも等しくならした値です。まず、加わる前と後の合計を、それぞれの人数で戻します。

加わる前の5人の合計は、12 × 5 = 60個です。加わった後の7人の合計は、14 × 7 = 98個です。後の合計から前の合計を引くと、加わった2人の分が残ります。

98 − 60 = 38個

答えは38個です。確かめに、もとの60個と38個を合わせると98個になり、98 ÷ 7 = 14個です。2人のそれぞれの個数はわかりませんが、合計は求められます。問題が聞いているのは2人の合計なので、個別の数を無理に決める必要はありません。

別の見方もできます。もとの5人の平均12個を基準にすると、後の7人を全員12個ずつにそろえた合計は84個です。実際の後の合計98個との差は14個です。加わった2人の基準分24個にこの14個を足しても、38個になります。平均が上がった2個は、後の7人全員にかかることが分かれ目です。

一方、平均が下がる条件なら、基準の合計から実際の合計を引いて不足分を出します。加わった人数の基準分からその不足分を引けば、加わった人たちの合計です。どちらの場合も、前後の合計を直接引く方法で確かめられます。

平均だけを足した答えを直す

基本例題で、6と8を足して2で割り、7個と答える誤りを考えます。この計算は、2つの平均を同じ重さで扱っています。青組は4人、赤組は6人なので、各組の平均を1回ずつ数えるだけでは全員分を表せません。

図3のように、まず4人分と6人分をそれぞれ合計に戻します。24個と48個を足した72個を、10人で割るのが修正です。間違えた式を消す前に、7個だと全員分が70個になることも書いてみましょう。実際の72個との差が2個あるため、もとの条件に戻りません。

もう1つの誤りは、72個を2組で割って36個を平均とすることです。36個は1組あたりの合計であって、1人あたりではありません。割る数を決める前に、答えの単位が「個／人」なのか「個／組」なのかを確認します。人数の合計を割る数に使えば、1人あたりになります。

平均を合計に戻すときに、片方の人数だけをかけ忘れることもあります。式の横に「個」「人」「個の合計」を書き、2組とも同じ順で整理しましょう。数字が合っていても、何を数えたかが違えば次の計算につながりません。

計算の途中で立ち止まる場所

合計がわからないときに平均だけを足したくなったら、各組について「平均 × 人数」の形を先に書きます。かけ算の答えの単位は、1人分の個数ではなく、その組全体の個数です。次に合計どうしを足し、最後に全員の人数で割ります。途中の数が何を表すかを説明できれば、割る相手も選びやすくなります。

前後の記録を比べるときは、前の人数と後の人数を別々に書きます。加わった人の数を後の人数と間違えると、後の合計が小さくなります。求めた増加分を前の合計に足し、後の平均に戻るかを確認しましょう。計算が合わない場合は、かけ算より先に、どの平均がどの人数に対応しているかを見直します。

自分で試す4問

次の問題は、先に4問とも読んでから解いてみましょう。記録の数と平均が対応するよう、図や表に単位を添えてください。

1. 3日間に折った折り紙は、1日平均9枚でした。3日間の合計は何枚ですか。整数で答えます。
2. ある班の3人が拾った貝がらは1人平均4個、別の班の5人は1人平均12個です。8人全員の1人平均は何個ですか。整数で答えます。
3. 4回の輪投げの得点は、1回平均15点でした。次の1回を加えると5回の平均は17点です。最後の1回は何点ですか。整数で答えます。
4. 6人で集めた種の数は1人平均11個でした。後から2人が加わると8人の平均は10個になりました。加わった2人が集めた種は合わせて何個ですか。整数で答えます。

答えと考え方

1. 9 × 3 = 27枚です。平均9枚が3日分なので27枚になります。27 ÷ 3 = 9枚と戻せば、平均と一致します。各日の枚数は決まりませんが、合計は決まります。

2. 最初の班は4 × 3 = 12個、別の班は12 × 5 = 60個です。合計は12 + 60 = 72個、人数は3 + 5 = 8人です。72 ÷ 8 = 9個なので、答えは9個です。9 × 8 = 72個と戻ります。2つの平均を同じ重さで平均した8個では、8人分が64個となり合計に届きません。

3. 最初の4回の合計は15 × 4 = 60点です。5回の合計は17 × 5 = 85点です。最後の1回は85 − 60 = 25点です。60 + 25 = 85点、85 ÷ 5 = 17点と、後の条件へ戻して確かめます。平均の増加2点を最後の得点と混同しないようにします。

4. 最初の6人は11 × 6 = 66個です。後の8人は10 × 8 = 80個です。80 − 66 = 14個なので、加わった2人の合計は14個です。66 + 14 = 80個、80 ÷ 8 = 10個となります。平均が1個下がっていても、加わった2人が集めた数をそのまま1個とすることはできません。

覚えておくこと

平均は合計を個数で等しく分けた1つ分です。
合計を戻すには平均に個数をかけます。
人数が違う組はそれぞれ合計に戻してから合わせます。
増減の前後では、合計と個数の両方を確かめます。
答えを元の条件へ戻して検算します。

家で見守る方へ

お子さまが平均どうしを足して割ったときは、すぐに正しい式を示す前に、その式の1つの数字が何人分を表しているか聞いてみてください。図2を指し、青組の平均6個を何回分並べるか、お子さまの言葉で説明できるところまで確かめます。人数が見えていなければ「青組の合計は何個かな」と一手だけ促します。

途中の答えが間違っていても、合計に戻す検算をすれば、どの条件と合わないかを自分で見つけられます。合計と人数を一組にして書く習慣が、人数の違う平均を読み解く足場になります。