中2の一次関数の定期テスト—授業プリントとワークで文字が変わると解けないときの練習｜武蔵野個別指導塾

xとyを別の文字に替え、表の向きや目盛りを変えて同じ関係を追い、見た目の違いを越えて読み解く一次関数です。

プリントでは解けた一次関数が、ワークでは文字を替えられただけで止まる。そのときは新しい公式を探す前に、何が変わる量で、何がそれに対応する量かを日本語で書き、元の表と新しい表を1組ずつ照合します。文字、表の向き、グラフの目盛りを一度に変えず、変える部分を分けて練習すると、どこで対応を失ったかが見えます。

よくあるのは、プリントでは解けた問題を別の文字で出されて止まる中2の場面です。式の形は見覚えがあるのに、ワークには見慣れない文字が並び、どちらに値を入れるのか迷います。学校で利用が認められたプリントとワークを机に置き、答えの数字だけでなく、各文字が何を表すかを確かめるところから始めましょう。

文字の形と量の役割を分ける

たとえば、入力する量を x、対応する量を y とし、y = 2x + 1 という自作の関係を考えます。x が 0、1、2 のとき、y は順に 1、3、5 です。ここで同じ入力を a、対応する量を b と名付け直すと、式は b = 2a + 1 になります。名前を替えただけなら、a が 0、1、2 のときの b はやはり 1、3、5 です。

図1のように、文字を線で結ぶ前に「入力する量」と「対応する量」を読み取ります。x と a が同じ役割、y と b が同じ役割です。左に書かれた文字が常に入力とは限らず、問題文で何を何に対応させているかを見ます。式の文字を見慣れたものに戻すときも、その対応を決めてから書き換えます。

止まり方は分けて考えられます。文字の名前を替えた式は書けても表が埋まらないなら、値を入れる場所を見直します。表の組は合っているのにグラフの点が違うなら、横軸と縦軸、目盛りを調べます。元の資料でも表が埋まらない場合は、文字の変更だけを原因と決めず、元の式への代入を教科書や授業資料で確かめます。

例えば a と b を見た瞬間に、アルファベット順で a を右辺、b を左辺に置くと決めてしまうと、問題文で役割が逆に指定された場合に対応できません。文字の形ではなく、問題が指定した量を読む習慣が必要です。また、表の数字が同じでも、同じ行や列に並ぶ組を取り違えれば別の関係になります。答えが合ったかと、対応を説明できたかを別に点検します。

1つずつ変えて同じ組を追う

手元の学校資料から、解答を確認でき、利用が認められた一次関数の問題を1題選びます。範囲は当該年度の学校の案内で確かめ、資料の問題文や答案を外部へ送らず、机上で扱います。自作の練習用紙には、元の文字の横に「入力」「対応」と書きます。何を入力と呼ぶか迷ったら、元の設問が与える値と求める値を読み直します。

次に、上の自作例で x と y を a と b に替えます。元の式のそれぞれの文字の下に新しい文字を書いてから、b = 2a + 1 と写します。係数や定数は変えません。元の表から x が 1 の組を選び、新しい表で a が 1 の組を探します。どちらも対応する値が 3 なら、その組は一致しています。0 と 2 の組も同じ要領で照合し、式に値を入れた計算も残します。

図2のように、横に並ぶ表を縦に並べ替えても、同じ組を同じ行に置きます。向きを変えた後に、見出しを読まず数字の並びだけを写すと、入力と対応する値を入れ替えやすくなります。各組に指を置き、「入力が 2 なら対応は 5」と声に出すか、余白に短く記します。

表ができたら、横軸を入力、縦軸を対応する量と決めたグラフに点を置きます。例えば横軸の1目盛りを1、縦軸の1目盛りを2とした場合、対応する値 3 は縦軸の 2 と 4 の中間です。縦軸の目盛りを数えて3本目に点を置くのではありません。点を置いたら、その位置の横と縦の値を逆に読み取り、表の組に戻ることを確かめます。

途中の判定は、式、表、点のそれぞれに対して行います。式で止まったら役割の対応へ、表で止まったら1組の代入へ、点で止まったら軸の名前と1目盛りの値へ戻ります。間違えた箇所を丸ごと消さず、どの組で違いが生じたか印を残すと、次に資料を開いたときに再開できます。

慣れたら、新しい文字と表の向きを同時に変え、元の資料を伏せて1組を作ります。その後で元の資料を開いて照合します。別の組でも入力と対応の役割、計算、点の座標を説明できれば、この題の対照練習はいったん終えます。答えの数字を覚えた可能性があるときは、学校資料の別の関係を選び、同じ作業を行います。

元の表と新しい表の照合では、たまたま同じ値が並ぶ組にも注意します。入力と対応がともに同じ数字だと、欄を入れ替えても間違いに気づきにくいためです。異なる値の組も選び、見出しと式の両方で確かめます。元の関係を変えずに見た目だけ変えたつもりでも、係数や定数を誤って写せば別の関係になります。式の各数字も元と照らします。

グラフを描く紙がないときは、表の組を言葉で読み取るところまで進め、点の確認は未実施として残します。グラフを見たときに軸の目盛りが読めない場合も、位置を推測して丸を付けず、授業資料で目盛りの読み方を確認します。式と表ができたことと、点まで照合できたことは分けて記録します。

別の文字で役割が逆に見えるとき

自作の別の関係として、入力を p、対応する量を q とし、q = 3p − 2 を考えます。p が 1 なら q は 1、p が 2 なら q は 4 です。この関係を、入力を n、対応する量を m と名付けて m = 3n − 2 と表します。文字の並びが以前と違って見えても、p と n、q と m をそれぞれ結べば、同じ組を追えます。

失敗の場面は、m がアルファベット順で先に来るため、m を入力だと思い込む場合です。式に 1 を入れる位置がずれ、正しい組に戻れなくなります。まず問題文の「入力」と「対応」を新しい文字の横に書きます。その後、元の p = 2、q = 4 に対応する n = 2、m = 4 を探し、m = 3n − 2 に代入して確かめます。左辺と右辺がともに 4 になれば、その組は式を満たします。

もし名前を入れ替えただけなのか、入力と対応の役割も入れ替えたのか問題文から判断できなければ、勝手に元と同じと決めません。授業の説明や解答と見比べ、対応する量を確認します。名前の変更と、どちらの量を基準にするかの変更は別の操作です。対応が定まらないまま式だけを置き換えた答えは、照合用の答えとして使わず保留にします。

表が縦に伸びたときの読み直し

別の自作例で、入力を t、対応する量を s とし、s = -t + 4 とします。t が 0、1、3 のとき、s は順に 4、3、1 です。横向きの表で上下に並ぶ組を、縦向きの表では左右に並べます。0 と 4、1 と 3、3 と 1 がそれぞれ組です。表を回転させるつもりで数字だけ移すと、見出しまで一緒に移したつもりになり、列が逆転することがあります。

直すときは元の表の見出しに指を置き、t が 1 の位置から同じ列の s をたどります。縦の表では t の欄に 1、同じ行の s の欄に 3 を置きます。残りの組も同じように移してから式に代入します。例えば t が 3 の行では、-3 + 4 が 1 なので、s は 1 です。数字の順番が元の表と似ているかよりも、同じ組が保たれているかが判定の基準です。

目盛りが変わったグラフに移すときは、軸の交点から何本目かではなく、軸に書かれた値を読みます。軸に単位や省略がある場合はそれも見ます。表では合っているのに点が合わなければ、式を最初から書き直す前に、点から横と縦へ線をたどって読み取った値を控えます。表の組と比較すれば、どちらの軸でずれたかを見つけやすくなります。

答えが合わないときの戻り道

図3のように、まず違った場所を式、表、点に分けます。新しい文字を見て手が止まる場合は、元と新しい文字の役割を日本語で並べます。式に代入できない場合は、元の式で1組を計算し、その後に文字を替えた式で同じ組を計算します。式から違っていた場合、その式で作った表や点はまだ照合の基準にしません。

表の途中で組を見失った場合は、見出しから1行または1列をたどり直します。元の表と新しい表で同じ入力を探し、対応する値を比べます。点が合わない場合は、横軸と縦軸の役割、1目盛りの値、目盛りの途中にある値の順に確かめます。点の形だけを見て直線を引き直すと、数字の読み違いが残ることがあります。

元の資料に解答がない、字が読めない、設問の条件が欠けている場合は、その問題で正誤を決めず、確認できる別の資料に移ります。途中で時間が足りなくなった場合は、未確認の組に印を付け、確認済みの組と混ぜません。答えが合わないまま原因を決められない場合は、計算の途中と役割のメモを残し、学校や1対1の授業でその箇所を尋ねます。作業を止めた場所が残っていれば、初めからやり直さずに続けられます。

作り直した組が合ったら、元の問題を伏せて、別の組を新しい表へ移してみます。できなければ、どの文字が入力かを示すメモまで戻ります。できた場合も、目盛りの違うグラフでは軸の数値を読み取る作業が残ります。途中で中断した用紙には、次に確認する場所を具体的に書いておきます。

資料の解答と自分の計算が食い違うときは、問題文を写し間違えていないか、表の見出しが逆になっていないかを先に確かめます。それでも理由が見つからなければ、両方を残して質問します。答えに合わせるために数字を直すと、どこで対応が変わったか追えなくなるからです。

手元で試す小さな確認

次の関係を、入力を u、対応する量を v として考えます。v = 4u − 3 です。これを入力を h、対応する量を k と名付け直し、h が 2 のときの k を求めてください。さらに、横軸を h、縦軸を k とし、縦軸の1目盛りを2とするグラフでは、点の高さがどの値の間にあるか考えます。

答えは k = 4h − 3、h が 2 のとき k は 5 です。縦の値 5 は 4 と 6 の間にあります。u と h、v と k が同じ役割なので、係数と定数を保って文字を替え、4に2を掛けて3を引きます。式が違ったら文字の役割へ、5が出なかったら代入へ、点の高さが違ったら縦軸の目盛りへ戻ります。

家で資料を開くときの疑問

元の文字に戻してから解いてもよいですか

まず元の文字で考えるのは練習の入口になります。ただし、元の答えを写す前に、新しい文字がどの量を表すかを横に控えます。最後は新しい文字で式や答えを書き、元の組と照合します。名前を戻す操作自体が目的にならないよう、対応する量を説明できるかも見ます。

表とグラフを一緒に間違えたらどうしますか

表の1組を式に代入して確かめ、その組から点を置き直します。表が正しいと確かめられるまでは、その表をグラフの正解として扱いません。表も式も資料と合わなければ、設問の条件から読み直し、判断できない所を残して授業で尋ねます。

保護者はどこまで準備すればよいですか

お子さまが利用を認められたプリント、ワーク、授業資料を並べられるよう、机の場所や紙を用意する支え方があります。対応の判断や計算はお子さま自身が書き、保護者は途中を急いで訂正するより、どの資料を見ているかを一緒に確認します。資料が見つからなければ、推測で補わず、学校に確認するための印を残します。

授業で見てもらうときに持っていくもの

学校や1対1の授業では、利用を認められた元の問題、書き換えた式、表の1組、置いた点を並べて見せます。例えば「文字を替えた式は書けるが、縦の表のどの行が元の組に当たるかわからない」と、止まった場所を伝えます。何を入力とし、何を対応する量として読んだかも言葉にすると、読み違いと計算違いを分けて確かめられます。

解答が見つからない問題は、正しいと思う答えとして持っていくのではなく、条件と確認したい箇所を示します。授業で訂正したら、同じ数字を写して終わらず、資料内の別の組で役割をたどり直します。教科書や授業資料で文字や軸の扱いも照合し、自分のメモに戻る場所を加えます。

同じ関係を最後に照らす

文字を替える前後で量の役割を結び、表の1組を移し、軸と目盛りを読んで点に戻します。途中で一致しなければ、式、表、点の最初にずれた場所から確かめ直します。新しい見た目の資料でも、同じ組を説明できたところで、その対照練習を終えます。