共通テスト数学の類題で同じ解法が通らない—数字を変えると場合分けが変わる理由｜武蔵野個別指導塾

絶対値の方程式で右辺の符号を比べ、解の個数が変わる境目から類題の分岐を読み直します。

似た式に同じ操作を使う前に、その操作が成立する条件を数字と照らします。たとえば絶対値がある式では、右辺が正か、0か、負かによって解の個数が変わります。境目を含めた条件を先に書けば、前の問題の答えをそのまま移す失敗を見つけられます。

数字を変えた朝に何が変わったか

よくあるのは、高2の冬休み、昨日と数字だけ違うと思った問題で別の枝が必要になった朝という場面です。前日に覚えた形へ数字を入れると、答案には2つの候補が並びます。しかし、答え合わせでは片方どころか両方が消えています。計算を何度やり直しても途中の符号は合っているように見え、どこへ戻ればよいか迷います。

たとえば、実数 x について |x − 2| = 3 を考えます。絶対値は数直線上で x と 2 の距離なので、距離が 3 となる点は 2 の右と左にあります。x − 2 = 3 または x − 2 = -3 から、x = 5 または x = -1 です。どちらも元の式に入れると左辺は 3 になります。

次に右辺を -3 に変えた |x − 2| = -3 を見ます。左辺の絶対値は負にならないため、この式を満たす実数はありません。右辺が正だったときの「2方向に進む」という手順を条件なしに使うと、x = -1 と x = 5 が再び出ます。しかし代入すると左辺は 3 で、右辺の -3 とは一致しません。式を処理したように見えても、距離が負になるという条件を見落としています。

図1のように、式の形が似ていても右辺の符号が違えば、先に進める枝が違います。左右に分ける計算自体を禁じるのではなく、左右の距離として扱える条件を確認します。

0も見落とせない境目です。|x − 2| = 0 なら距離が 0 なので x = 2 です。正のときに得られた左右の候補は、0では同じ点に重なります。2本の式を書けることと、異なる解が2個あることは別です。正、0、負の3つを分けると、解が2個、1個、0個となる理由が見えます。

自分の答案で境目を探す

前の問題との違いを探すときは、数字の違う場所だけでなく、その数字がどの条件に入っているかを見ます。右辺の 3 を -3 に変えた場合は、絶対値と等しくなる数の符号が変わります。一方、|x − 2| の 2 を別の数に変える場合は、距離の中心が移動します。右辺が正のままなら、左右に解を探す理由は残ります。どちらも数字の変更ですが、影響する条件が同じとは限りません。

答案に「絶対値を外す」とだけ書いてあったら、その直前に「右辺は正」と書けるか確かめます。書けなければ右辺を調べ直します。右辺が文字式であれば、文字がどの範囲にあるかによって符号が決まるため、最初から正として扱えません。与えられた範囲が符号を決めるかどうかも必要です。

「候補を2つ出したが元の式への代入を忘れた」という誤りと、「候補を出す前提が成立していない」という誤りも分けて考えます。前者なら各候補の代入が不足しています。後者なら候補を作る操作の条件まで戻る必要があります。結果だけを直すと、次の数字でも同じ前提を見落としかねません。

符号の判断が途中で止まったら、無理に正負を決めず、不等式として残します。たとえば右辺が文字を含むなら、正となる条件、0となる条件、負となる条件をそれぞれ解いてから枝を作ります。条件が重ならず、扱う範囲を漏れなく覆っているかを数直線で見てください。境目を両側に入れたり、どちらにも入れなかったりすると、解の個数が変わる点を失います。

変わった数から分岐を作り直す

たとえば、実数 x と実数 a に対して |x − 2| = a − 1 を解きます。ここでは a を固定したときの x の解を求めます。a を動く値として見ると、右辺 a − 1 が正かどうかによって、先ほどの3つの状況が現れます。

まず a − 1 > 0 を解くと a > 1 です。このとき x − 2 = a − 1 または x − 2 = -(a − 1) なので、x = a + 1 または x = 3 − a です。2つが同じになる条件は a + 1 = 3 − a、すなわち a = 1 ですが、いまの枝 a > 1 には入りません。したがってこの枝では異なる解が2個です。

次に a − 1 = 0 なら a = 1 です。元の式は |x − 2| = 0 となり、x = 2 です。前の枝の2つの式に a = 1 を入れてもどちらも 2 になりますが、個数は1個です。境目を前の枝へ曖昧に混ぜず、別に確かめると重なりを見失いません。

最後に a − 1 < 0 なら a < 1 です。左辺は0以上、右辺は負なので解はありません。ここで x の候補を計算する必要はありません。条件の時点で等式が成り立たないからです。解なしは計算を途中で放棄した印ではなく、左右の値の範囲を比較した結論です。

図2のように、右辺の符号を判定し、その条件の下で候補と個数を確かめます。図の順番は、式を見た瞬間に答えの形を選ぶのではなく、どの操作を許すかを先に決めるための順番です。

実際に数字を戻して検算します。a = 4 なら右辺は 3 で、x = 5、-1 の2個です。a = 1 なら右辺は 0 で、x = 2 の1個です。a = 0 なら右辺は -1 で、解はありません。それぞれの値を、先ほど作った a の条件へ入れても同じ枝に入ります。元の式への代入と条件表への代入は、異なる場所の誤りを確かめる作業です。

途中で不等号の向きを間違えたときは、右辺の式から戻ります。a − 1 > 0 に a = 4 を入れると成立し、a = 0 を入れると成立しません。代表値で向きの誤りを発見できます。ただし代表値が合うだけで、境目の扱いまで確定したことにはなりません。a = 1 を別に入れ、等号を含むかどうかを元の条件と照らします。

また、x の範囲が別に指定されている問題では、上の個数をそのまま使えません。たとえば x が正に限られたら、求めた候補のうち正のものを残します。絶対値の式として候補を出す段階と、追加条件で候補を選ぶ段階を分けると、どちらで解が消えたか追えます。追加条件がないのに勝手に範囲を狭めることも避けます。

同じ見た目の式でも、未知数にどんな範囲が与えられているかで結論は変わります。先ほどの |x − 2| = 3 に x >= 0 という条件が付けば、5 は残り、-1 は除かれます。条件が x > 5 なら、5 も境目を含まないため残りません。いずれも絶対値の式だけで得た候補を、追加条件に照らした結果です。計算の途中で条件を忘れて両方を答えにする失敗と、条件を厳しく読みすぎて境目を落とす失敗を区別します。

答案を見直すときは、最初の行に実数の範囲を書き、次に変更した数字へ印を付けます。次の行には、その数字が入る不等式を書きます。たとえば a − 1 > 0 という判定は、右辺が正になる場合を表しています。a > 1 という答えだけを取り出すと、その不等式が何を意味したのか後でわからなくなることがあります。条件の横に「右辺が正」と添えると、別の問題に移ったときも、判断の根拠を読み取れます。

負の枝で「解なし」と書いた後にも確かめる場所があります。左辺全体が絶対値なのか、絶対値の外側に数が足されているのかを見ます。たとえば |x − 2| − 4 = -3 なら、左辺全体は負になりえます。4 を右辺に移して |x − 2| = 1 としてから符号を判断します。絶対値の記号の中だけではなく、等式の両辺全体を整えたうえで、どの部分が0以上なのかを確かめます。形が違うのに同じ判定を当てると、存在する解を消してしまいます。

計算の途中で疲れてしまったときは、答えを先に埋めず、未確認の枝に印を残します。正の枝で式を解いたところまで進んでも、0と負の枝は別の判断が必要です。途中で止めた答案を再開するときは、印の付いた枝について、右辺の条件、候補、元の式への確認の順に戻ります。時間内に全部を仕上げられなかった場合も、判定済みの範囲と未確認の範囲を混ぜないことが重要です。

条件を表にまとめるとき、各行は「右辺の符号」「文字の条件」「候補」「個数」の順に対応させます。表の左側に正、0、負を並べ、右側に各条件を書きます。どの行にも入らない値があれば不等号を再確認し、2行に入る値があれば等号の位置を調べます。特に境目は、すぐ隣の値では代わりになりません。境目そのものを代入することで、2つの候補が重なることまで確かめられます。

さらに、条件の違いを口で説明できるか試します。「数が違うから答えが違う」では、次の類題でどこを見ればよいか残りません。「右辺が負になり、0以上の左辺と一致しないから解がない」と言えば、判断に使った性質が明確です。逆に正の枝で2個となる理由を尋ねられたら、2つの候補が異なる条件も述べます。式を出す作業と、異なる解の数を数える作業を結びつけて説明する練習です。

別の形では境目も探し直す

数字を変えた結果、右辺がいつも正とは限らないことがわかりました。では、数字だけでなく、右辺に文字が2回現れる式ではどうでしょうか。符号を調べる式そのものが変わるので、前の境目を引き継がずに解きます。図3は、判断を始める前に式の条件へ戻る流れを表しています。

次の確かめ問題に取り組んでください。本文で扱った数字とは別に、実数 y と実数 t について |y + 6| = 2t − 8 を考えます。t の値によって実数 y の解が何個になるかを求め、解がある場合は y も表してください。最後に t = 5、t = 4、t = 3 をそれぞれ入れて、個数と元の式が合うか調べます。

解答は次のとおりです。2t − 8 > 0 は t > 4 なので、この範囲では y + 6 = 2t − 8 または y + 6 = -(2t − 8) です。よって y = 2t − 14 または y = 2 − 2t で、異なる解は2個あります。2つが等しくなるのは t = 4 のときで、t > 4 には含まれません。

2t − 8 = 0 は t = 4 です。このとき |y + 6| = 0 なので y = -6 の1個です。2t − 8 < 0 は t < 4 で、絶対値が負にならないため解はありません。t = 5 では右辺が 2 となり、y = -4、-8 の2個です。t = 4 では -6 の1個、t = 3 では右辺が負なので0個です。

もし t = 5 で2個出なければ、左右の式を作る際の負号に戻ります。t = 4 で2個と数えたなら、2つの式が同じ値を表していないかを確かめます。t = 3 で候補を出したなら、候補の代入とともに右辺の符号から見直します。計算が合わなかった場合も、どの条件の下でその行を書いたかを残しておくと、やり直す範囲を絞れます。

別の確認として、候補の式を出したら、元の等式の左右をそれぞれ計算します。左右が一致しなければ、展開の符号か、候補を作った枝の条件を確認します。一致しても、指定された変数の範囲を満たすかは別に調べます。候補の検算が正しく終わっても、他の解を取りこぼしていないことまで自動的に示すわけではありません。正、0、負の枝を網羅し、それぞれで必要な候補を出したかを振り返ります。

数直線を使うときは、中心からの距離と右辺の符号を対応させます。右辺が正なら中心の両側、0なら中心、負なら該当する点はありません。図を描かずに解く場合も、同じ関係を短い言葉で残せば、数式の負号が何を表すのか追いやすくなります。新しい問題で中心が変わっても、中心と距離の役割を取り違えないことが出発点です。

教科書と答案を並べて聞く

一人で判断が止まったら、教科書の絶対値の定義と、自分が枝を分けた行を並べます。「右辺が負のときも左右の式を作ってよいと思った」と、操作とその理由を一緒に示してください。答えだけを見せるより、どの前提を使ったかが伝わります。絶対値が0以上である理由が曖昧なら、数直線で距離として説明できるかも確認します。

保護者がお子さまの答案を見る場合も、正解の個数だけで評価せず、境目を含む条件が書かれているか尋ねると、考えた場所が見えます。すぐに符号を教える代わりに、右辺が0になる値を自分で入れて確かめてもらう方法があります。条件と候補の対応が残っていれば、後から別の数字でも確かめ直せます。

個別指導では、数字を変える前と後の自作の式、条件を書いた行、候補を代入した行を並べて見ます。説明が途中で止まれば、その行に必要な前提を教科書の定義へ戻して確かめます。別の枝を自分で選べるかは、境目とその両側の値で確認します。

類題では、似た形の奥にある不等式を比べることで、使える操作と解の個数を決められます。境目を含むか、候補が重なるか、元の条件に戻せるかを順にたどれば、数字の変更を意味のある違いとして読めます。