確率の公式一覧—和の法則・積の法則・余事象・条件付き確率｜武蔵野個別指導塾

さいころ2個の和が7になる確率は、なぜ1/11でなく1/6なのか。余事象や条件付き確率、期待値まで9本の式を表で受け取り、4つの例題で手を動かせます。

P(A) は A の起こる確率、n はすべての場合の数、a は A の起こる場合の数です。Ā は「A でない」、A ∪ B は「A または B」、A ∩ B は「A かつ B」を表します。反復試行の p は1回あたりの確率です。Pₐ(B) は A が起こったと知っているときの B の確率で、教科書では P の右下に小さな A を添えて書きます。期待値の x₁ などは取りうる値、p₁ などはその値になる確率です。

よくあるのは、年末の居間ですごろくをしていて、ゴールまで残り7マスという場面です。さいころは2個。「和は2から12までの11通りだから、7が出る確率は 1/11」と兄が言い、妹は「7はもっと出る気がする」と言い返します。こたつの上でスマホを開いて確率の公式を検索するのは、たいていこの瞬間です。兄の分数がどこで崩れるのかは、表の1行目の「同様に確からしい」に書いてあります。

公式の一覧

公式そのものは上の表で全部です。ここでは式の中の言葉を整えます。確率の問題で手が止まるとき、止まっているのは計算より言葉のほうだからです。次の表は、さいころ1個を投げる場面で言葉を並べたものです。

和の法則と積の法則は、もともと場合の数の言葉です。確率の教科書では、和の法則にあたる式を「確率の加法定理」、積の法則を条件付きまで広げた式を「確率の乗法定理」と呼びます。検索する言葉が違っても、指している式は上の表のものです。

学年で分けると、多数回の試行から確率を読み取るのが中1、場合の数から求める定義と「起こらない確率」が中2です。和の法則、余事象、独立な試行、反復試行、条件付き確率、期待値は数学Aで扱います。期待値は数学Bの統計的な推測で、確率変数の期待値としてもう1度出てきます。

いちばん見落とされるのが、定義の前提である「同様に確からしい」です。どの結果も同じ程度に起こると期待できる、という意味で、これが成り立たない数え方で分数を作っても確率にはなりません。図1は、大小2個のさいころの目の組を6×6のマスに並べたものです。どのマスも同じ起こりやすさで、全部で36マスあります。

図1のように、和が7になるマスは6個あるのに、和が2になるマスは大の目1、小の目1の1個だけです。和の値は11通りあっても起こりやすさがそろっていないので、分母に11は置けません。兄の 1/11 はここで崩れ、正しい確率は 6/36 = 1/6 です。同じ色のさいころで見分けがつかなくても、さいころが2つの別の物であることは変わらないので、36通りで数えます。妹の勘のほうが当たっていました。

なぜこの形になるのか

どの公式も、定義の分数から出てきます。順に追うと、覚える式の数は見た目より少なくなります。

余事象から始めます。どの結果も A か Ā のどちらか一方に必ず入るので、場合の数は a + (n − a) = n です。両辺を n で割ると P(A) + P(Ā) = 1 となり、これを移項した形が余事象の公式です。「確率を全部足すと1」という事実の言い換えで、新しいことは何も言っていません。

和の法則は、数えすぎの修正です。さいころ1個で A を2の倍数、B を3の倍数とし、目を分けたのが図2です。

図2のように、6は両方の円に入っています。A の3個と B の2個を足した5個は、6を2度数えた数です。そこで重なりの1個を引いて4個とし、全体の6で割ると 3/6 + 2/6 − 1/6 = 2/3 になります。排反のときは重なりが空で P(A ∩ B) = 0 ですから、引く項が消えて足すだけの形に縮みます。足すだけの式は特別な場合で、本体は引く項のあるほうです。

積の法則は、マスの数の掛け算です。さいころと硬貨を1回ずつ投げると結果は 6 × 2 = 12 通りで、「1の目、かつ表」はそのうちの1通りです。1/12 = 1/6 × 1/2 ですから、2つの試行が影響し合わないなら確率は掛ければ足ります。

では影響し合うときはどうするか。10本のうち3本があたりのくじを、先の人、後の人の順に引き、引いたくじは戻さないとします。先の人があたれば後の人は9本中2本、はずれれば9本中3本から引くので、後の人の確率は場合によって変わります。これを1辺が1の正方形の面積で表したのが図3です。色を付けた部分が、後の人があたる場合です。

図3の赤い長方形は「先があたり、かつ後もあたり」で、面積は 3/10 × 2/9 = 1/15 です。A を「先の人があたる」、B を「後の人があたる」とします。横の長さが P(A)、高さが A の中での B の割合 Pₐ(B) で、掛けた面積が P(A ∩ B) です。これが乗法定理で、両辺を P(A) で割ると条件付き確率の式になります。赤と緑を合わせた面積は 1/15 + 7/30 = 3/10 で、後の人があたる確率は先の人と同じ 3/10 です。くじは先に引いても後に引いても公平だということが、面積で見えます。

逆に、後の人があたったと知ったときは、色の付いた部分だけが新しい全体になります。その中で赤が占める割合が 2/9 で、図3の右下の青い枠の式がそれです。「〜とわかっている」とは全体を縮めることで、条件付き確率の分母が変わる理由はそれだけです。Pₐ(B) を P(B | A) と書く本もありますが、中身は同じです。

反復試行の公式は、並びの数と1つの並びの確率の掛け算です。さいころを3回投げて、6がちょうど1回出る場合を図4に並べました。

図4のように、6が何回目に出るかで並びは3通りあります。どの並びも6が1回、6以外が2回なので、確率はどれも 1/6 × 5/6 × 5/6 = 25/216 です。同じ確率のものが3通りあり、互いに排反なので、足して 3 × 25/216 = 75/216 となります。n 回のうちどの r 回で起こるかを選ぶ数が ₙCᵣ、1つの並びの確率が pʳ(1 − p)ⁿ⁻ʳ です。

期待値は、確率を重みにした平均です。さいころを600回投げて各目がちょうど100回ずつ出たとすれば、目の合計は 100 × 21 = 2100 で、1回あたり 2100 ÷ 600 = 3.5 です。この割り算を確率で書き直すと 1 × 1/6 + 2 × 1/6 + … + 6 × 1/6 = 7/2 になり、公式の形が現れます。さいころに3.5の目はありません。それでも、さいころ1個で進むすごろくなら、35マス先のゴールまでおよそ10回という見積もりはこの数で立ちます。

例題で使い方を確かめる

例題1　和の法則

大小2個のさいころを投げます。目の和が8になる、または2個とも同じ目（ゾロ目）が出る確率を求めてください。

1. 全体を数えます。大小を区別して36通りです。区別した組でないと、同様に確からしいと言えないからです。
2. 和が8の組を A とします。（大の目, 小の目）で書くと (2, 6) (3, 5) (4, 4) (5, 3) (6, 2) の5通りで、P(A) = 5/36 です。数が少ないので、書き出すのがいちばん確実です。
3. ゾロ目を B とします。(1, 1) から (6, 6) までの6通りで、P(B) = 6/36 です。分母をそろえておくと、次の手順で比べやすくなります。
4. 重なりを探します。(4, 4) が両方に入るので P(A ∩ B) = 1/36 です。重なりの有無で使う式が変わるので、「または」を見たら足す前にここを見ます。
5. 式に入れます。5/36 + 6/36 − 1/36 = 10/36 です。約分は最後に行います。途中で約分すると分母がばらばらになるからです。

答え: 5/18

例題2　余事象と積の法則

さいころを3回投げて、6の目が少なくとも1回出る確率を求めてください。

1. 「少なくとも」を見たら裏返します。1回、2回、3回の3つの場合を計算するより、「1回も出ない」の1つを計算するほうが短いからです。
2. 1回も出ない確率を求めます。各回の確率は 5/6 で、3回の結果は影響し合わないので掛けられます。(5/6)³ = 125/216 です。
3. 1から引きます。起こることと起こらないことの確率を合わせると1になるからです。1 − 125/216 = 91/216 です。

答え: 91/216

裏返さずに足しても、1回が 75/216、2回が 15/216、3回が 1/216 で合計は 91/216 となり、一致します。別の道で同じ分数が出れば、その答えは信じてかまいません。

例題3　乗法定理と条件付き確率

すごろくの山札8枚のうち3枚に「進む」と書いてあります。先の人、後の人の順に1枚ずつ引き、引いた札は戻しません。(1) 2人とも「進む」を引く確率、(2) 後の人が「進む」を引いたとわかっているとき、先の人も「進む」を引いていた確率を求めてください。

1. 先の人が「進む」を引く確率は 3/8 です。最初の1枚は8枚すべてが同じ起こりやすさなので、定義どおりの分数で書けます。
2. 先の人が「進む」を引いた後は、残り7枚のうち「進む」が2枚で、確率は 2/7 です。札を戻さないので、分母も分子も1ずつ減ります。
3. 乗法定理で掛けます。3/8 × 2/7 = 6/56 = 3/28 です。2枚目の確率は1枚目の結果で変わるので、3/8 をもう1度掛けるのではなく、2/7 という条件付きの値を掛けます。これが(1)の答えです。
4. (2)は A を「後の人が『進む』を引く」、B を「先の人が『進む』を引く」とし、まず P(A) を求めます。先の人の結果で場合を分けると、先が「進む」なら 6/56、先が「進む」以外なら 5/8 × 3/7 = 15/56 です。この2つは同時に起こらないので足して 21/56 です。
5. 条件付き確率の式に入れます。Pₐ(B) = (6/56) ÷ (21/56) = 6/21 = 2/7 です。A とわかった時点で全体が 21/56 に縮むので、この値で割ります。

答え: (1) 3/28、(2) 2/7

(2)は時間を逆にたどる問いです。後で起きたことを知って先のことを考える場面でも、式の形は変わりません。

例題4　反復試行と期待値

さいころを3回投げて、6の目が出た回数の期待値を求めてください。

1. 回数の取りうる値を並べます。0回、1回、2回、3回です。期待値は、値と確率の組がすべてそろわないと計算できないからです。
2. 各回数の確率を反復試行の公式で求めます。n = 3、p = 1/6 として、0回は ₃C₀ × (5/6)³ = 125/216、1回は ₃C₁ × (1/6) × (5/6)² = 75/216、2回は ₃C₂ × (1/6)² × (5/6) = 15/216、3回は ₃C₃ × (1/6)³ = 1/216 です。何回目に出るかの並びを、₃C₁ などが数えてくれます。
3. 確率の合計を確かめます。125 + 75 + 15 + 1 = 216 で、合計は1です。1にならなければ、どこかの行に誤りがあるとわかるからです。
4. 回数と確率を掛けて足します。(0 × 125 + 1 × 75 + 2 × 15 + 3 × 1) / 216 = 108/216 = 1/2 です。期待値は確率を重みにした平均だからです。

答え: 1/2 回

1/2 回は、実際には起こらない回数です。3回投げることを何度もくり返すと、1セットあたりの回数の平均が 0.5 に近づいていく、という意味です。1回投げるごとに 1/6 回ずつ増えると見れば、3回分で 3 × 1/6 = 1/2 となり、同じ値です。

まちがえやすいところ

どれも式そのものは書けているのに、式を使える条件を読み飛ばした誤りです。

重なりを引き忘れる

• 誤った書き方: 1から30までのカードから1枚引くとき、2の倍数または5の倍数である確率を 15/30 + 6/30 = 7/10 とする。
• どこが違うか: 10、20、30 は2の倍数でも5の倍数でもあり、図2の6と同じように2度数えられています。
• 正しい書き方: 10の倍数の3個を引いて 15/30 + 6/30 − 3/30 = 18/30 = 3/5 です。

「少なくとも1回」を足し算で済ませる

• 誤った書き方: さいころを6回投げれば 1/6 × 6 = 1 だから、6の目は必ず出る。
• どこが違うか: 1回目にも2回目にも6が出ることがあるので、各回の「6が出る」は排反ではありません。排反でないものに、足すだけの式は使えません。7回投げれば 7/6 と1を超えてしまうことからも、この式が壊れているとわかります。
• 正しい書き方: 1 − (5/6)⁶ = 31031/46656 で、およそ 0.67 です。6回投げても、およそ3分の1の確率で6は1度も出ません。

「排反」と「独立」を同じものと思う

• 誤った書き方: さいころ1個を1回投げて、1の目と2の目が同時に出る確率を 1/6 × 1/6 = 1/36 とする。
• どこが違うか: 1回の試行で1の目と2の目は同時に起こりません。これが排反で、同時に起こる確率は0です。掛けてよいのは、2つの試行が影響し合わない独立な試行のときです。
• 正しい書き方: 1回投げて1の目または2の目が出る確率は、排反なので 1/6 + 1/6 = 1/3 です。2回投げて1回目が1、2回目が2となる確率は、独立な試行なので 1/6 × 1/6 = 1/36 です。

覚え方と忘れたときの戻り方

語呂より効くのは、言葉と計算の組です。「または」は足す向き、「かつ」は掛ける向き、「少なくとも」は裏返す。この3つの組を入口にして、あとは小さな場面で式を試します。式の形を忘れたら、次の手順で戻れます。

1. さいころ1個か2個の場面を作り、マスか目の一覧を書きます。
2. 求めたい確率を、式を使わずに数えて分数にします。
3. 思い出した式に同じ数を入れ、同じ分数になるかを見ます。

たとえば和の法則で引くかどうか迷ったら、図2の場面で4個を数えます。引かないと 5/6 になって合わないので、引く式が正しいとわかります。条件付き確率の分母に迷ったら、「偶数の目だとわかっているとき、6の目である確率」を数えます。2、4、6の3つのうちの1つで 1/3 ですから、(1/6) ÷ (3/6) = 1/3 となる割り方が正しい形です。反復試行で ₙCᵣ を掛けるかどうかは、硬貨を2回投げて表がちょうど1回出る確率で試せます。表裏と裏表の2通りで 1/2 となり、₂C₁ × 1/2 × 1/2 が合います。

練習問題

例題とは数を変えてあります。手を動かしてから答えを見てください。

練習1　1から20までの番号のカードから1枚引きます。(1) 3の倍数または5の倍数である確率、(2) 3の倍数でも5の倍数でもない確率を求めてください。

練習2　硬貨を4回投げます。(1) 表がちょうど2回出る確率、(2) 表が少なくとも1回出る確率、(3) 表が出る回数の期待値を求めてください。

練習3　赤玉4個と白玉3個が入った袋から、戻さずに1個ずつ2個取り出します。(1) 2個とも赤玉である確率、(2) 2個目が赤玉だったとわかっているとき、1個目も赤玉である確率を求めてください。

答えと解説

練習1　3の倍数は6個、5の倍数は4個で、15 が両方に入ります。(1) は重なりを引いて 6/20 + 4/20 − 1/20 = 9/20 です。(2) は (1) の余事象なので 1 − 9/20 = 11/20 です。

練習2　(1) は反復試行で ₄C₂ × (1/2)² × (1/2)² = 6 × 1/16 = 3/8 です。(2) は「1回も表が出ない」を裏返して 1 − (1/2)⁴ = 15/16 です。(3) は0回から4回の確率が順に 1/16、4/16、6/16、4/16、1/16 なので、(0 × 1 + 1 × 4 + 2 × 6 + 3 × 4 + 4 × 1) / 16 = 32/16 = 2 で、期待値は2回です。

練習3　(1) は乗法定理で 4/7 × 3/6 = 2/7 です。(2) は A を「2個目が赤」、B を「1個目が赤」とします。P(A) は1個目が赤の場合と白の場合を足して 4/7 × 3/6 + 3/7 × 4/6 = 12/42 + 12/42 = 24/42 です。P(A ∩ B) = 12/42 ですから、Pₐ(B) = (12/42) ÷ (24/42) = 1/2 です。「1個目が赤のとき2個目も赤」の確率 3/6 と同じ値です。

次に確かめる公式

• 順列と組合せの公式: 分母と分子の場合の数を、書き出さずに数えるときに使います。
• 二項定理: 反復試行の確率を全部足すと1になることが、(p + q)ⁿ の展開で確かめられます。
• 二項分布の平均の公式: 例題4の回数の期待値を np の1行で求めたいときの近道です。

個別指導で確率の式が立たないときは、数学Aの公式を足す前に、中2のマス目と樹形図まで戻って同じ問題を数え直せるかを確かめます。数えて出した分数が手元にあれば、どの式が正しいかを自分で判定できるからです。

まとめ

公式は9行ありますが、中身はどれも定義の分数を速く数えるための工夫です。兄の 1/11 を崩したのも、式ではなく36個のマスでした。試験の途中で式があやふやになっても、小さな場面で数え直せば、どの式が正しいかは手元で決まります。36個のマスが書けるかぎり、確率の公式は1本も失われません。