積分の公式一覧—不定積分と定積分、数学Ⅱと数学Ⅲの範囲別に｜武蔵野個別指導塾

放物線と直線の面積を出す6分の1公式から、sin や log の積分、部分積分でどちらを微分するかまで、数学Ⅱと数学Ⅲに分けて並べました。答えを微分して確かめる手順を例題 4 問で手に入れてください。

C は積分定数で、どんな定数でもよいという印です。定積分の記号 ∫ₐᵇ は、下の a から上の b まで積分することを表します。数学Ⅲの log は底が e の自然対数です。

よくあるのは、共通テストの模試の帰り道という場面です。駅まで歩きながら友だちと答えを言い合っていると、放物線と直線で囲まれた面積だけ、自分の答えがずれています。友だちは 9、自分は 9/2。交点までは同じだったのに、どこで半分になったのかが気になって、信号待ちのあいだにスマートフォンで「積分 公式」と打つ。その 1 分で要る表を、いちばん上に置きました。ずれの正体は、例題の 2 問目で解けます。

公式の一覧

最初の表に出てくる文字の意味から確かめます。読み違えたまま公式を使うと、計算が合っていても答えが合いません。

• f(x) は積分する関数です。g(x) は、もう 1 つの関数を置くときに使います。
• F(x) は、微分すると f(x) になる関数です。原始関数とも呼びます。
• C は積分定数です。不定積分の答えには必ず付きます。定積分の計算では引き算で消えるので、書かなくて構いません。
• a と b は定積分の端です。a を下端、b を上端と呼びます。
• dx は「x について積分する」という印です。置換積分で du に入れ替わるのは、この印が変数を指しているからです。
• α と β は 2 つの交点の x 座標で、α < β とします。

図1のように、積分の公式は 2 つの科目に分かれます。数学Ⅱで積分するのは多項式だけで、定積分と面積までが範囲です。共通テストの「数学Ⅱ、数学B、数学C」で問われる積分は、この左の枠に収まります。数学Ⅲでは三角関数、指数関数、対数関数へ広がり、置換積分と部分積分という 2 つの計算の道具が加わります。数学Ⅲは共通テストの範囲の外で、主に個別試験で使います。模試の復習なら、まず左の枠だけで足ります。

最初の表は使う頻度の高いものに絞りました。ここからは、科目ごとに残りの公式を足します。

数学Ⅱの範囲で足す公式

数学Ⅲの範囲で足す公式

表の「log(x の絶対値)」は、答案では log|x| と書きます。同じように「log(f(x) の絶対値)」は log|f(x)| です。

なぜこの形になるのか

積分は微分を逆にたどる計算です。xⁿ⁺¹ を微分すると (n + 1)xⁿ になります。前に出てきた n + 1 が余計なので、先に割っておけば xⁿ に戻ります。これが xⁿ⁺¹ / (n + 1) の正体です。C が付くのは、定数が微分で消えるからです。x³ / 3 も x³ / 3 + 5 も、微分すれば同じ x² になる。どの定数だったのかは微分の結果からは決まらないので、C と書いて残しておきます。

定積分が F(b) − F(a) で求まる理由は、面積を動かしてみるとわかります。f(x) ≥ 0 として、図2のように x = a から x までの面積を S(x) と置きます。x を h だけ右へずらすと、面積は細い帯 1 本分だけ増えます。帯は幅 h、高さがほぼ f(x) なので、S(x + h) − S(x) は f(x) × h に近い値です。h で割って h を 0 に近づけると、S’(x) = f(x) が出ます。

S は微分すると f になる関数ですから、S(x) = F(x) + C の形をしています。x = a では幅が 0 で面積も 0 なので、C = -F(a) です。x = b を入れると S(b) = F(b) − F(a)。面積を足し集める計算が、微分の逆を 1 回やって引き算するだけの計算に変わります。積分でいちばん驚いてよい場所は、ここです。

6分の1公式も、分母の 6 がどこから来るのかを追えます。x − β = (x − α) − (β − α) と書き直すと、(x − α)(x − β) = (x − α)² − (β − α)(x − α) です。これを α から β まで積分します。第 1 項は (β − α)³ / 3、第 2 項は (β − α) × (β − α)² / 2 で、差をとると (β − α)³ × (1/3 − 1/2) = -(β − α)³ / 6。3 分の 1 と 2 分の 1 の差が 6 分の 1 です。マイナスが付くのは、α と β のあいだで (x − α)(x − β) が負になるからで、面積を求めるときに符号を外す理由もここにあります。

数学Ⅲの公式も、同じ読み方で説明がつきます。sin x の積分にマイナスが付くのは、cos x を微分すると -sin x になるからです。1 / x が別枠なのは、n = -1 を xⁿ の公式に入れると分母が 0 になるからで、その穴を (log x)’ = 1 / x が埋めます。x が負のときも (log(-x))’ = 1 / x なので、2 つをまとめて log|x| と書きます。eˣ は微分しても変わらないので積分しても変わらず、aˣ は微分すると log a が前に出るので、積分ではその log a で割ります。

2 つの道具は、微分の公式を裏返したものです。置換積分は合成関数の微分 (F(g(x)))’ = f(g(x)) g’(x) を逆に読んだ形で、部分積分は積の微分 (f g)’ = f’ g + f g’ を両辺積分して移項した形です。∫ log x dx は log x × 1 と見て、f = log x、g’ = 1 として部分積分すると x log x − ∫ x × (1 / x) dx = x log x − x + C。表の最後のほうにある公式は、新しい暗記ではありません。

例題で使い方を確かめる

易しい順に 4 問並べます。前の 2 問が数学Ⅱ、後の 2 問が数学Ⅲです。

例題1 不定積分と C の決め方（数学Ⅱ）

F’(x) = 3x² − 4x + 5、F(1) = 6 である関数 F(x) を求めてください。

1. 項ごとに xⁿ の公式を当てます。定数倍と和は積分の外に出せるので、1 項ずつ処理して構いません。∫ (3x² − 4x + 5) dx = x³ − 2x² + 5x + C です。
2. F(1) = 6 で C を決めます。微分で消えた定数は、値が 1 つわかれば取り戻せるからです。1 − 2 + 5 + C = 6 より C = 2 です。
3. 微分して確かめます。答えが正しいなら元の式に必ず戻るからです。x³ − 2x² + 5x + 2 を微分すると 3x² − 4x + 5 に戻ります。

答え: F(x) = x³ − 2x² + 5x + 2

例題2 放物線と直線の面積（数学Ⅱ）

放物線 y = 2x² − 4x と直線 y = 2x で囲まれた部分の面積を求めてください。

1. 交点の x 座標を出します。積分の端は交点で決まるからです。2x² − 4x = 2x より 2x(x − 3) = 0 で、x = 0, 3 です。
2. どちらが上かを確かめます。面積は「上の式 − 下の式」を積分するからです。図3のように 0 < x < 3 では直線が上にあり、x = 1 を入れても 2 > -2 で直線が上です。差は 2x − (2x² − 4x) = -2x² + 6x です。
3. 定積分を計算します。不定積分の 1 つは -(2/3)x³ + 3x² で、x = 3 のとき -18 + 27 = 9、x = 0 のとき 0 です。差は 9 です。
4. 6分の1公式で検算します。別の道で同じ値が出れば、計算の取り違えはほぼ消せるからです。-2x² + 6x = -2x(x − 3) と因数分解できるので、面積は 2 × (3 − 0)³ / 6 = 9 です。

冒頭で 9/2 と書いたのは、手順 4 の 2 を落とした答えです。6分の1公式は (x − α)(x − β)、つまり x² の係数が 1 の形についての式なので、係数が 2 なら 2 倍が前に残ります。

答え: 9

例題3 置換積分（数学Ⅲ）

∫₀¹ 2x (x² + 1)³ dx を求めてください。

1. u = x² + 1 と置きます。前に付いた 2x が (x² + 1) の微分になっている形は、置換の合図だからです。
2. dx を du に替えます。u を x で微分すると 2x なので、2x dx をまとめて du に置き換えられます。
3. 端を u の値に替えます。積分する変数が u に変わったので、端も u で数える必要があるからです。x = 0 のとき u = 1、x = 1 のとき u = 2 です。
4. u だけの積分を計算します。∫₁² u³ du の不定積分は u⁴ / 4 で、(16 − 1) / 4 = 15/4 です。

答え: 15/4

例題4 部分積分（数学Ⅲ）

0 から π までの定積分 ∫ x sin x dx を求めてください。

1. 微分する側と積分する側を決めます。x は微分すると 1 になって消え、sin x は積分しても形が複雑にならないので、f(x) = x、g’(x) = sin x とします。
2. g(x) = -cos x を公式に入れます。∫ x sin x dx = -x cos x − ∫ 1 × (-cos x) dx = -x cos x + sin x + C です。
3. 微分して確かめます。符号を 2 回扱ったので、ここが最もずれやすいからです。-x cos x + sin x を微分すると -cos x + x sin x + cos x = x sin x に戻ります。
4. 端を入れて引きます。x = π のとき -π cos π + sin π = π、x = 0 のとき 0 です。差は π です。

答え: π

まちがえやすいところ

積分の失点は、公式を知らないことより、知っている公式の当て方で起こります。多いものを 3 つ挙げます。

定積分をそのまま面積と読む

誤った書き方: y = x² − 1 と x 軸、直線 x = 0、直線 x = 2 で囲まれた部分の面積を、∫₀² (x² − 1) dx = 2/3 と書く。

どこが違うか: 定積分は x 軸より下の部分を負として足します。図4のように、0 から 1 までの -2/3 と 1 から 2 までの +4/3 が打ち消し合っています。面積は負になりません。

正しい書き方: x 軸と交わる x = 1 で区間を分け、下の部分は符号を変えます。面積は -∫₀¹ (x² − 1) dx + ∫₁² (x² − 1) dx = 2/3 + 4/3 = 2 です。

中身の係数で割り忘れる

誤った書き方: ∫ cos 2x dx = sin 2x + C

どこが違うか: 答えを微分すると 2 cos 2x になり、元の式の 2 倍です。中身の 2x を微分した 2 の分だけ、余計に出ています。

正しい書き方: ∫ cos 2x dx = (1/2) sin 2x + C です。同じ理由で ∫ e³ˣ dx = (1/3) e³ˣ + C になります。

置換したのに端を替えない

誤った書き方: ∫₀¹ 3x² (x³ + 1)² dx を、u = x³ + 1 と置いて ∫₀¹ u² du = 1/3 と書く。

どこが違うか: 式は u に替わったのに、端だけ x の値のまま残っています。0 と 1 は x の範囲で、u はそこを動きません。

正しい書き方: x = 0 のとき u = 1、x = 1 のとき u = 2 なので、∫₁² u² du = (8 − 1) / 3 = 7/3 です。

覚え方と忘れたときの戻り方

試験中に公式が飛んでも、戻り道は 3 手です。1 手目は、微分の公式を 1 つ思い出すこと。(cos x)’ = -sin x なら思い出せる人は多いはずです。2 手目は、それを逆に読むこと。-sin x の積分が cos x なら、sin x の積分は -cos x です。3 手目は、答えを微分して元の式に戻るか確かめること。戻らなければ、ずれた係数で割るか、符号を変えます。

三角関数は、sin x → -cos x → -sin x → cos x → sin x の輪で覚える方法があります。積分するたびに矢印を 1 つ進むだけで、符号の迷いが減ります。

部分積分は、よく使われる唱え方に「そのまま かける 積分、引く、微分 かける 積分 を積分」があります。どちらを微分するかで迷ったら、対数、多項式、三角関数と指数関数の順に、前にあるものを微分する側へ回します。∫ x sin x dx なら x を、∫ x² log x dx なら log x を微分します。6分の1公式は「差を 3 乗して 6 で割り、x² の係数を掛ける」と言葉にしておくと、例題2の取り落としが防げます。

お子さまのノートをのぞく保護者の方は、公式を覚えているかどうかより、答えの下に微分の 1 行があるかを見てください。数式が読めなくても、書いてあるかどうかは確かめられます。

練習問題

例題と数字を変えた 3 問です。答えを見る前に、微分か別の解き方で 1 回検算してください。

• 練習1（数学Ⅱ）: 0 ≤ x ≤ 3 の範囲で、放物線 y = x² − 2x と x 軸のあいだにできる部分の面積の合計を求めてください。あわせて ∫₀³ (x² − 2x) dx の値も求めてください。
• 練習2（数学Ⅱ）: 放物線 y = x² − x − 1 と直線 y = x + 2 で囲まれた部分の面積を求めてください。
• 練習3（数学Ⅲ）: ∫₁ᵉ x log x dx を求めてください。

答えと解説

練習1: x² − 2x = x(x − 2) なので、x 軸と交わるのは x = 0, 2 です。不定積分の 1 つは x³ / 3 − x² で、x = 2 のとき -4/3、x = 3 のとき 0、x = 0 のとき 0 です。0 から 2 までの定積分は -4/3 で x 軸の下、2 から 3 までの定積分は 4/3 で x 軸の上です。面積の合計は 4/3 + 4/3 = 8/3 です。一方、∫₀³ (x² − 2x) dx は 0 になります。面積が 8/3 あるのに定積分が 0 になる。符号つきの足し算だとわかる例です。

練習2: x² − x − 1 = x + 2 より x² − 2x − 3 = 0、(x + 1)(x − 3) = 0 で、交点は x = -1, 3 です。x = 0 を入れると直線が 2、放物線が -1 なので、直線が上です。差は -(x + 1)(x − 3) で x² の係数の絶対値は 1 ですから、6分の1公式より面積は (3 − (-1))³ / 6 = 64 / 6 = 32/3 です。

練習3: log x を微分する側に回します。f(x) = log x、g’(x) = x とすると、g(x) = x² / 2 です。∫ x log x dx = (x² / 2) log x − ∫ (x² / 2) × (1 / x) dx = (x² / 2) log x − x² / 4 + C。x = e のとき e² / 2 − e² / 4 = e² / 4、x = 1 のとき 0 − 1/4 = -1/4 です。差は e² / 4 + 1/4 で、答えは (e² + 1) / 4 です。

次に確かめる公式

• 微分の公式: 積分の答えを確かめるときに毎回使います。積と合成関数の微分は、部分積分と置換積分の元になる式です。
• 三角関数の 2 倍角の公式: sin²x や cos²x の積分で次数を下げるときに使います。sin²x = (1 − cos 2x) / 2 の形にすると、表の公式で積分できます。
• 対数の公式: log を含む答えを整理するときに使います。log e = 1 や底の変換を知らないと、aˣ の積分の log a で手が止まります。

個別指導では、積分で手が止まったときに積分の表へは戻りません。戻るのは 1 つ前の微分で、(cos x)’ の符号や、(x² + 1)³ を微分したときに内側の 2x が出てくるかどうかまで確かめます。

まとめ

数学Ⅱの多項式と面積も、数学Ⅲの三角・指数・対数と 2 つの道具も、微分を逆に読んだ 1 行に戻せます。公式を 1 つ忘れても、戻る先を知っていれば表は作り直せます。模試の帰り道に表を閉じたあとも持っていける検算は、この 1 つです。微分して元の式に戻らない答えは、どれほど速く出しても答えではありません。