共通テスト数学の優先単元を決める前に—誤答の単元と足りない計算の単元を分ける｜武蔵野個別指導塾

三角関数の答案で置き換え後の方程式をたどり、次に練習する技能を選ぶ道筋を示します。優先単元を見直す。

誤答した問題の単元名と、次に練習したい技能の名前は同じとは限りません。答案を止まった行まで追い、そこに必要だった操作を取り出すと、戻る先を選べます。三角関数の問題でも、置き換えた後の二次方程式で止まったなら、その計算を別に確かめてから元の問題に戻ります。

よくあるのは、高2の学年末、三角関数を何度解いても途中の方程式で止まる夜です。問題の表紙にある単元名を見て、三角関数の例題をもう一度最初から解き始めます。ところが、角を文字に置き換える行までは進めても、その先の因数分解で手が止まります。ここで問題の名前だけを記録すると、次に何を練習するかが見えにくくなります。実際の答案の各行を分けて見ると、戻る場所をもっと具体的に選べます。

単元名と止まった行は別の手がかり

たとえば、0°以上180°以下の角 θ について、2 sin² θ − 3 sin θ + 1 = 0 を解く練習を考えます。これは説明のために作った問題です。角の範囲を確認し、t = sin θ と置くと、2t² − 3t + 1 = 0 となります。この範囲の正弦は 0 以上 1 以下なので、t の範囲も 0 以上 1 以下です。

ここから (2t − 1)(t − 1) = 0 と分ければ、t = 1/2 または t = 1 です。元の角に戻すと、θ = 30°、90°、150° です。二次方程式の候補を出すことと、正弦がその値になる角を範囲内で探すことは、別の操作です。角の範囲も最後に照合します。

図1のように、問題の入口は三角関数でも、置き換えた行の次には二次方程式があります。問題名から不足を決めるのでなく、答案で実際に何をしたかをたどります。二次式を分解できず空欄になった場合と、分解はできたのに角を1つしか書かなかった場合では、次に確認する場所が違います。

たとえば答案に「t = sin θ」と書けていても、2t² − 3t + 1 の形に写す際に係数を落としていたら、因数分解を増やす前に置き換えた式の対応を見ます。元の sin² θ は t² です。sin θ の項は t の項になり、定数項はそのまま残ります。どの記号が何に変わったか、元の式と置き換え後の式を縦に並べれば確認できます。

反対に、正しい二次式を書いてから、積を展開して元に戻らない形に分けたなら、問題の場所は式変形です。各項の係数を展開して照らし、どの項が違うかを特定します。答案の最後に三角関数という名前が付いていても、その1行には二次式の展開という別の技能が使われています。

答案に残った手順を読み分ける

まず、解答を最初から見直し、書けた行と書けなかった行の境目を囲みます。空欄なら直前の行を見ます。計算を続けたものの答えが違う場合は、正しい行から初めて変わった行を探します。解答の正誤だけではなく、変形の根拠が説明できるかも確認します。

この例では、置き換え後の方程式が正しく、因数を作る行で止まったとします。そのときの仮の見立ては「二次式の因数分解が必要」です。ただし、これだけで三角関数全体ができていると決めてはいけません。方程式を解いた後の角の選択も、実際に元の問題まで戻って確かめます。まだ書いていない行は、できたともできないとも判定しません。

別の答案では、t = 1/2 と t = 1 までは出たのに、θ = 30° と 90° だけを書いたとします。方程式の計算は先ほどの答案と異なり、候補を出すところまで合っています。この場合は 0°以上180°以下で sin θ = 1/2 となる角を調べ直し、150°を落としていないか確かめます。方程式だけを繰り返しても、角を範囲内で探す操作の確認にはなりません。

また、候補が出ても t の範囲を満たさなければ、元の角には戻せません。範囲を確認しないまま公式だけで角を探そうとすると、存在しない候補を抱えたまま進みます。候補の採否と、採用した値から角を求めることは分けて記録します。今回の2候補はどちらも範囲内ですが、別の方程式でも同じとは限りません。

解答が書かれていない答案では、空欄の理由を決めつけないことも必要です。置き換え方が浮かばなかったのか、方程式の解き方が浮かばなかったのか、途中で別の用事が入ったのかは、空欄だけでは区別できません。本人が覚えていることを添え、必要なら同じ行からもう一度取り組みます。思い出せない場合は、最初に自力で再現できた行を新たな手がかりにします。

必要な計算を取り出し、元に戻す

図2のように、まず元の問題の条件と置き換えを残し、次に二次方程式を切り出します。切り出した式だけを解く練習では、角の計算まで同時に求めません。取り出した技能を確認したら、必ず元の問題に戻して、後続の判断までつなげます。

手順の始めに、2t² − 3t + 1 = 0 の左辺を (2t − 1)(t − 1) と書きます。掛け戻すと 2t² − 2t − t + 1 となり、同類項をまとめて元の式に戻ります。真ん中の係数が -3 になることを見てから、積が 0 となる条件に進みます。掛け戻して一致しなければ、根の候補を書き進めず、因数の組み合わせを修正します。

次に、2t − 1 = 0 または t − 1 = 0 と分け、t = 1/2 または t = 1 を得ます。片方の因数だけを 0 とすると、もう一方から出る候補を落とします。分岐を書き、両方の式をそれぞれ解くと、どこで候補が抜けたかを後で見つけやすくなります。

ここで 0 以上 1 以下という t の範囲に候補を照らします。両方が範囲内なので、元の sin θ に戻します。sin θ = 1/2 から 30° と 150°、sin θ = 1 から 90°を得ます。それぞれ元の方程式に入れれば、左辺が 0 になることも確認できます。角の範囲外の値を追加していないかも最後に見ます。

練習の途中で因数分解が思いつかないときは、答えの形だけを覚えて終わらせず、教科書の二次式の展開と因数分解の対応に戻ります。掛け合わせたときの二次の項、定数項、真ん中の項を順に照合します。展開はできるが分解が止まる場合は、候補を作って掛け戻す練習が次の一歩です。展開自体が合わない場合は、分配の計算を短い式で確かめてから戻ります。

取り出した計算が解けても、元の答案で使えるかは別に試します。解答を閉じ、元の式から置き換え、範囲を記し、方程式を解いて角に戻します。途中で再び止まった場合は、止まった行を新しく記録します。最初の見立てを守るために、別の誤りを無視する必要はありません。

時間を置いて再び解く際も、答えの角を記憶しているだけでは途中の理解を判定しにくいものです。各行の右に「置き換え」「因数分解」「範囲」「角」のように操作の名前を添え、その行が前の行からなぜ出るかを短く説明します。説明できない行は、その技能を確かめ直す候補です。解説を見て理解した後に自分の言葉で再現できるかを見れば、写しただけの行と区別できます。

別の答案では戻る先も変わる

置き換え後の計算に不足が見えても、いつも二次方程式に戻るわけではありません。図3のように、式を写す行で変化が起きたなら置き換えの対応へ、方程式を解いた後に角を落としたなら範囲と角の対応へ戻ります。どちらも同じ表紙の問題から生じますが、確かめる操作は異なります。

計算の答えが合っていた場合にも、理由を確認します。たまたま候補が合ったとしても、途中の変形が正しいとは限りません。各行が前の行と同じ条件を表しているかを確認し、元の条件を使い忘れた箇所があれば補います。一方、計算の形が違っても、各行が正しく条件を保ち、範囲を照合していれば、解説と同じ書き方にそろえる必要はありません。

確かめ問題

0°以上180°以下の角 φ について、2 cos² φ + cos φ − 1 = 0 を解く答案を考えます。u = cos φ と置いて 2u² + u − 1 = 0 とした後、(2u + 1)(u − 1) = 0 と書きました。まず、どの行に戻るとよいでしょうか。正しく解いたときの角も求めてください。

解答は、因数分解の行に戻ります。書かれた積を展開すると 2u² − u − 1 であり、真ん中の項が元の +u と一致しません。正しくは (2u − 1)(u + 1) = 0 なので、u = 1/2 または u = -1 です。この角の範囲で余弦は -1 以上 1 以下ですから、どちらも採用できます。したがって φ = 60° または 180° です。

もし φ = 60° だけを書いた場合は、因数のもう一方から得た u = -1 を角に戻した行を確認します。もし u = 1/2 を得る前に止まった場合は、因数を掛け戻し、真ん中の項を作る計算へ戻ります。角の表だけを見直しても、展開の符号違いは直せません。問題と解答を照らし、どの操作で差が生まれたかを特定してください。

見立てが外れたときの戻り方

取り出した方程式を自力で解けなかった場合、すぐに元の問題を何度も最初から解く必要はありません。まず、因数分解の結果を展開する操作だけを試し、係数が合うかを確かめます。展開にも誤りがあれば、掛け算の各項を書き出して同類項をまとめます。それができたら、元の二次式から因数を探し、もう一度掛け戻します。小さく分けて確認することで、どの操作から練習を再開するかが見えます。

逆に、取り出した式は正しく解けたのに、元の問題に戻るとまた手が止まる場合もあります。元の式から置き換えた式を書き出すまでの対応と、方程式の解を角に戻すまでの対応を、それぞれ別に試します。どちらも正しければ、答案の途中で条件を写し落としていないか、最初から読み直します。最初に立てた見立ては仮のものです。確かめた結果と食い違えば、戻り先を変えます。

解答を見ても途中の理由がわからない場合は、その箇所を空白のままにせず、前後の2行を並べて質問にします。「ここからこの式になる理由」が伝わるよう、わかるところまでの計算も残します。途中を消して正解だけ書き直すと、どの操作で判断が変わったのか後から確かめにくくなります。間違えた行は線で区切り、修正後の行を横に置くと、両者を比較できます。

たとえば、元の式に代入して左辺が 0 にならない角が残ったときは、最後の答えだけを消さず、角から正弦の値、さらに方程式の候補へと逆にたどります。角と値の対応が違うのか、候補の計算自体が違うのかで戻る場所が変わるからです。代入が合っても範囲外の角は採用できません。計算結果と問題の条件は別々に照合します。

答えを急ぐあまり、解説の因数を先に書き写してしまった場合も、確認をやり直せます。解説を閉じて掛け戻し、元の式と一致するかを確かめてから、因数を自分で作れるか試します。再現できなければ、どの係数を決めるところで迷ったかを残します。間違いを消すことより、次に取り組む操作を言葉にすることが役立ちます。

持っていく答案と質問

教科書で調べるときは、単元名だけを探すのではなく、止まった行にある操作を目印にします。二次式の展開が合わなければ分配と同類項の整理、因数の候補は出るが確認できなければ展開との対応を見ます。角に戻す行で迷った場合は、角の範囲と三角関数の値の対応を確かめます。見たページを写すだけでなく、自分の式のどの行に使えるかを示します。

先生に尋ねるときは、問題の条件、自分で書いた途中式、解答の該当箇所を一緒に持っていきます。「三角関数が苦手です」だけでなく、「置き換えた二次式から因数を作る行で止まり、掛け戻すと真ん中の項が合いません」と伝えると、確認したい操作が共有できます。お子さまが説明しにくいときは、保護者も止まった行を指し、どこまで自分で再現できたかを一緒に確かめられます。

個別指導で見るときも、最初の答案と、取り出した方程式を解いた紙、元の問題に戻した答案を並べます。前提の計算を単独で扱えたか、その計算を元の条件の下で使えたかを分けて見ます。新しい誤りが現れたら、そこで必要な操作をさらに確かめます。

問題の単元名は、答案を探すための入口です。次に練習する内容は、止まった行とその根拠から選びます。方程式を直した後に角まで戻って初めて、前提技能と元の問題がつながります。