共通テスト数学の軌跡・領域—数学IIの図形と方程式で、式と図のどちらを動かすか｜武蔵野個別指導塾

軌跡は条件を式にして媒介変数を消し、図の端点まで戻して確かめます。領域は境界線と代表点で内外を判定します。数学IIの図形と方程式を、マーク式の順番に組み直します。

軌跡の問題は、動く点を文字で置いて条件を式にし、その式から媒介変数を消してxとyだけの関係を残します。残った式が円や直線を表すので、最後に動く範囲を見ながら図へ戻します。領域の問題は向きが逆で、不等式の境界線を先に引き、境界を含むかを等号の有無で確かめ、代表点を一つ代入して内側か外側かを決めます。式を動かす場面と図を動かす場面を分けておくと、マーク式の選択肢の前で止まりにくくなります。

よくあるのは、夏の演習で軌跡の問題を開き、動く点を文字で置いて条件を式にするところまでは進むのに、そこから先で手が止まる場面です。式は合っている気がするのに、選択肢の図がどれも同じに見えて、消去法にも入れない。式を立てたところで手が止まるのは、図を描く練習が足りないからではなく、式と図のどちらを先に動かすかを決めていないからです。ノートの余白には式だけが残り、図が一枚も描かれていない、という夜です。

令和9年度の出題方法等で、数学IIのどこまでが問われるか

令和9年度の出題方法等では、数学②の出題科目名が『数学II，数学B，数学C』とされています。数学Bと数学Cについては、数列、統計的な推測、ベクトル、平面上の曲線と複素数平面の4項目に対応した出題で、このうち3項目を選んで解答する形です。つまり数学②は、数学IIの内容と、数学B・数学Cから選ぶ3項目を合わせた一つの科目です。

範囲の決め方も同じ文書に書かれています。特記がない限り、科目名に含まれる学習指導要領の各科目の内容をまとめたものを出題範囲とする、という決め方です。数学IIの図形と方程式はこの決め方で範囲に入り、その中の点の軌跡と不等式の表す領域が、ここで扱う単元になります。数学IIIは出題科目に無いので、数学②の中に数学IIIの内容は入りません。

令和8年度の本試験を見ると、数学②は第1問・第2問・第3問が必答で、この3問だけで52点（15点・15点・22点）ありました。第4問から第7問は選択で、各16点の3問を選ぶ形です。選択の4問は数列、統計的な推測、ベクトル、複素数平面だったので、数学IIの内容は必答の3問の側で問われる組み方でした。令和9年度もこの形と同じとは限らないため、自分の受ける年度の正解と問題冊子で確かめ直します。

問題作成方針の数学の項では、目的に応じて数、式、図、表、グラフなどの表現を使って処理することや、解決の過程を振り返って結果を意味づけることが求められています。式を立てて終わりではなく、式の意味を図に置き直すところまでが問題の中心になる、と読めます。マーク式なので、答案に長い説明を書くのではなく、式の変形の結果と選んだ図が解答欄に残ります。

令和9年度の出題方法等は公表済みで、いまの高2が受ける令和10年度の文書は2026年6月2日に公表されています。どちらの文書から読めるのは、科目名と項目の組み方までです。問題の難しさや出題の傾向は文書から決められないので、過去問の正解と自分の答案で確かめます。

図1のように、数学②は数学IIの側と、数学B・数学Cの4項目から3つを選ぶ側に分かれます。軌跡と領域は数学IIの側の図形と方程式にあり、平面上の曲線は数学Cの側の選択問題に入ります。同じ「曲線」でも、置かれている場所が違うのです。

自分の出願と答案のどこで、この単元が関わってくるか

いまの高3が受ける令和9年度の出願は、2026年9月15日から10月2日までで、すでに終わっています。数学②を受けるには、出願で数学を受験する教科として登録しておく必要があります。数学を登録していれば、当日に数学①と数学②の両方を受けることも、片方だけを受けることもできます。数学①だけを受けた場合、数学②は0点ではなく受験しなかった扱いになります。まず、出願のときに残した控えで、数学を登録したかを確かめます。

令和9年度は、出願内容の確認と訂正の期間が10月9日から16日まで設けられ、こちらも終わっています。令和9年度の受験票は12月4日10時からマイページで取得して印刷します。受験票が取れたら、書かれている内容を出願の控えと見比べます。

大学が課す科目は、志望校の募集要項の「試験科目」の欄で読みます。国公立大学は6教科8科目が原則ですが、どの科目を課すかは大学ごとに違います。私立大学では数学①だけを指定する場合も、数学②まで指定する場合もあります。数学②を課す指定があるのに数学の登録が無ければ、その大学のその方式では受験できないので、出願の前後に科目の欄を二度読みます。

募集要項には、共通テストの科目ごとの配点や、他の選抜方法との比率も書かれています。大学ごとに違うので、自分の志望校の欄だけを読み、他の大学の数字を当てはめません。数学②を課す欄があっても、配点が同じとは限らないからです。

答案のどこを見るかは、マーク式であることから決まります。軌跡の問題なら、媒介変数を消す前後の式、動く範囲を確かめた跡、最後に選んだ図の番号が手がかりです。令和8年度の本試験の数学②では、大問ごとに配点が決まっていました。式の変形が合っていても、最後の図の選択を間違えれば、その解答番号の点は落とします。自己採点では、部分点を想像するより、解答番号ごとに正解と照らすほうが正確です。

令和9年度の受験案内では、正解と配点は、各日の全試験が終わった後に、その日に行われた科目分が公表されます。1日目の夜に1日目の分を、2日目の夜に2日目の分を見て、解答番号ごとに照らします。試験が終わる前に答え合わせを始めないのは、次の日の科目に気持ちを持ち越さないためでもあります。

数学の登録が無いことに気づいた場合、いまからできることは限られます。まず高校の先生に相談し、出願の控えと受験案内の記載を持って行きます。自分で出願サイトを開き直すのではなく、記録をそろえてから相談します。

教科書と学習指導要領の側でも確かめられます。図形と方程式の章では、点の軌跡は条件を満たす点の集まりとして図形を求め、領域は不等式の表す範囲を図に表す、という順番で説明されています。章末の問題で、式から図へ行く問題と、図から式へ行く問題を一問ずつ選び、自分がどちらで止まるかを見ておくと、弱点がはっきりします。

過去問を時間を計って解いたら、軌跡や領域の設問では、式の変形と図の選択を別々に復習します。式の変形で止まったのか、図の選択で落としたのかで、次にやることが変わります。両方を一度に直そうとすると、直したつもりの場所がぼやけます。

いまの高2が受ける令和10年度も、出題方法等は同じ枠組みで公表されています。いまの高1が受ける令和11年度は、2026年11月の時点で出題方法等がまだ公表されていません。学年が下の人は、令和9年度の文書で枠組みだけを先に読み、自分の年度の文書が出たら、科目名と項目を照らし直します。

式を動かす日と図を動かす日を分けた、一問の進め方

手順を二つに分けます。式を動かす日は、媒介変数を消してxとyの式を作るところまでを繰り返します。図を動かす日は、出来上がった式から円や直線を描き、動く範囲と端点を図で確かめます。一日で両方を詰め込むと、式の変形が合っているかどうかが図で見えなくなるので、分けたほうが早く進みます。

たとえば、原点を中心とする半径4の円の上を点Pが一周するとき、点A(8,0)とPを結ぶ線分の中点Mの軌跡を考えます。Pの座標を角θで表すと、Mの座標はx = 2cosθ + 4、y = 2sinθになります。ここからcosθとsinθを消すと、(x − 4)² + y² = 4になり、中心が(4,0)、半径2の円です。θが一周するなら、Mもその円を一周します。Pが(4,0)のときMは(6,0)を、Pが(0,4)のときMは(4,2)を通るので、円の位置を図で確かめる目印になります。

動く範囲は、媒介変数が動く幅で決まります。θが0からπまでなら、Mは円の上半分だけを通り、下半分は描かれません。式だけを見ると円全体に見えるので、選択肢の図では端点と欠けた部分を探します。この確認を落とすと、式は合っているのに図を選び違える、という失点になります。

領域では順番を逆にします。たとえば、不等式 y > 2x − 3 の表す領域を考えるとき、まず境界線 y = 2x − 3 を引きます。不等号に等号が無いので、境界線は含みません。次に原点(0,0)を代入すると、0 > -3 が成り立つので、原点を含む側が答えの領域です。境界線の線種と、代表点の代入を一組にしておくと、内外の判定を迷いません。

連立不等式なら、境界線を二本引いて、それぞれの代表点で内外を決め、重なる部分を残します。境界線が交わる点の座標は、二本の式を連立して求めます。図だけで重なりを決めると、交点の位置がずれたときに領域全体がずれるので、交点だけは式で計算します。

時間の配分も、式と図で区切ります。令和9年度の数学②は70分です。たとえば、必答の3問に30分、選択の3問に30分、残りの10分を図の見直しに置くと、最後に端点を確かめる時間が残ります。見直しでは、計算を最初からやり直すのではなく、選んだ図の周りだけを、条件の言葉と照らして読み直します。

ノートは左右に分けて使います。左のページに式の変形を上から順に書き、右のページに同じ高さで図を描きます。式の一行と図の一枚が横に並ぶと、媒介変数を消した場所で図がどう変わったかを、後から追えるようになります。

見直しでは、まずマークのずれを疑います。解答番号と解答欄の番号が一つずれていないか、大問の最後でマークの位置が飛んでいないかを、指で追います。次に、図の選択問題で、中心と半径、境界線の傾きと切片を式と照合します。計算のやり直しは最後に回します。

選択する3問は、解き始める前に決めておきます。数列、統計的な推測、ベクトル、複素数平面のうち、授業で最後まで進んだ項目と、過去問で図を描いて確かめた項目を優先します。試験場で初めて選ぶと、第4問から順に開いて時間を失います。

試験場では、大問の並びを最初に確認します。数学②は必答と選択で大問の役割が違うので、必答から解くか選択から解くかの順番も、解き始める前に決めておきます。ただし、それは令和8年度の本試験の形であり、令和9年度の冊子の並びは当日に見ます。

図2のように、軌跡は式から図へ、領域は図から式へ進みます。どちらの道も、最後は図の上で確かめる箱で終わります。軌跡は図に戻す箱、領域は内外を決める箱です。問題文を読んだら、まず条件が等式か不等式かを見て、どちらの道に入るかを決めます。

軌跡と領域で、つまずきやすい四つの思い込み

一つ目は、媒介変数を消せば答えが出る、という思い込みです。消した式が合っていても、動く範囲が限られていれば図は一部分になります。θの範囲、分母が0にならないか、除かれる点があるかを見てから、図の選択肢に移ります。

二つ目は、図を描けば境界の扱いもわかる、という思い込みです。境界を含むかどうかは、不等号に等号があるかで決まります。図の線を実線で描いたか点線で描いたかは、その結果を写したものにすぎません。代表点を一つ代入して、内側か外側かを式で決めてから線を引きます。

三つ目は、数学Cの平面上の曲線と同じ単元だ、という思い込みです。令和8年度の本試験では、数学IIの内容は必答の第1問から第3問の側にありました。放物線や楕円や双曲線を扱う数学Cの平面上の曲線は、4項目から3つを選ぶ選択側にあります。名前は似ていますが、科目も選び方も別なので、過去問では大問の位置から確かめます。

四つ目は、軌跡と領域は公式を覚える単元だ、という思い込みです。使う式は円の方程式と直線の式が中心で、覚えることは多くありません。むしろ、条件を式にする、媒介変数を消す、範囲を確かめる、図に戻す、という四つの作業の順番のほうが問われます。

図3のように、条件が等式なら式を整理して図に戻る道、不等式なら境界線と代表点で内外を決める道を選びます。迷ったときは、問題文の条件が「点の集まり」を述べているか、「範囲」を述べているかに戻ります。

確かめる先と聞き方

式の変形と図の選び方を一人で決めずに済むように、次の場所と人で確かめます。

1. 出願の控え: 数学を登録したか。登録した教科の名前をそのまま読みます。
2. 令和9年度の出題方法等: 数学②の科目名と、数学B・数学Cの4項目から3つという選び方。
3. 令和9年度の受験案内: 数学②の70分という時間と、2日目の時程。
4. 12月上旬に掲載される令和9年度の受験上の注意: 入室終了の時刻など当日の決まり。令和8年度の版で先に形を見ておきます。
5. 志望校の募集要項: 「試験科目」の欄で、数学②を課すかどうかを読みます。国公立の6教科8科目は原則です。
6. 高校の数学の先生: 媒介変数を消したあと、動く範囲をどこで確かめるか。
7. 大学入試センターの問い合わせ窓口: 出題範囲の科目名について、出題方法等のどの記述を見るか。

読み終えたら、自分の答案のどの設問がどの確認先に対応するかを、一行ずつ横に書いておきます。次に同じ単元で止まったとき、同じ場所へ戻れます。

個別指導で確かめること

塾では、軌跡の答案の式変形と、その横に描いた図を並べて見ます。媒介変数を消した式、動く範囲の確認、選択肢の図と合わなかった点を一行ずつ拾い、次の一問で同じ手順をなぞれるかを見ます。領域は、境界線の線種と代表点の代入が答案に残っているかを確かめます。時間を計った記録があれば、式に使った時間と図に使った時間も一緒に見ます。

まとめ

軌跡も領域も、式と図の片方だけで閉じる問題ではありません。式を動かしたら図に戻し、図を描いたら式で境界を確かめる。その往復を一問のうちに済ませておけば、試験場で選択肢の前で止まる時間は短くなります。