【数学I】余弦定理で三角形の面積を求める—cos から sin へ・3 辺だけの問題とヘロンの公式｜武蔵野個別指導塾

3 辺が 5, 7, 8 の三角形を例に、cos から sin へ変える道とヘロンの公式の道が同じ 10√3 に届く様子を流れ図で追い、鈍角の場合や正弦定理との使い分けまで例題 4 問で確かめられます。

よくあるのは、テスト返却の日の昇降口で、靴を履き替える手が止まるという場面です。3 辺が 5, 7, 8 の三角形の面積を求める問題で、余弦定理を使って cosA=1/2 までは出せたのに、その値をそのまま面積の公式に入れて 10 と書き、赤いバツがついています。隣で友だちが「ヘロンの公式なら一発だったよ」と靴ひもを結びながら言うので、答案の余白に書き込まれた 10√3 がますます遠く見えてきます。足りなかったのは cos を sin に変える一段だけです。この単元を学ぶと、3 辺だけが書かれた問題でも、2 辺と角が書かれた問題でも、どの公式から入るかを自分で決めて面積までたどり着けるようになります。

余弦定理で面積を求める手順は、3 辺から cosA を出し、sin²A+cos²A=1 で sinA に変え、S=(1/2)bc sinA に入れるという 3 段です。3 辺だけが与えられているなら、ヘロンの公式 S=√(s(s-a)(s-b)(s-c)) を使って、角を通らずに同じ値へ届くこともできます。3 辺が 5, 7, 8 の三角形なら、どちらの道でも面積は 10√3 です。

この単元で押さえること

• 余弦定理 a²=b²+c²-2bc cosA: 3 辺と 1 つの角を結ぶ式です。2 辺とその間の角から残りの辺を、3 辺から角の cos を出せます。
• cos から sin へ: sin²A+cos²A=1 を使います。三角形の内角では sinA>0 なので、根号の前の符号は正の 1 通りです。
• 面積の公式 S=(1/2)bc sinA: 角 A と、その角をはさむ 2 辺 b, c で面積が決まります。
• ヘロンの公式: s=(a+b+c)/2 とおくと S=√(s(s-a)(s-b)(s-c)) です。3 辺から直接面積を出します。
• 正弦定理との使い分け: 向かい合う辺と角の組がそろっていれば正弦定理、3 辺や「2 辺とその間の角」なら余弦定理から入ります。

これらは数学I の「図形と計量」で、三角比の定義から正弦定理・余弦定理へと進んできた流れの仕上げにあたり、それまでの公式が 1 問の中で全部つながります。

基本の考え方

余弦定理は「3 辺と 1 つの角」を結ぶ式

長さの違う 3 本の棒を端でつなぐと、三角形はぐらつかず、形が 1 つに決まります。組み立て式の棚の裏に斜めの板を渡すと揺れが止まるのも同じ理由で、3 辺が決まると角度はもう動かせません。ということは、分度器で測らなくても 3 辺の長さから角の大きさを計算で出せるはずで、その計算を担うのが余弦定理です。

公式は a²=b²+c²-2bc cosA です。左辺の a は角 A の向かいの辺で、右辺の b, c は角 A をはさむ 2 辺です。A=90° なら cosA=0 なので a²=b²+c² となり、三平方の定理に戻ります。つまり余弦定理は、直角三角形でしか使えなかった三平方の定理に -2bc cosA という補正の項を足して、どんな三角形でも使えるように広げた式だと見ることができます。

使う場面は 2 つです。1 つ目は 2 辺とその間の角がわかっていて、残りの辺を求めるときです。2 つ目は 3 辺がわかっていて角を調べたいときで、このときは式を cosA=(b²+c²-a²)/(2bc) と変形して使います。面積の問題で活躍するのは、主にこの 2 つ目の形です。

cos から sin へ変える

cos の値が出たら、次は sin です。どの角についても sin²A+cos²A=1 が成り立つので、sin²A=1-cos²A と変形して根号をとります。三角形の内角は 0° より大きく 180° より小さく、この範囲で sinA はいつも正なので、sinA=√(1-cos²A) の 1 通りに決まります。

たとえば cosA=1/2 なら sinA=√(1-1/4)=√3/2、cosA=3/5 なら sinA=√(1-9/25)=4/5 です。cosA=3/5 のほうは、3 辺が 3, 4, 5 の直角三角形を思い浮かべると検算もすぐにできます。

cos の値は、途中の計算ミスを見つける手がかりにもなります。三角形の内角の cos は -1 より大きく 1 より小さい数なので、計算結果の絶対値が 1 以上になったら、どこかで間違えているか、その 3 辺では三角形ができないかのどちらかです。たとえば 3 辺 2, 3, 6 で 6 の向かいの角を計算すると cos は -23/12 となり、実際にこの 3 本の棒はつながりません。cos が正なら鋭角、0 なら直角、負なら鈍角と、符号から角の種類も読み取れます。

面積の公式 S=(1/2)bc sinA はどこから来るか

出発点は小学校以来の (1/2)×底辺×高さ です。図1のように、BC=7, CA=8, AB=5 の三角形で CA を底辺にとり、頂点 B から CA に垂線 BH を下ろします。直角三角形 ABH に注目すると sinA=BH/AB なので、高さは h=c sinA と書けます。これを (1/2)×b×h に入れると S=(1/2)bc sinA です。

sin が面積の公式に現れるのは、sin が高さを受け持っているからです。図1では c=5, A=60° なので h=5×(√3/2)=5√3/2 となり、S=(1/2)×8×(5√3/2)=10√3 が確かめられます。A が鈍角のときは垂線の足 H が辺 CA の外に出ますが、高さは c sin(180°-A) で表され、sin(180°-A)=sinA なので同じ公式が使えます。公式は角ごとに S=(1/2)ca sinB=(1/2)ab sinC とも書け、どの形でも「角とそれをはさむ 2 辺」という組み合わせは変わりません。

3 辺だけのときの 2 本の道とヘロンの公式

3 辺だけが与えられたとき、道は 2 本あります。1 本目は、余弦定理で cos を出し、sin に変え、面積の公式に入れる 3 段の道です。2 本目がヘロンの公式で、s=(a+b+c)/2 とおくと S=√(s(s-a)(s-b)(s-c)) となります。s は 3 辺の和の半分で、周の長さそのものではない点に気をつけてください。

ヘロンの公式は別の世界から来た式ではなく、1 本目の道を文字のまま最後まで計算した結果です。S²=(1/4)b²c²sin²A=(1/4)b²c²(1+cosA)(1-cosA) と書き、余弦定理の変形を入れると、1+cosA=(a+b+c)(b+c-a)/(2bc)、1-cosA=(a+b-c)(a-b+c)/(2bc) となります。これらを掛け合わせると b²c² が消えて、S²=(a+b+c)(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)/16 です。ここで a+b+c=2s、b+c-a=2(s-a)、a-b+c=2(s-b)、a+b-c=2(s-c) なので、S²=s(s-a)(s-b)(s-c) に行き着きます。

教科書によっては、ヘロンの公式が本文ではなく補足の欄に置かれています。記述式のテストで使うなら、授業で扱ったかどうかを確かめたうえで、1 本目の道も書けるようにしておくと安心です。

正弦定理と余弦定理の使い分け

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R は外接円の半径）は、向かい合う辺と角の組が 1 組そろっているときに働きます。2 角と 1 辺がわかっている問題は、残りの角を 180° から引いて出せるので必ず組ができ、正弦定理の出番です。外接円の半径が登場する問題も同じです。

一方の余弦定理は 3 辺と 1 つの角を結ぶ式なので、角が 1 つも書かれていない 3 辺の問題や、向かい合う組がそろわない「2 辺とその間の角」の問題で働きます。注意したいのは、2 辺と「その間ではない角」が与えられた場合です。組はそろうので正弦定理でもう 1 つの角が出せますが、条件に合う三角形が 2 つできることがあり、場合分けが必要になります。

例題で解き方を確かめる

例題1 最初に使う公式を見分ける

次の条件の三角形の面積を求めるとき、最初に使うものを ア 面積の公式、イ 余弦定理またはヘロンの公式、ウ 正弦定理 から選びなさい。(1) b=6, c=5, A=30°　(2) a=7, b=8, c=5　(3) a=6, A=30°, B=120°

1. 与えられた量を辺と角に分けて数えます。公式は量の組み合わせで決まるので、数字を見る前に種類を見ます。
2. 1. は角 A が b と c にはさまれているか確かめます。はさまれていれば高さがすぐ作れるので、面積の公式に直接入れられて、S=(1/2)×6×5×(1/2)=15/2 です。
3. (2) は角が 1 つもないので、角を計算で作るか、角を通らない公式を使います。ここで余弦定理またはヘロンの公式の出番です。
4. (3) は a と A という向かい合う組がそろっています。組があれば比が使えるので、正弦定理で b=6√3 を出し、C=30° と合わせて S=(1/2)ab sinC=9√3 へ進めます。

答え: (1) ア　(2) イ　(3) ウ

例題2 cos の値から sin と面積を出す

△ABC で b=5, c=6, cosA=3/5 のとき、sinA と面積 S を求めなさい。

1. 角 A が三角形の内角であることを確かめます。これで sinA>0 と決まり、根号の前の符号に迷わなくなります。
2. sin²A=1-(3/5)²=16/25 を計算して sinA=4/5 とします。面積の公式が必要としているのは cos ではなく sin だからです。
3. S=(1/2)×5×6×(4/5)=12 と計算します。b, c が角 A をはさむ 2 辺なので、この組をそのまま使えます。

答え: sinA=4/5, S=12

例題3 3 辺 5, 7, 8 の面積を 2 通りで求める

a=7, b=8, c=5 の △ABC の面積を、余弦定理を経由する方法とヘロンの公式の 2 通りで求めなさい。図2の上の道が余弦定理、下の道がヘロンの公式にあたり、最後は同じ S=10√3 に合流します。

上の道の手順は次のとおりです。

1. cosA=(8²+5²-7²)/(2×8×5)=40/80=1/2 を計算します。A は 8 と 5 にはさまれた角なので、この後すぐ面積の公式に入れられます。
2. sinA=√(1-1/4)=√3/2 とします。A=60° と気づけば、√ の計算を省いて値を書けます。
3. S=(1/2)×8×5×(√3/2)=10√3 です。

下の道の手順は次のとおりです。

1. s=(7+8+5)/2=10 を計算します。公式全体が s を土台にしているので、最初に出します。
2. s-a=3, s-b=2, s-c=5 を並べます。根号の中で迷わないよう、先に引き算だけ済ませます。
3. S=√(10×3×2×5)=√300=10√3 です。

答え: S=10√3

どの角から始めても面積は変わりません。8 の向かいの角 B から始めると cosB=(7²+5²-8²)/(2×7×5)=1/7、sinB=√(1-1/49)=4√3/7 で、S=(1/2)×7×5×(4√3/7)=10√3 と同じ値になります。ただし cos が 1/7 のような分数になると根号の処理が少し重くなるので、きれいな値が出そうな角を選ぶと楽です。道の選び方としては、3 辺が整数で s も扱いやすければヘロンの公式が速く、辺に根号が入っていれば s が複雑になるので余弦定理の道が向いています。

例題4 定期テストの形で続けて解く

3 辺が AB=7, BC=5, CA=6 の △ABC について、次の値を順に求めなさい。(1) cosA　(2) sinA　(3) 面積 S　(4) 内接円の半径 r

1. 1. 角 A の向かいの辺は BC=5 なので、cosA=(6²+7²-5²)/(2×6×7)=60/84=5/7 です。向かいの辺を引く形に入れるのが余弦定理の決まりです。
2. (2) sin²A=1-25/49=24/49 より sinA=√24/7=2√6/7 です。√24 は 2√6 と簡単にしておくと、次の約分が見えやすくなります。
3. (3) S=(1/2)×6×7×(2√6/7)=6√6 です。ヘロンの公式でも s=9 から √(9×4×3×2)=√216=6√6 となり、検算に使えます。
4. (4) 三角形は内心を頂点とする高さ r の 3 つの三角形に分けられるので、S=(1/2)r(a+b+c) が成り立ちます。6√6=(1/2)×r×18 より r=6√6/9=2√6/3 です。

答え: cosA=5/7, sinA=2√6/7, S=6√6, r=2√6/3

まちがえやすいところと直し方

誤り1 cos の値をそのまま面積の公式に入れる

• 誤った書き方: 3 辺 5, 7, 8 で cosA=1/2 を出したあと、S=(1/2)×8×5×(1/2)=10 とする。
• どこが違うか: 面積の公式に入るのは高さを受け持つ sin です。図1で c cosA が表すのは高さ BH ではなく、底辺上の長さ AH です。上の式は (1/2)×底辺×AH を計算したことになり、面積とは関係のない数が出ます。
• 正しい書き方: sinA=√(1-1/4)=√3/2 と変えてから、S=(1/2)×8×5×(√3/2)=10√3 とする。

誤り2 角をはさまない 2 辺を面積の公式に入れる

• 誤った書き方: a=7, b=8, c=5, A=60° の三角形で、S=(1/2)×7×8×sin60°=14√3 とする。
• どこが違うか: a=7 は角 A の向かいの辺で、角 A をはさんでいません。公式は「底辺 b と、c から作った高さ c sinA」の掛け算からできているので、向かいの辺 a の入る場所はありません。
• 正しい書き方: 図の上で角 A に印をつけ、その印に接している 2 辺 b=8, c=5 を選んで、S=(1/2)×8×5×sin60°=10√3 とする。

誤り3 cos が負のとき sin にも負や ± をつける

• 誤った書き方: 3 辺 3, 5, 7 で、7 の向かいの角 C について cosC=-1/2 を出し、sinC=-√3/2 や sinC=±√3/2 とする。
• どこが違うか: 図3のように、半径 1 の半円の上に点 P をとると、角の cos は P の x 座標、sin は P の y 座標です。P が半円の左側に来ても x が負になるだけで、y はいつも正です。sin²C=3/4 を解くと確かに ± が出ますが、内角という条件で負のほうは捨てます。
• 正しい書き方: 0°<C<180° なので sinC=√3/2 とし、S=(1/2)×3×5×(√3/2)=15√3/4 とする。

用語のまとめ

テスト前に見返すときは、式を隠して「どの場面で使うか」を言えるか試してみてください。

問題文を読んで最初の一手を決めるときは、図4の表を左から右へたどります。左の列で与えられた量を確かめ、右の列の公式から書き始めれば、途中で道に迷うことが減ります。

練習問題

練習1: △ABC で b=3, c=5, A=120° のとき、辺 a の長さと面積 S を求めなさい。

練習2: △ABC で b=3, c=4, cosA=-1/3 のとき、sinA と面積 S を求めなさい。

練習3: 3 辺が 4, 5, 6 の三角形の面積を、余弦定理を経由する方法とヘロンの公式の 2 通りで求めなさい。

練習4: a=√7, b=2, c=3 の △ABC について、角 A の大きさ、面積 S、外接円の半径 R を求めなさい。

答えと解説

練習1の答えは a=7, S=15√3/4 です。cos120°=-1/2 なので a²=9+25-2×3×5×(-1/2)=34+15=49 となり、a=7 です。引き算の形の公式に負の cos を入れると足し算に変わる点が要所です。面積は sin120°=√3/2 より S=(1/2)×3×5×(√3/2)=15√3/4 です。

練習2の答えは sinA=2√2/3, S=4√2 です。sin²A=1-1/9=8/9 で、cos が負でも内角の sin は正なので sinA=2√2/3 です。S=(1/2)×3×4×(2√2/3)=4√2 となります。

練習3の答えは S=15√7/4 です。4 の向かいの角を A とすると cosA=(5²+6²-4²)/(2×5×6)=45/60=3/4、sinA=√(1-9/16)=√7/4 で、S=(1/2)×5×6×(√7/4)=15√7/4 です。ヘロンの公式では s=15/2、s-a, s-b, s-c はそれぞれ 7/2, 5/2, 3/2 なので、S=√(1575/16)=15√7/4 と同じ値になります。1575=225×7 と分解すると根号の外に 15 が出ます。

練習4の答えは A=60°, S=3√3/2, R=√21/3 です。辺に根号があるのでヘロンの公式は s=(5+√7)/2 となって扱いにくく、余弦定理の道を選びます。cosA=(4+9-7)/(2×2×3)=1/2 より A=60° で、S=(1/2)×2×3×(√3/2)=3√3/2 です。組 a と A がそろったので正弦定理で 2R=√7÷(√3/2)=2√7/√3 となり、R=√7/√3=√21/3 です。

次の単元へのつながりと確かめ方

この単元の流れは、同じ数学I の空間図形で、四面体の断面の三角形の面積を出すときにそのまま使います。ベクトルの単元でも、内積から cos を出して sin に変えて面積へ進むという同じ 3 段が、形を変えて現れます。

家で 5 分あればできる確かめ方が 2 つあります。1 つ目は、白紙に 3 辺 5, 7, 8 だけを書き、何も見ずに図2の 2 本の道を両方たどって 10√3 にそろうかを試すことです。保護者の方が横にいるなら、お子さまに「なぜそこで sin に変えたの」と聞いて、高さの話が出てくるかを見てください。2 つ目は、定規とコンパスで 5 cm, 7 cm, 8 cm の三角形を実際に描き、8 cm の辺を底辺にして高さを測ることです。およそ 4.3 cm になり、(1/2)×8×4.3=17.2 が 10√3 の近似値 17.3 に近いことを手で確かめられます。

個別指導でここにつまずいた生徒を見るときは、cos から sin に変える段で止まるのか、sin²A+cos²A=1 そのものがあいまいなのかを分け、必要なら直角三角形での三角比の定義まで戻って確かめます。

まとめ

昇降口で見返した答案の 10 という数字は、計算が苦手な証拠ではありません。cos が底辺側の長さを、sin が高さを受け持つという役割の違いを、まだ見分けていなかっただけです。その見分けがつくと、余弦定理とヘロンの公式は別々の暗記事項ではなく、同じ山に登る 2 本の道に見えてきます。3 本の辺が決まった瞬間に面積はもう 1 つに決まっていて、計算はその値を迎えに行く手続きにすぎません。