中2の証明の定期テスト—穴埋めはできるのに全文が書けないとき、空欄を減らす練習｜武蔵野個別指導塾

完成した証明の理由、頂点の対応、結論を順に隠し、書けない場所を見つけて証明の空欄を減らす。

穴埋めができても全文が止まるときは、完成した証明を見本にして、理由、対応する頂点の順、結論を少しずつ隠します。最初にする作業は、学校で使うことを認められた解答から、授業で扱った証明を1題選び、仮定と結論に印を付けることです。次に、見えている文に支えられて答えたのか、自分で文のつながりを書けたのかを分けて確かめます。急に白紙にせず、止まった箇所が見える幅で空欄を作ります。

よくあるのは、証明の穴埋めだけ丸が並ぶ中2の問題集を開き、解答欄が白い問題になると手が止まる場面です。空欄には正しい言葉を入れられても、その前後に何を書けばよいかは欄の外に示されています。丸の数を眺める代わりに、見本のどの部分が手がかりだったのかを確かめましょう。

丸が付いた欄の外にも手がかりがある

穴埋めでは、たとえば「仮定より」と書かれた後に等しい辺を入れることがあります。その場合、等しい辺を探す作業はしていますが、理由を先に書くか後に書くか、どの三角形を比べるかは、問題文に助けられているかもしれません。全文を書くときには、その助けも自分で補う必要があります。

図1のように、完成文を理由、対応、結論の3つに分けて見ます。理由は、等しいといえる根拠です。対応は、比べる三角形の頂点をどの順で並べるかです。結論は、示すよう求められたことに戻って書く文です。3つは別々に点検できますが、証明の中ではつながっています。理由が合っていても頂点の順がずれると、後に使う対応が変わります。

たとえば、理由欄だけ空けたときに止まるなら、等しいものは見つけられていても、その根拠を言葉にする練習が必要です。三角形の名前を隠したときに止まるなら、理由を暗記し直す前に、頂点を対応させる作業へ戻ります。最後の文が抜ける場合は、合同を示したところで書き終えたつもりになっていないか見ます。

一方、見本を見てもどの文が何を示すかわからない場合、隠す練習を始めても空欄が埋まりません。まず学校の授業資料で、仮定と結論がどこに書かれているかを確認します。見本の誤りか、自分の読み違いか判断できないときも、推測したまま練習用の見本にせず、授業で確かめます。

見本から隠す場所を一段ずつ増やす

用意するのは、学校の授業で扱い、利用を認められた問題と完成した解答、紙、見本を隠す紙です。自分の答案や学校資料は手元で扱い、画像や名前を外へ送らずに点検します。範囲に入る問題は学校の案内で確かめ、範囲や時間を推測して決めません。

ここでは練習の形を示すため、自作の問題を使います。点A、B、Cと点D、E、Fについて、ABとDEが等しく、ACとDFが等しく、角BACと角EDFが等しいとします。三角形ABCと三角形DEFが合同であることを示します。授業で習った合同条件を使い、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいことを根拠にします。

見本は次のように作れます。「三角形ABCと三角形DEFにおいて、仮定よりABとDEが等しく、ACとDFが等しい。また角BACと角EDFが等しい。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、三角形ABCと三角形DEFは合同である。」等しい辺と角が仮定から来ていること、AとD、BとE、CとFが対応することを指で追います。記号の使い方や合同条件の表現は、手元の教科書や授業資料に合わせて確かめてください。

始める前に、比べる三角形と、示す結論を紙に書きます。見本を読んだ直後に全部を隠すのではなく、まず「仮定より」と「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので」の部分を隠し、残った等式と結論を見ながら理由を入れます。どの事実にどの理由が付くか、線で結んでから文に直してもよいでしょう。

書けたら見本を開き、理由があるかだけでなく、根拠が正しい事実に結び付いているかを見ます。「仮定より」を合同条件の理由として使っていないか、合同条件を個々の辺が等しい理由として書いていないかを区別します。意味が通る別の言い回しでも、根拠と結論の関係が合っていれば、見本と文字単位で同じかどうかにこだわる必要はありません。

次は理由を見せたまま、三角形の頂点の順を隠します。ABにDE、ACにDFが対応するので、共通する頂点AにはDが対応します。残るBにはE、CにはFが対応します。したがってABCに対応する順はDEFです。図を向きの似た形に描き直してもよいですが、見た目の並びだけで決めず、等しいとされた辺と角に戻ります。

図2のように、理由、対応、結論の順に隠す範囲を変え、最後に3つをまとめて隠します。順番は練習の提案です。学校で指定された手順ではありません。1段階で詰まったら、その箇所を見える状態に戻し、次の段階へ進む前に、何を見て書いたかを確かめます。

結論を隠す段階では、問題が何を示すよう求めていたかを先に読みます。見本で合同が結論なら、合同を書くところまでを再現します。別の問題で合同を使って角や辺の等しさを示すなら、合同の後に対応する部分が等しいことを使って、問われた結論まで書きます。途中の合同と最終的な結論は、同じとは限りません。

3つを隠したら、問題文と図は見たまま、比べる対象、仮定からわかること、合同条件、求められた結論をつないで書きます。答案ができた後に見本を開き、事実、理由、対応順、結論を順に照合します。合っていた箇所と戻る箇所を別の印で残すと、次に最初から全部を隠す必要があるか判断できます。

終える目安は、問題文と図から書いた文について、各事実の根拠を指し示せて、頂点の対応を等しい辺や角で説明でき、求められた結論までたどれることです。見本の文章を覚えて再生できたかではなく、書いた文の意味を自分でたどれるかを見ます。途中で別の資料が必要になったら、そこで練習を止めて資料を確かめます。

対応が逆になった答案を戻す

別の場面を考えます。三角形PQRと三角形STUで、PQとST、PRとSUがそれぞれ等しく、角QPRと角TSUが等しいという条件から合同を示す問題です。答案に「三角形PQRと三角形SUT」と書いてしまった場合、SがPに対応するところまでは合っていますが、QとU、RとTを対応させてしまいます。

このとき合同条件の文だけを何度も書いても、頂点の取り違えは直りません。PQとSTを並べ、PとS、QとTを対応させます。次にPRとSUを並べ、PとS、RとUを対応させます。2つの対応を合わせると、PQRに対してSTUの順になります。角QPRと角TSUでも、中心の頂点PとS、両端のQとT、RとUが合うかを照合します。

修正した後は、見本を閉じて対応順の部分だけをもう一度書きます。書けても、なぜその順か言えなければ、辺の組を紙に並べるところへ戻ります。逆に、対応は説明できるのに合同条件を書き落としたなら、理由を隠す段階へ戻ります。間違いをひとまとめにせず、次の練習で隠す場所を選び直します。

合同で止まった文の先を確かめる

今度は、三角形GHIと三角形JKLの合同を示した後、角GHIと角JKLが等しいことを結論として求められた場面です。仮定から合同条件を満たし、三角形GHIと三角形JKLが合同だと書けても、そこで答案が終われば、求められた角の等しさはまだ文章になっていません。

見本では、合同を示した文の後に「合同な三角形の対応する角は等しいので、角GHIと角JKLは等しい」と続けられます。ここでGとJ、HとK、IとLの対応を確認し、真ん中の頂点HとKが対応していることも見ます。図の位置が近い角を選ぶのではなく、合同と書いた三角形の順からたどります。

練習用紙では最後の文だけを隠し、問題の結論と合同の文を見ながら書きます。次に、合同の文も隠して、対応順から最後の角まで続けます。最後の文を思い出せても、対応する角の選び方が説明できなければ、合同の三角形の頂点に線を結ぶ段階へ戻ります。合同を示せたことと、問われた結論を示せたことを別々に点検します。

紙が止まったときの戻り先

何から書けばよいかわからないときは、図3の分岐を使います。まず問題文で与えられた事実と、示すことを別々に囲みます。それでも比べる三角形を選べない場合は、見本の最初の文を開き、図のどの部分を指しているか確かめます。根拠が読めないまま次の文を埋めても、理由を自分で選ぶ練習にはなりません。

理由が出ない場合は、等しいものを示す文の横に「問題で与えられたか」「前の文から導いたか」を書きます。対応が曖昧なら、三角形の名前を書き直す前に、等しい辺の端点を組にします。結論が出ないなら、問題の最後に戻り、求められた対象を答案の最後に書けているか見ます。戻り先がわかったら、隠した場所を狭めて再開します。

見本の文字が読みにくい、ページが欠けている、図の記号が判別できない場合は、別の完成した解答を手元で探すか、学校で確かめます。図と解答が食い違うように見える場合も、都合のよい方を選んで覚えず、どの記号で迷ったかを書き留めます。外の道具で画像が開けない場合は、読める紙の資料に戻り、見えない箇所を推測で埋めません。

時間が足りなくなったら、未完成の全文に丸を付けず、止まった文と、次に開く見本の場所を残していったん終えます。再開時は前の段階を短くたどり、残した箇所から続けます。答えを写した後に理解できたつもりにならないよう、見本を閉じて同じ箇所をもう一度説明できるか確認します。

別の条件で確かめる小さな問題

次の自作問題で、理由、対応、結論をつなげてみましょう。三角形MNOと三角形XYZについて、MNとXY、MOとXZがそれぞれ等しく、角NMOと角YXZが等しいとします。三角形MNOと三角形XYZが合同であることを示してください。完成文を見ずに書いた後、下の答えを読みます。

答えは「三角形MNOと三角形XYZにおいて、仮定よりMNとXY、MOとXZはそれぞれ等しく、角NMOと角YXZも等しい。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、三角形MNOと三角形XYZは合同である」です。MとX、NとY、OとZが対応します。2組の辺と、その間の角が仮定で等しいため、この合同条件を使えます。

理由を落とした人は、答えの理由部分を見せて事実と結び付ける段階に戻ります。順序を間違えた人は、MNとXY、MOとXZの端点を対応させます。最後の合同を書かなかった人は、問題が求める文を答案の末尾に置く練習をします。答えの語順が異なっても、根拠と対応が正しいかを確かめます。

よくある疑問

穴埋めの丸が多ければ全文も書けますか

丸は空欄に入れる答えを選べた記録です。欄の外に理由や三角形の名前が印刷されていたなら、その部分を書けるかは別に試します。理由だけを隠して書き、次に対応を隠すと、どこまで自分の力でつなげたかが見えます。

見本と違う順番で書いたら直すべきですか

事実と理由の関係、頂点の対応、結論が正しければ、見本と同じ順番でなければならないとは限りません。ただし、読む人がどの事実から何を導いたかわからない書き方なら、文を分けてつなぎ直します。学校で表記の指定がある場合は、その資料を手元で確かめます。

保護者は何を用意すればよいですか

お子さまが授業資料と見本を並べ、隠す紙と書く紙を使えるようにする程度で十分です。正解を先に読み上げる代わりに、どの部分を隠したいかを本人に選んでもらいます。資料が欠けていれば、その場所を控え、学校で確かめられるようにします。

学校や1対1の授業で見てもらう箇所

質問するときは、問題と利用を認められた見本、途中まで書いた紙を手元に用意します。「全文が書けない」と伝えるだけでなく、理由を隠すと止まったのか、対応順で迷ったのか、合同の後の結論が出なかったのかを示します。自分で引いた対応の線や、見本を開いた位置も、どこで考えが途切れたかを伝える手がかりになります。

説明を受けた後は、見本を閉じ、質問した箇所を自分の言葉で書き直します。聞いている間はわかったつもりでも、紙に戻ると理由のつながりが抜けることがあります。次に何を隠して試すかまで決めれば、授業後の練習はその位置から再開できます。

空欄を減らした後に残すこと

完成文を隠して書けたら、最後に問題文、図、答案を並べます。仮定から出した事実に理由があり、三角形の順が対応し、求められた結論まで届いているかをたどります。間違えた場所があれば、その部分が見える段階に戻してから再挑戦します。見本の助けを減らしながら、根拠から結論まで自分でつなげた証明を残します。