共通テスト数学の図形で面積比が合わない—辺の比をそのまま使える条件を探す｜武蔵野個別指導塾

底辺を同じ直線上に取る場合と相似な図形を比べ、辺の比から判断する前に必要な面積比の条件をたどります。

辺の比がわかっても、それをそのまま面積比にしてよいとは限りません。三角形なら、対応する底辺に対する高さが等しいとき、面積比は底辺の比と一致します。一方、相似な三角形では高さも辺と同じ比で変わるため、面積比は相似比を2回掛けた比になります。まず何を底辺にし、その高さがどうなるかを図に戻して確かめましょう。

よくあるのは、高2の秋、相似な図形の復習で対応する辺の比を見つけ、その数をそのまま面積比として答案に書いてしまう場面です。辺の対応を正しく見つけても、高さの変化を数え落とすと面積の比較はずれます。お子さまの答案を一緒に見るときも、最終行の比だけでなく、その前にどの長さを対応させたかを見てみましょう。

辺の比から面積へ移るところで何が抜けるか

面積は長さを1つ選んで決まる量ではありません。三角形の面積は、選んだ底辺と、それに垂直な高さの積を2で割って求めます。底辺が2倍になっても高さが同じなら面積は2倍ですが、高さも2倍なら面積は4倍です。どちらの条件かを言わずに「辺が2倍だから面積も2倍」と進めると、後者では高さの変化が抜けます。

たとえば、小さい三角形の底辺を2 cm、高さを3 cmとします。これと相似で対応する長さが2倍の三角形は、対応する底辺が4 cm、高さが6 cmです。小さい面積は3 cm²、大きい面積は12 cm²となり、小さい方から大きい方への面積比は1:4です。対応する辺の比1:2は、面積比1:4とは異なります。

図1のように、相似な図形では横方向の長さだけでなく高さも同じ倍率で変化します。図の小さい三角形と大きい三角形はそれぞれ底辺と高さが直角に交わっています。小さい方を大きい方へ拡大すると、底辺も高さも2倍になります。右側の比はそれぞれ別の量を表すので、辺と面積の単位の違いにも注目します。

相似という言葉があるからといって、底辺の比を無条件に面積へ移してよいわけではありません。むしろ相似は、高さにも同じ比が及ぶことを使うための条件です。2つの三角形が同じ形であることと、選んだ底辺に対する高さが等しいことは別の条件です。辺の長さが偶然同じ比に見える図であっても、相似と示されていなければ、残りの辺や角の条件を確かめる必要があります。

条件が不足すると、同じ底辺の比から異なる面積比が作れることも確かめましょう。たとえば、底辺がそれぞれ2 cmと3 cmでも、高さがそれぞれ4 cmと8 cmなら、面積は4 cm²と12 cm²です。面積比は1:3になり、底辺の比2:3とは一致しません。高さが同じかを確認せずに底辺の比を答えることは、必要な情報を落とすことになります。

一方で、底辺が2 cmと3 cm、高さがともに8 cmなら、面積は8 cm²と12 cm²です。面積比は2:3になります。同じ底辺の組でも、高さの条件を変えると結果が変わります。したがって「底辺の比がわかる」という事実と「面積比が求まる」という結論の間には、高さを比べる一段が必要です。

図が正確な縮尺で描かれているように見えても、定規で測った値を証明の代わりにしないようにします。印刷の大きさや線の太さで見た目は変わるからです。問題文にある長さ、同一直線上にある点、垂直や平行の条件を使って、高さの関係を言い表します。図は条件を整理する助けとして使い、結論の根拠は条件に戻します。

相似な2つの図形を重ねて見る場合も、対応する頂点がどこに移るかを先に決めます。向きが違ったり裏返って見えたりしても、対応する角や辺をたどれば倍率を比べられます。面積比を出す段階では、その倍率が底辺と高さの両方にかかると説明します。図の向きが違うこと自体は、面積の倍率を変える理由にはなりません。

同じ高さの判断と相似の判断が両方使える配置では、どちらの説明でも同じ結果になるはずです。両方の条件を本当に満たすのかを先に点検し、結果が食い違えば、対応する辺か高さの位置を見直します。単に2つの公式を選び直すより、何を比べた式なのかを確かめる方が原因を見つけやすくなります。

答案をたどって抜けた条件を見つける

比が合わない答案では、最初に比の順序を見ます。小さい図形:大きい図形と書いたのに、途中で大きい図形:小さい図形に入れ替われば、正しい方法でも逆の答えになります。図形の名前を比の上に書き、最後まで同じ順に置いてください。その後で、各辺がどの辺に対応しているかを、頂点の順序とともに確認します。

次に、面積の式へ移った行を探します。式がなく比だけが書かれていたら、どの辺を底辺に選び、その辺に垂直な高さをどこに取ったかを書き足します。高さが図形の外側にあっても、底辺を含む直線へ垂線を引いた長さが高さです。頂点から底辺の端までの斜めの線を、見た目だけで高さにしないようにします。

底辺に沿う長さが比較できても、高さが等しいと示されていなければ、底辺の比だけでは面積比を決定できません。高さが等しいと図から思った理由を、共通の頂点や平行な直線など、問題文にある条件へ戻して説明できるか確かめます。図の見た目が等しく見えること自体は根拠にはなりません。

相似が示されている場合は、対応する辺の比を一度書き、それと同じ比になる高さを添えます。そして底辺の倍率と高さの倍率を掛けます。斜辺を含むどの対応辺から比を求めても構いませんが、面積の式に入れるのは選んだ底辺とその底辺に垂直な高さです。隣り合う辺の比を足したり、対応しない辺を割ったりしていないかも点検します。

面積を積分で表す問題には符号の判断もありますが、ここで調べるのは三角形の底辺と高さの対応です。図形の面積は正の量として扱い、比を作る前にその2つの長さがどのように変わるかを追います。

高さを揃えてから比を作る

たとえば三角形ABCで、点Dが辺BC上にあり、BDが2 cm、DCが3 cmだとします。Aから直線BCへの高さを4 cmとします。比較するのは三角形ABDと三角形ADCです。どちらも頂点Aから同じ直線BCへ下ろした高さを使えるので、高さは共通の4 cmです。

図2のように、底辺BDとDCは同じ直線上にあります。AからBCに垂直な線を引くと、2つの三角形の底辺への高さが同じ長さであることが見えます。この垂線の足がDと一致する必要はありません。底辺の線分の外側に足があっても、直線への垂直な距離を使います。

手順の初めに、比べる2つの面積を名前で書きます。ここでは三角形ABD:三角形ADCです。次に、それぞれの底辺をBDとDCに決めます。2つの底辺が同じ直線上にあり、もう1つの頂点が共通なので、Aからその直線への高さを両方に使えます。これは図形が相似だからではなく、高さの取り方が共通だから成り立つ判断です。

面積を実際に計算すると、三角形ABDは2 × 4 ÷ 2で4 cm²、三角形ADCは3 × 4 ÷ 2で6 cm²です。したがって面積比は4:6、つまり2:3です。底辺の比BD:DCも2:3なので一致します。共通の高さ4と、面積の式の2で割る操作が、両方の面積に同じようにかかっているためです。

高さが問題文に数値で与えられない場合も、共通の高さをh cmと置けます。2つの面積はそれぞれ2h ÷ 2、3h ÷ 2です。三角形がつぶれていないのでhは正であり、面積の比を作ったとき共通の正の因子を取り除けます。高さが0なら面積は両方0になり、通常の意味で0:0を面積比として扱えません。図形が三角形として成立していることも前提です。

この例で、BDとDC以外の辺に注目したくなったら、いったん底辺の選択に戻ります。ABとACを底辺に選ぶことも可能ですが、それぞれに対する高さは同じとは限りません。共通の頂点があるというだけで、どの底辺に対しても高さが共通になるわけではないのです。等しい高さを使うには、どの直線への距離を比較しているかまで示します。

相似のときは高さも変わる

別の場合として、たとえば一辺が1 cmの正三角形と、対応する一辺が3 cmの正三角形を比べます。辺の比は小さい方:大きい方で1:3です。相似なので、対応する底辺だけでなく、その底辺に対する高さも1:3です。面積比は1 × 1:3 × 3、つまり1:9となります。高さの具体的な値を計算しなくても、2つの倍率を掛けることで比が出ます。

図3のように、正三角形を3倍に拡大すると高さも3倍になります。小さい三角形を辺の方向に3つ、高さの方向にも3つという関係に分けると、等しい小三角形が9つできます。辺の比に比べて面積比の倍率が大きくなる理由を、式と図の両方から確かめられます。

逆に面積比がわかって相似比を求めるときは、長さの倍率を2回掛けた結果が面積の倍率になることから戻ります。長さは正なので、正の倍率を選びます。ただし、面積比が同じという情報だけでは2つの三角形が相似とは決まりません。相似の根拠が問題文にあるか、別に示せるかを先に確認します。

確かめの問題

たとえば、三角形PQRでSは辺QRの内部にあり、QSは5 cm、SRは7 cmです。Pから直線QRへの高さは正です。三角形PQSと三角形PSRの面積比を、この順に求めてください。また、辺の比をそのまま使える理由を説明してください。

解答は5:7です。底辺QSとSRは同じ直線QR上にあり、もう1つの頂点Pが共通なので、直線QRへの高さが等しくなります。面積の式には同じ高さと2で割る操作が入るため、底辺の比が面積比に残ります。7:5と答えたときは、比較する図形の順序に戻ってください。25:49と答えたときは、相似比を2回掛ける場面と、共通の高さを使う場面の違いに戻ります。高さが正という条件は、面積が0にならないことを支えています。

もしSがQやRと一致すると、一方の底辺が0になって三角形がつぶれます。この問題ではSを辺の内部に置いているので、両方の底辺は正です。点が線分の外にある別の配置では、長さの足し引きや対象となる領域を図に書き直してから、共通の高さを検討します。線上にあるという条件と、線分の内部にあるという条件は同じではありません。

面積比を逆に書いたかどうかは、大小関係でも点検できます。図2では共通の高さのまま底辺DCがBDより長いので、三角形ADCの面積もABDより大きくなります。小さい方を先にした比の前項は後項より小さくなるはずです。この確認は計算を置き換えるものではありませんが、比の順序を入れ替えた誤りに気づく手がかりになります。

面積の単位も最後に見ます。長さをcmで与えた例で面積そのものを求めるならcm²です。面積同士の比は同じ単位で表した数を比較するので単位を書きません。異なる単位の長さが与えられたときは、面積の式に入れる前に単位を揃えます。数の比だけを先に取ると、単位の違いを見逃す場合があります。

教科書と答案を使った聞き方

三角形の面積や相似な図形の性質に不安が残るときは、教科書の面積と相似比の項目を開き、対応する辺と高さの説明を見比べてください。質問するときは、問題の図に自分が選んだ底辺と垂線を書き込み、「この2つの高さが等しい根拠はどの条件ですか」と尋ねます。相似を使った場合は、対応する頂点の順序と辺の比も添えると、どこで対応がずれたかを確かめやすくなります。

答えが一致しない場合には、消し直す前の途中式も残します。自分が使った比、相手が示した面積の式、図の垂線を並べれば、順序の逆転なのか、高さの抜けなのかを分けて話せます。計算に誤りが見つかった場合も、比を作る条件が正しかったかまで戻ると、修正した答えの根拠が残ります。

個別指導では、問題の図と途中式を机に並べ、どの2つの領域を比べているかを指でたどります。底辺と高さをそれぞれ記した後、共通の高さなのか、相似によって高さも変わるのかを説明してみます。数を合わせる作業に入る前に、条件を言葉にする練習です。

辺の比を面積比へ移す前に、底辺に対する高さを確かめます。同じ高さなら底辺の比、相似なら対応する長さの比を2回掛けた比です。図形の条件が、どちらの計算を選ぶかを決めます。