共通テスト数学のデータを移すと散らばりも増えるか—平均の移動と偏差を分ける｜武蔵野個別指導塾

全員に同じ点を加えると平均は動いても平均との差は残ります。その理由を一律加算の偏差で追います。

全データに同じ数を加えると、平均もその数だけ移動します。一方、各値と平均の差である偏差は変わりません。値が大きくなったことと、値どうしが広がったことを分けて考えます。標準偏差は偏差から決まるため、一律に加えた前後で同じです。

よくあるのは高2の学年末、全員の点に同じ数を足すと標準偏差も増えると答えた机の場面です。点数が上がったことは見えますが、平均も一緒に上がることを途中式に残さないと、平均との差まで増えたように見えてしまいます。答案を見直すときは、元の点と新しい点の大小だけでなく、それぞれの集まりの平均を隣に置いて比べます。

動いた値と動かなかった間隔

たとえば、練習用の架空の点が 2点、4点、6点の3人を考えます。平均は4点です。各点から平均を引いた偏差は順に -2点、0点、2点です。全員に3点ずつ加えると、点は5点、7点、9点となり、平均は7点に移ります。ところが偏差は 5 − 7 = -2、7 − 7 = 0、9 − 7 = 2 で、元の偏差とそれぞれ一致します。

図1のように、点と平均の両方が同じ方向へ同じ幅だけ移ります。平均より2点低かった人は、移動後も新しい平均より2点低いままです。元の平均4点を動かさずに 5 − 4 とすると1点になり、同じ人の偏差が変わったように見えます。しかしその計算は新しい集まりの平均からの差ではありません。比較する基準を古いまま残したことが、誤りの入り口です。

点数の増加は各人の変化を表し、偏差は同じ集まりの平均からの位置を表します。この2種類の差は引く相手が違います。平均にあたる人の偏差が0のままであることも、基準が移動したかを確かめる手がかりです。どの人も上がったのだから散らばりも大きい、という判断には、平均からの距離を測り直す一段が抜けています。

標準偏差は、偏差を使って集まりの散らばりを表す量です。各偏差が同じなら、偏差の2乗の平均である分散も、その非負の平方根として求める標準偏差も同じ値を保ちます。ここでは分散を最初から計算し直す技術より、一律加算で偏差が保存される理由を追います。標準偏差の単位は元の点と同じ点であり、平均の値そのものとは別の量です。

答案のどこで基準がずれたか

見直しでは、まず元の値、新しい値、元の平均、新しい平均の4つに印を付けます。新しい値から元の平均を引いているなら、基準の取り違えです。値の移動後に平均も移したうえで引き直し、各人の符号と大きさを比べます。平均より低い値の偏差は負、等しい値の偏差は0、高い値の偏差は正です。

別の答案では、新しい平均を求める段階で加えた数を人数で割っていることがあります。3人に3点ずつ加えたなら、合計は9点増えます。その増加を3人で割るため、平均の増加は3点です。合計の増加と平均の増加を混ぜた場合は、偏差の式に進む前に合計を作り直します。全員に同じ数を加えたという条件を、人数分の加算として書くと原因が見えます。

さらに、偏差は同じなのに標準偏差だけ増えると書いた答案なら、偏差から標準偏差へつながる説明を確認します。偏差の並びが同じであれば、2乗した並びもその平均も同じです。平方根を取る前後で新しい点数を別に足す操作はありません。どこで別の量を足したのか、式を1行ずつ追います。

平均の重みが異なる集団を合わせる問題では、人数に応じて平均を扱う必要があります。ここでは同じ人数の各値に同じ加算を行うため、判断の中心は各偏差の対応です。点と平均のどちらも新しい集まりのものかという問いを先に置きます。

一律加算を式でたどる

元のデータを x₁、x₂、…、xₙ、その平均を m とします。n は1以上の整数です。各値に同じ数 a を加えた新しい値は x₁ + a、x₂ + a、…、xₙ + a です。加える数 a は正に限りません。負なら全体が同じ幅だけ下がり、0なら値はそのままです。

合計には a が n 個加わるので、新しい平均は (x₁ + x₂ + … + xₙ + n a) / n = m + a です。各値が a だけ動いたとき、平均も a だけ動く理由がここにあります。図2のように、新しい値と新しい平均を組にしてから引きます。元の平均だけを引かないよう、平均に付いた a も式に書きます。

元の xᵢ の偏差は xᵢ − m です。移動後は (xᵢ + a) − (m + a) = xᵢ − m になります。引く側の括弧を外すと -a が現れ、値に加えた a と打ち消し合います。この等式は各 i について成り立つので、個々の偏差が元の対応する偏差と等しいとわかります。平均が同じだけ動くことを先に示したからこそ、括弧の中を m + a と置けます。

先ほどの点に戻り、真ん中以外も確認します。最小の点は2から5、平均は4から7へ移ります。差は移動前の 2 − 4 と移動後の 5 − 7 でともに -2点です。最大の点も 6 − 4 と 9 − 7 がともに2点です。符号が逆転していないかも見れば、引く順序の誤りを見つけられます。

偏差がすべて0なら、元の値はすべて平均と等しく、標準偏差は0です。同じ数を足した後も各値と平均は等しいため、0のままです。散らばりがもともとない境界でも、式の説明は変わりません。a が負の場合にも (xᵢ + a) − (m + a) の2つの a が消えます。点数という場面で不自然な値になる場合は、数学上の操作と実際の採点条件を区別します。

答えを書くときは「平均は a 増える。各偏差は変わらないので標準偏差も変わらない」と、理由を間に置きます。a が負なら「a 増える」は符号付きの表現です。たとえば a が -3 のときは平均が3下がると言い換えられます。数の大小と符号に注意しながら、同じ式で点検できます。

同じ数でない場合は確かめ直す

条件が変わり、一部の値にしか数を加えない場合は、先の結論をそのまま使えません。たとえば 1、3、5 のうち真ん中にだけ3を足すと、1、6、5 になります。元の平均3は新しい平均4に変わりますが、偏差は元の -2、0、2 から、新しい -3、2、1 に変わります。各値の加算量がそろっていないため、値と平均の移動量が一人ずつ一致するとは限りません。

図3のように、変更された値と平均を別々に追うと、真ん中の値は3動き、平均は1動きます。この場合に標準偏差がどうなるかは、変わった偏差から判断する必要があります。逆に、加算量が異なると必ず標準偏差が変わると決めつけることもできません。まず条件を読み、一律加算の証明を使えるかを見ます。

確かめる問題

たとえば、ある3つの測定値が 10、14、18 です。各値から2を引いた集まりについて、平均と各偏差はどうなりますか。標準偏差が元と同じかも、理由を添えて答えてください。

解答は、新しい平均が12で、偏差は順に -4、0、4、標準偏差は元と同じです。元の平均は14で、新しい値は8、12、16です。新しい平均からの差を順に取ると、元の平均からの差と一致します。偏差の並びが等しいため、その2乗から求める標準偏差も等しくなります。

平均を14のままにした人は、新しい3つの値の合計を3で割るところに戻ります。偏差の符号を反対にした人は、値から平均を引く順序を確認します。標準偏差も2減ると答えた人は、平均が減ることと偏差が変化することを分け、移動前後の対応する差を紙に並べてみます。

比較する相手をそろえる練習

答案を読むとき、元の集まりと新しい集まりを縦に並べると、同じ人の値がどこに移ったかを追いやすくなります。左端に元の値、次に元の平均、さらにその差を書きます。別の行には新しい値、新しい平均、その差を書きます。同じ列にある2つの差が等しいかを確かめる方法です。平均を一度計算した後も、どちらの集まりの平均なのか名前を付けて残しておきます。

この並べ方では、各点が増えた事実も、偏差が変わらない事実も同時に見えます。前の数値例の低い点は3点上がりましたが、平均も3点上がりました。新しい点と元の点を引けば増加量3点が出ます。新しい点と新しい平均を引けば偏差 -2点が出ます。2つの式はどちらも引き算ですが、質問が違うので結果を入れ替えられません。

平均より低い値の偏差が負になるのは、値からそれより大きい平均を引くためです。負の偏差を見て、点数が負だと解釈する必要はありません。平均より何点低いかを符号付きで表しています。値と平均を両方移した後も上下関係が変わらないため、低かった値の偏差は負のままです。絶対値を取れば平均からの距離を見られますが、偏差そのものを書くときは方向を示す符号も残します。

偏差の合計が0になることは途中の点検に使えます。ただし合計が0であることだけでは、移動前後で各偏差が一致したと証明できません。違う偏差の並びでも合計が0になることがあるからです。各値とその新しい平均を対応させて引き、個別に比較してはじめて、一律加算の保存が確認できます。合計の確認は計算間違いを見つける補助であり、対応を調べる代わりではありません。

人数が多い場合にも、最初に1人分を記号で表せば同じ理屈を使えます。すべての人の値に同じ a を加えたという条件により、選んだ人が誰であっても新しい値は元の値に a を加えたものです。平均も a 移るため、選んだ人の偏差は変わりません。この説明は、具体例で確かめた関係が別の人数にも通用する理由を示します。

加える条件を読み落とさない

「各値に同じ数を加える」と「合計にある数を加える」は異なります。前者では人数分の加算が合計に反映され、平均は加えた数だけ動きます。後者では、その合計の増加を人数で割った分だけ平均が動きます。各値がどう変わったかが示されなければ、合計の変化だけから各偏差の変化は決まりません。何に対する加算かを言葉で囲み、式に移す前に対象を確かめます。

また、全員の値を同じ数倍する操作も、同じ数を加える操作とは区別します。倍率がかかると平均からの差にも倍率が関係するので、今回の加算による打ち消しをそのまま適用できません。問題文の動詞が「加える」か、それとも別の操作かを確認し、該当する式を立て直します。操作の名前だけを覚えるより、元の値と新しい値の関係を一行で書く方が、条件を落としにくくなります。

計算が途中で止まった場合は、標準偏差の最後の数を先に求めようとせず、各偏差の対応まで戻ります。元と新の偏差が等しいと示せれば、その後の操作にも同じ数が渡るからです。一方、各偏差が異なった場合には、等しいと断定せず、必要に応じてそれぞれの2乗の平均を比較します。条件が足りない場合は、足りない変化の情報を明示して判断を保留します。

偏差の一覧を作るときは、人数と値の数が一致しているかも確認します。1つ書き落とすと平均からの差を正しく並べられません。移動前後で同じ順番を保つと、対応する値を取り違えずに比較できます。

自分の式を持って確かめる

教科書で確かめるときは、データの分析にある平均、偏差、分散、標準偏差の定義を開きます。特に偏差が何から何を引いた量かを確かめてから、自分の式の引く順序と比べます。公式を眺めるだけで終えず、新しい平均をどの行で求めたかに印を付けると、質問する場所が明確になります。

先生に尋ねるなら、元の値と移動後の値を並べた紙に、両方の平均と1人分の偏差を書いて持っていきます。「新しい値から元の平均を引いてよいと思ったが、どこで基準が変わるのか」と聞けば、自分の迷いを示せます。お子さまが説明する際も、答えの正誤だけを先に比べず、どの平均を引いたかを一緒に確認できます。

個別指導では、元の答案と書き直した途中式を並べ、一律に加えた数が平均にも反映されているかを見ます。各偏差が対応する理由を本人の言葉で説明できるか確かめ、符号がずれる箇所があればその引き算へ戻ります。

全員に同じ数を加える操作では、値と平均が同じ幅で動きます。対応する値から新しい平均を引けば、元と同じ偏差が残ります。移動する基準をそろえて、散らばりの変化を判断します。