数列の公式一覧—等差・等比・シグマ・階差・漸化式｜武蔵野個別指導塾

2, 3, 6, 11, 18 と並ぶ数列に等差の式は効きません。差と比で公式を選ぶ手順、Σ の値、漸化式の型を、数学Bの範囲で自分の手で確かめられます。

数列（数学B）の公式は、次の表と Σ（シグマ）の 4 本でほぼ足ります。a は初項（a₁ と同じ）、d は公差、r は公比、n は項の番号、aₙ は第 n 項、Sₙ は初項から第 n 項までの和、bₙ は隣どうしの差 aₙ₊₁ − aₙ を表します。

Σ(k=1〜n) は、k に 1 から n まで順に入れて足す記号です。教科書では Σ の下に k=1、上に n と書きます。使うのは Σ(k=1〜n) c = cn、Σ(k=1〜n) k = n(n+1) / 2、Σ(k=1〜n) k² = n(n+1)(2n+1) / 6、Σ(k=1〜n) k³ = {n(n+1) / 2}² の 4 本です。

よくあるのは、高2の冬の朝の教室で、暖房がまだ効かない席に座ったまま、返された課題プリントを見直しているという場面です。2, 3, 6, 11, 18 と並んだ数列の一般項を求める問題に、等差数列の公式を当てて×が付いています。公式は正しく覚えていたのに、選ぶ先が違っていました。始業のチャイムまであと 10 分です。検索窓に打った「数列 公式」で本当に知りたいのは、式の形だけでなく、どれを当てればよかったのかでしょう。

公式の一覧

数列の問題で最初にすることは、式を思い出すことではありません。数字の並びを見て、隣どうしの関係を確かめることです。図1のように、どの段も 5 個の数の並びですが、足す数が一定なら等差数列、掛ける数が一定なら等比数列、足す数そのものが 1, 2, 3, 4 と変わっていくなら階差数列の公式を使います。

図1の 3 段目は、足す数の並びがそれ自身で数列になっています。この並びを階差数列と呼び、もとの数列はその和で表せます。3 つの数 a, b, c がこの順に並ぶときの関係も添えておきます。等差数列なら 2b = a + c、等比数列なら b² = ac です。5, 8, 11 なら 2 × 8 = 5 + 11、6, 12, 24 なら 12² = 6 × 24 で確かめられます。

Σ の公式

Σ は足し算と定数倍に分けて計算できます。Σ(aₖ + bₖ) = Σ aₖ + Σ bₖ、Σ c aₖ = c Σ aₖ です。掛け算には分けられないので、Σ aₖbₖ を Σ aₖ × Σ bₖ と書くことはできません。

漸化式の基本の型

漸化式は、前の項から次の項を作る規則を書いた式です。式の形を見れば、行き先が決まります。

上の 3 つは、見えた瞬間に公式へ戻れます。下の 3 つは、式を書き直して、より上の行の型へ戻すものです。

どの公式を選ぶか

1. 漸化式が与えられていれば、上の表で型を探します。和 Sₙ の式が与えられていれば、a₁ = S₁ と aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ を使います。
2. 数字の並びなら、最初の 5 項を書いて隣どうしの差をとります。差が一定なら等差数列です。
3. 差が一定でなければ、比をとります。比が一定なら等比数列です。
4. どちらでもなければ、差の並びをさらに調べます。差の並びが等差か等比になっていれば、階差数列の公式です。
5. 和を求めるときは、足すものの形で決めます。n の多項式なら Σ の公式に分けます。等比数列なら和の公式です。1 / {k(k+1)} のような分数は 1/k − 1/(k+1) に分けて途中を消すと n / (n+1) が残り、k × 2ᵏ⁻¹ のような（等差）×（等比）は全体に公比を掛けてずらして引きます。

なぜこの形になるのか

一般項の n-1 は、足した回数です。第 1 項から第 n 項へ進むまでに公差を足す回数は n-1 回で、n 回ではありません。等比数列も同じで、公比を掛ける回数が n-1 回なので rⁿ⁻¹ になります。

等差数列の和は、同じ和を逆順に並べて足すと見えてきます。図2は a = 2、d = 3 の 5 項、2, 5, 8, 11, 14 の和です。もとの並びの上に逆順の並びを重ねると、どの列も 2 + 14 = 16 の高さにそろい、縦 16、横 5 の長方形ができます。この長方形は和 2 つ分なので 2S = 16 × 5 = 80、よって S = 40 です。

文字で書けば 2Sₙ = n(a + aₙ) で、これが Sₙ = n(a + aₙ) / 2 の正体です。初項と末項を足して項数を掛け、2 で割る形は、台形の面積の式と同じ姿をしています。Σ(k=1〜n) k = n(n+1) / 2 も、初項 1、末項 n の等差数列の和にすぎません。

等比数列の和は、公比を掛けてずらして引きます。図3は a = 3、r = 2 の 5 項、3, 6, 12, 24, 48 の和です。全体を 2 倍すると 1 つ右にずれた並びができ、縦にそろった 6, 12, 24, 48 が引き算で消えます。残るのは両端だけで、2S − S = 96 − 3、つまり S = 93 です。

文字で書くと rSₙ − Sₙ = arⁿ − a なので、(r − 1)Sₙ = a(rⁿ − 1) です。ここで r − 1 で割ります。r = 1 のときは 0 で割ることになるので、この割り算は許されません。和の公式が 2 段に分かれているのはそのためで、r = 1 なら a が n 個並ぶだけなので Sₙ = na です。

Σ(k=1〜n) k² は、(k+1)³ − k³ = 3k² + 3k + 1 を k = 1 から n まで足して作ります。左辺は途中が次々に消えて (n+1)³ − 1 だけが残り、右辺は 3 Σ k² + 3 × n(n+1) / 2 + n です。これを Σ k² について解くと n(n+1)(2n+1) / 6 になります。Σ k³ も (k+1)⁴ − k⁴ から同じように作ることができ、結果は Σ k の 2 乗に落ち着きます。

階差数列の公式は、足し算を書き並べれば出てきます。a₂ = a₁ + b₁、a₃ = a₁ + b₁ + b₂、a₄ = a₁ + b₁ + b₂ + b₃ と進むので、第 n 項には b₁ から bₙ₋₁ までの n-1 個が足されています。和から一般項を出す式も、Sₙ = a₁ + … + aₙ₋₁ + aₙ から Sₙ₋₁ = a₁ + … + aₙ₋₁ を引くだけです。n = 1 のときは S₀ が無いのでこの引き算ができず、a₁ = S₁ を別に書くことになります。

漸化式 aₙ₊₁ = p aₙ + q の α は、aₙ₊₁ と aₙ の両方を α に置いた α = pα + q の解です。もとの式からこの式を辺ごとに引くと aₙ₊₁ − α = p(aₙ − α) となり、aₙ − α が公比 p の等比数列だとわかります。そのままでは読めない並びから、等比数列を掘り出す操作です。

例題で使い方を確かめる

例題1

第 5 項が 17、第 12 項が 45 の等差数列について、一般項と、初項から第 20 項までの和を求めてください。

1. a + 4d = 17、a + 11d = 45 と書きます。第 5 項までに d を足す回数は 4 回、第 12 項までなら 11 回だからです。
2. 下の式から上の式を引いて 7d = 28、d = 4 とし、a = 1 を得ます。a を消せば未知数が d だけになるからです。
3. 一般項は aₙ = 1 + (n-1) × 4 = 4n − 3 です。整理しておくと、どの番号の項もすぐ計算できるからです。
4. a₂₀ = 77 を使い、S₂₀ = 20 × (1 + 77) / 2 = 780 とします。初項と末項がわかっているなら、この形が最も短いからです。

答え: aₙ = 4n − 3、S₂₀ = 780

例題2

第 2 項が 6、第 5 項が 162 の等比数列（公比は実数）について、第 6 項と、初項から第 6 項までの和を求めてください。

1. ar = 6、ar⁴ = 162 と書きます。指数は番号より 1 小さいからです。
2. 下の式を上の式で割って r³ = 27、r = 3 を得ます。等比数列では、引くより割るほうが a がきれいに消えるからです。
3. ar = 6 に戻して a = 2 とします。ここで r が決まっているので、未知数は a だけです。
4. a₆ = 2 × 3⁵ = 486、S₆ = 2(3⁶ − 1) / (3 − 1) = 728 とします。r が 1 より大きいので、a(rⁿ − 1) / (r − 1) の形なら分母も分子も正の数のまま計算できるからです。

答え: a₆ = 486、S₆ = 728

例題3

朝の教室で×が付いた問題です。数列 2, 3, 6, 11, 18, … の一般項と、初項から第 n 項までの和を求めてください。

1. 隣どうしの差をとると 1, 3, 5, 7 になります。差が一定でないので、等差数列の公式はここで候補から消えます。
2. 差の並びは初項 1、公差 2 の等差数列なので、bₖ = 2k − 1 と書きます。差の規則さえ式になれば、階差数列の公式に入れられるからです。
3. n ≥ 2 のとき aₙ = 2 + Σ(k=1〜n-1)(2k − 1) とします。第 n 項までに足す差は n-1 個だからです。
4. Σ(k=1〜n-1) k = (n-1)n / 2 を使うと、2 × (n-1)n / 2 − (n-1) = (n-1)² となり、aₙ = 2 + (n-1)² = n² − 2n + 3 です。Σ の上が n ではないので、公式の n を n-1 に置き換えて使います。
5. n = 1 を入れると 1 − 2 + 3 = 2 で、初項と合います。この式は n ≥ 2 で作ったものなので、n = 1 は確かめるまで使えないからです。
6. Sₙ = Σ(k=1〜n)(k² − 2k + 3) = n(n+1)(2n+1) / 6 − n(n+1) + 3n = n(2n² − 3n + 13) / 6 とします。n の多項式なので、Σ の公式に分けて足せるからです。n = 5 で 40 となり、2 + 3 + 6 + 11 + 18 と一致します。

答え: aₙ = n² − 2n + 3、Sₙ = n(2n² − 3n + 13) / 6

例題4

a₁ = 1、aₙ₊₁ = 2aₙ + 3 で定まる数列の一般項を求めてください。

1. α = 2α + 3 を解いて α = -3 とします。aₙ₊₁ = p aₙ + q の型なので、等比数列を掘り出すための数が要るからです。
2. aₙ₊₁ + 3 = 2(aₙ + 3) と書き直します。展開すれば 2aₙ + 6 − 3 となり、もとの式に戻ることを確かめられます。
3. aₙ + 3 は初項 a₁ + 3 = 4、公比 2 の等比数列なので、aₙ + 3 = 4 × 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ⁺¹ です。新しい数列の初項は 1 ではなく 4 になる点に、ここで気をつけます。
4. aₙ = 2ⁿ⁺¹ − 3 とし、漸化式から作った a₂ = 5 と、式の 2³ − 3 = 5 が一致することを見ます。できた式は、小さい番号で漸化式と比べれば誤りに気づけるからです。

答え: aₙ = 2ⁿ⁺¹ − 3

まちがえやすいところ

1 つ目は、等比数列の指数を n にしてしまう誤りです。

• 誤った書き方: 初項 3、公比 2 の等比数列を aₙ = 3 × 2ⁿ とします。
• どこが違うか: n = 1 を入れると 6 になり、初項の 3 と合いません。第 1 項では公比をまだ 1 回も掛けていないのに、この式は 1 回掛けています。
• 正しい書き方: aₙ = 3 × 2ⁿ⁻¹

2 つ目は、階差数列の Σ の上を n にしてしまう誤りです。図4のように、5 個の項のあいだに差は 4 個しかありません。a₅ = 2 + (1 + 3 + 5 + 7) = 18 のとおり、第 5 項までに足すのは 4 個です。

• 誤った書き方: 2, 3, 6, 11, 18 を aₙ = 2 + Σ(k=1〜n)(2k − 1) とします。
• どこが違うか: 差を 1 個余分に足しています。n = 1 を入れると 2 + 1 = 3 になり、初項の 2 と合いません。
• 正しい書き方: n ≥ 2 のとき aₙ = 2 + Σ(k=1〜n-1)(2k − 1) とし、できた式に n = 1 を入れて確かめます。

3 つ目は、和の式から一般項を出すときに n = 1 を分けない誤りです。

• 誤った書き方: Sₙ = n² + 2n + 3 から aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = 2n + 1 を求め、すべての n の答えとします。
• どこが違うか: S₁ = 6 なので a₁ = 6 です。式の 2n + 1 は n = 1 で 3 になり、合いません。Sₙ の式に定数項があると、第 1 項だけが式から外れます。
• 正しい書き方: a₁ = 6、n ≥ 2 のとき aₙ = 2n + 1

3 つとも、答案の上で n = 1 を入れれば、提出する前に気づける誤りです。検算は、番号の小さい項を 1 つか 2 つ計算するところから始めれば、多くの誤りがそこで止まります。

覚え方と忘れたときの戻り方

一般項を忘れたら、a, a + d, a + 2d と a, ar, ar² を書きます。第 3 項で 2 回なのだから第 n 項は n-1 回と、3 行で戻れます。

和は「2 行書いて足す」「2 行書いて引く」の 2 語で十分です。図2の階段か図3のずらした 2 行を描けば、等差数列の和も等比数列の和もその場で作れます。等比数列の和に a(1 − rⁿ) / (1 − r) と a(rⁿ − 1) / (r − 1) の 2 つの形があるのは、分母と分子に -1 を掛けただけの違いで、別の公式ではありません。

Σ k² は「6 分の n、n+1、2n+1」と続けて唱えるのがよく使われる語呂です。唱えたあとは n = 2 を入れて、2 × 3 × 5 / 6 = 5 と 1 + 4 = 5 が合うことを見ます。Σ k³ は「Σ k の 2 乗」と覚えれば、Σ k を覚えているだけで出てきます。

階差数列は図4の箱と矢印を描けば、Σ の上が n-1 であることが目で確かめられます。漸化式の α は、aₙ₊₁ と aₙ を同じ文字に置くだけです。解いたあとに最初の 2 項を計算して合えば、覚え違いがあってもそこで止まれます。

練習問題

練習1

次の 3 つの数列の一般項を求めてください。(1) は初項から第 10 項までの和も求めてください。

• 1. 7, 11, 15, 19, …
• (2) 5, 15, 45, 135, …
• (3) 1, 3, 7, 13, 21, …

練習2

Σ(k=1〜n)(k² + k) を n の式で表し、n = 10 のときの値を求めてください。

練習3

a₁ = 5、aₙ₊₁ = 3aₙ − 4 で定まる数列の一般項を求めてください。

答えと解説

練習1の (1) は差が 4 で一定なので等差数列です。aₙ = 7 + (n-1) × 4 = 4n + 3 で、a₁₀ = 43 より S₁₀ = 10 × (7 + 43) / 2 = 250 となります。

2. は差が 10, 30, 90 と変わりますが、比が 3 で一定なので等比数列です。答えは aₙ = 5 × 3ⁿ⁻¹ です。

3. は差が 2, 4, 6, 8 と等差で並ぶので、階差数列の公式を使います。n ≥ 2 のとき aₙ = 1 + Σ(k=1〜n-1) 2k = 1 + (n-1)n = n² − n + 1 となり、n = 1 でも 1 になって初項と合います。答えは aₙ = n² − n + 1 です。

練習2は Σ を 2 つに分けます。n(n+1)(2n+1) / 6 + n(n+1) / 2 の共通の因数 n(n+1) / 6 をくくると n(n+1){(2n+1) + 3} / 6 = n(n+1)(2n+4) / 6 となり、答えは n(n+1)(n+2) / 3 です。n = 10 のときは 10 × 11 × 12 / 3 = 440 です。

練習3は α = 3α − 4 を解いて α = 2 とし、aₙ₊₁ − 2 = 3(aₙ − 2) と書き直します。aₙ − 2 は初項 5 − 2 = 3、公比 3 の等比数列なので aₙ − 2 = 3 × 3ⁿ⁻¹ = 3ⁿ、答えは aₙ = 3ⁿ + 2 です。a₂ は漸化式から 3 × 5 − 4 = 11、式から 9 + 2 = 11 で一致します。

次に確かめる公式

• 指数法則は、等比数列の 4 × 2ⁿ⁻¹ を 2ⁿ⁺¹ にまとめるときに使います。
• 対数の公式は、等比数列の項が初めて 1000 を超える番号 n を求めるときに使います。
• 無限等比級数の和 a / (1 − r) は、数学Ⅲで、公比の絶対値が 1 より小さい等比数列を限りなく足すときに使います。

個別指導で数列につまずいた人と向き合うときは、公式を唱えてもらう前に、最初の 5 項を手で書き、差と比をとれるかまで戻って確かめます。そこで止まるなら、指数や分数の計算まで戻ります。

まとめ

数列で手が止まるとき、足りないのは公式の暗記量であることはまずありません。朝の教室で×が付いた 2, 3, 6, 11, 18 も、差を 1 回とれば 1, 3, 5, 7 が現れ、当てる公式は向こうから名乗り出ます。最初の 5 項を書いて差と比をとった時点で、使う公式はもう決まっています。