【中3数学】相似比とは—相似な図形の条件 3 つと面積比・体積比の求め方｜武蔵野個別指導塾

高さ 1.5 倍のコップにジュースは何倍入るのか。相似比から面積比 4:9、体積比 8:27 を出す手順と相似条件 3 つを、逆向きに重なる三角形の証明や円すい形のグラスの問題で確かめていきましょう。

よくあるのは、夕方のファミレスの窓際の席でドリンクバーのコップを脇によけ、ノートを広げて問題を解いているうちに手が止まる、という場面です。「相似比が 2:3 の三角形の面積比を求めなさい」に 2:3 と書いて答えを見ると、4:9 とあります。長さは 1.5 倍なのに、面積は 2.25 倍。顔を上げると、テーブルには小さいコップと背の高いコップが並んでいます。形がまったく同じで高さが 1.5 倍なら、ジュースは何倍入るのでしょうか。この単元を終えると、この問いにその場で答えられるようになり、2 つの三角形が相似であることを証明の形で書いて、辺の長さから面積、体積まで 1 つの比で求められるようになります。

相似比とは、相似な 2 つの図形で対応する部分の長さの比のことです。三角形が相似かどうかは「3 組の辺の比がすべて等しい」「2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」「2 組の角がそれぞれ等しい」の 3 つの条件で判断します。相似比が m:n のとき、面積比は m²:n²、体積比は m³:n³ です。

この単元で押さえること

• 相似は、形が同じで大きさは違ってもよい 2 つの図形の関係です。記号 ∽ を使い、△ABC∽△DEF のように対応する頂点の順に書きます。
• 相似比は、対応する部分の長さの比です。辺だけでなく高さや周の長さでも同じ値になり、最も簡単な整数の比にして使います。
• 三角形の相似条件は 3 つあります。合同条件と言い回しが似ているので、どこが違うかまで言えるようにします。
• 証明は、2 つの三角形を宣言する、根拠を書く、条件を名指しする、結論を書く、の 4 段の型で書きます。骨組みを先に覚えると、書き出しで止まらなくなります。
• 面積比は m²:n² です。三角形でも円でも、相似な図形ならどれでも同じです。
• 体積比は m³:n³ です。コップや円すい形の容器に入る水の量の問題もここに入ります。

中 2 で学んだ合同と証明の続きにあたる単元で、このあと学ぶ三平方の定理や円の問題では、長さを求める道具として何度も顔を出します。

基本の考え方

相似は、形を変えずに大きさだけを変えた関係

スマートフォンの写真を 2 本の指で広げると、顔の形はそのままで大きさだけが変わります。一方、写真を横にだけ引きのばすと顔は細長くなり、形が変わってしまいます。前者の関係が相似です。数学の言葉では、一方の図形を拡大または縮小したものが他方と合同になるとき、2 つの図形は相似であるといいます。

相似な図形では、対応する線分の長さの比はすべて等しく、対応する角の大きさはそれぞれ等しくなります。形だけで決まる関係なので、正方形どうし、正三角形どうし、円どうしはいつでも相似です。ところが長方形どうしや二等辺三角形どうしは、縦と横の割合や頂角によって形が変わるので、いつでも相似とはいえません。「必ず相似になるものを選びなさい」という問いは、ここを見ています。

1 つの点を中心にして同じ倍率で図形を広げると、もとの図形と広げた図形は相似になります。このような 2 つの図形の位置関係を相似の位置といい、中心の点を相似の中心といいます。

記号は ∽ を使い、△ABC∽△DEF と書きます。このとき頂点は書いた順に対応し、A と D、B と E、C と F が組になります。合同の記号 ≡ のときと同じ決まりで、順番そのものが「どの辺とどの辺を比べるか」を伝えています。

相似比は、対応する部分の長さの比

図1のように、同じ色の辺どうしを比べてみましょう。AB と DE は 4cm と 6cm、BC と EF は 6cm と 9cm、CA と FD は 5cm と 7.5cm で、どの組も簡単にすると 2:3 です。この共通の比が相似比で、「△ABC と △DEF の相似比は 2:3」といいます。

相似比には向きがあり、△DEF を先に言うなら 3:2 です。また、長さであれば辺でなくてもかまいません。図1の 2 つの三角形の周の長さは 15cm と 22.5cm で、この比も 2:3 になります。高さでも、円なら半径や直径でも同じです。どこか 1 組の長さがわかれば相似比が決まり、ほかの長さはすべて計算で出せる。ここに相似比を使う理由があります。

相似条件は合同条件と並べて覚える

2 つの三角形は、次の 3 つの相似条件のどれか 1 つが成り立てば相似です。合同条件と並べると、違いがはっきりします。

上の 2 行は「辺」を「辺の比」に替えただけです。大きく違うのは 3 行目で、相似条件には辺が 1 つも出てきません。合同は大きさまでそろえる関係なので長さが 1 組は必要ですが、相似は大きさを問わないので、形が決まれば十分だからです。三角形の内角の和は 180 度なので、2 組の角が等しければ残りの 1 組も自動的に等しくなり、3 組を確かめる必要はありません。合同は、相似比が 1:1 の相似だと考えることもできます。

2 行目で見落としやすいのが「間の角」です。等しい角が比べた 2 辺の間になければ、この条件は使えません。

証明は 4 段の型で書く

相似の証明は、次の順番で書けば骨組みが崩れません。

1. 「△ADE と △ABC において」と、比べる 2 つの三角形を宣言します。
2. 等しい角や等しい比を、根拠をつけて 1 行ずつ書き、①、②と番号を振ります。根拠には「仮定より」「共通な角だから」「平行線の同位角は等しいから」などを使います。
3. 「①、②より、2 組の角がそれぞれ等しいから」と、使った相似条件を 1 つ名指しします。
4. 「△ADE∽△ABC」と、対応の順にそろえて結びます。

3 段目を省いて「よって相似」とだけ書くと、どの条件を使ったのかが読み手に伝わりません。証明では、どの条件を使ったのかを言葉にするところまでが答えです。

面積比と体積比は、長さを何回かけるかで決まる

相似比が 2:3 の三角形では、底辺も高さも 3/2 倍になります。面積は 底辺×高さ÷2 なので、3/2 倍が 2 回かかって 9/4 倍、つまり面積比は 4:9 です。直径 20cm と 30cm の丸いピザなら、直径は 1.5 倍でも食べられる面積は 2.25 倍あります。

立体では縦、横、高さの 3 方向がそろって伸びるので、3/2 倍が 3 回かかって 27/8 倍、体積比は 8:27 です。一般に、相似比が m:n なら面積比は m²:n²、体積比は m³:n³ になります。立体の表面積は面積の仲間なので 2 乗のほうです。これで最初のコップの答えが出ます。形が同じで高さが 1.5 倍なら、ジュースは 27÷8=3.375 倍、つまり 3 倍以上入ります。

例題で解き方を確かめる

例題1 相似比と辺の長さ

△ABC∽△DEF で、AB=8cm、BC=10cm、DE=12cm です。(1) △ABC と △DEF の相似比を求めなさい。(2) EF の長さを求めなさい。

1. 対応する辺を読み取ります。相似の式の順から、AB と DE、BC と EF が組になります。図がなくても、書かれた順番だけで組は決まるからです。
2. 両方の長さがわかっている組で比を作ります。AB:DE=8:12 です。相似比を直接教えてくれるのは、この組だけだからです。
3. 最も簡単な整数の比にします。8:12=2:3 です。このあとの計算の数が小さくなり、間違いが減るからです。
4. EF を x cm として比の式を立てます。10:x=2:3 です。左側に△ABC の辺、右側に△DEF の辺と、並べる向きをそろえることで、比の順序の取り違えを防げます。
5. 外側の積と内側の積が等しいことを使います。2x=30 より、x=15 です。

答え (1) 2:3 (2) 15cm

例題2 重なった三角形の証明

図2の左の△ABC で、辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E があり、AD=4cm、DB=8cm、AE=6cm、EC=2cm、BC=10cm です。(1) △ADE∽△ACB であることを証明しなさい。(2) DE の長さを求めなさい。定期テストでよく見る、証明と計算が続けて問われる形です。

1. 2 つの三角形を切り離し、同じ向きにそろえます。図2の右のように△ADE を裏返すと、A と A、D と C、E と B が対応することが見えます。重なったままだと対応を取り違えやすいからです。
2. 全体の長さを出します。AB=4+8=12cm、AC=6+2=8cm です。比べる相手は△ACB なので、部分の長さのままでは使えません。
3. 短い辺どうし、長い辺どうしで比を作ります。AD:AC=4:8=1:2、AE:AB=6:12=1:2 で、等しくなります。△ADE では AD が短いほう、△ACB では AC が短いほうだからです。
4. 間の角を確かめます。∠DAE と ∠CAB は、どちらも頂点 A の同じ角です。比を使った 2 組の辺にはさまれた角でなければ、この条件を使えないからです。
5. 証明の 4 段の型に入れます。

証明は次のように書きます。

• △ADE と △ACB において
• 仮定より、AD:AC=4:8=1:2 …①
• 仮定より、AE:AB=6:12=1:2 …②
• 共通な角だから、∠DAE=∠CAB …③
• ①、②、③より、2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから
• △ADE∽△ACB

2. は証明の結果を使います。相似比は 1:2 で、DE に対応するのは CB です。DE:10=1:2 より、2×DE=10 となり、DE=5 です。

答え (1) 上の証明のとおり (2) 5cm

例題3 平行線と面積比

図3の△ABC で、DE∥BC、AD=6cm、DB=3cm です。△ADE の面積は 20cm² です。(1) △ADE と △ABC の相似比を求めなさい。(2) △ABC の面積を求めなさい。(3) 台形 DBCE の面積を求めなさい。

1. 相似であることを確かめます。∠A は共通で、DE∥BC より同位角が等しいので ∠ADE=∠ABC です。2 組の角がそれぞれ等しいので、△ADE∽△ABC です。比を使う前に、相似である根拠が要るからです。
2. 全体の辺で相似比を出します。AB=6+3=9cm なので、AD:AB=6:9=2:3 です。図3の右の帯のように、1 目盛りを 3cm とすると AD は 2 目盛り、AB は 3 目盛りです。DB は△ADE の辺でも△ABC の辺でもないので、比べる相手にならないからです。
3. 面積比に直します。2²:3²=4:9 です。面積は長さを 2 回かけた量だからです。
4. △ABC の面積を S cm² として比の式を立てます。20:S=4:9 より、4S=180、S=45 です。
5. 台形は引き算で求めます。45-20=25 です。台形 DBCE は相似な図形の組になっていないので、比を直接は使わず、全体から△ADE を除きます。△ADE と台形の面積の比が 4:5 になることも、ここから確かめられます。

答え (1) 2:3 (2) 45cm² (3) 25cm²

例題4 立体の体積比

相似な 2 つの円柱形のコップ A、B があり、高さはそれぞれ 10cm、15cm です。(1) A と B の相似比を求めなさい。(2) 底面積の比を求めなさい。(3) A の容積が 160cm³ のとき、B の容積を求めなさい。

1. 長さの比を取り出します。10:15=2:3 です。高さは長さなので、そのまま相似比になります。
2. 底面積は面積なので 2 乗します。2²:3²=4:9 です。底面の円の半径も 2:3 だからです。
3. 容積は体積なので 3 乗します。2³:3³=8:27 です。半径の 2 方向と高さの 1 方向、合わせて 3 方向がそろって伸びるからです。
4. B の容積を V cm³ として比の式を立てます。160:V=8:27 より、8V=4320、V=540 です。160÷8=20 が 1 つ分で、その 27 個分と考えても同じです。540÷160=3.375 倍で、最初のコップの計算と重なります。

答え (1) 2:3 (2) 4:9 (3) 540cm³

まちがえやすいところと直し方

相似比をそのまま面積比にしてしまう

誤った書き方は「相似比が 2:3 だから面積比も 2:3」や「2 倍して 4:6」です。

どこが違うかというと、面積は長さを 2 回かけた量なので、必要なのは 2 倍ではなく 2 乗です。そもそも 4:6 は簡単にすると 2:3 で、もとの比と同じものです。

正しい書き方は「面積比は 2²:3²=4:9」です。図4のように、1 辺を 2 倍にすると正方形は同じ大きさの 4 個分に、立方体は 8 個分になります。迷ったら 1:2 の場合を頭の中で図4に当てはめると、2 乗と 3 乗のどちらを使うのかを思い出せます。

途中までの長さの比を相似比にしてしまう

誤った書き方は、例題3 で「AD=6cm、DB=3cm だから相似比は 6:3=2:1」とするものです。

どこが違うかというと、比べているのは△ADE と△ABC なので、AD に対応する辺は AB です。DB は線分の残りの部分にすぎません。2:1 のまま進めると△ABC の面積が 20÷4=5cm² となり、大きいはずの三角形のほうが小さくなってしまいます。

正しい書き方は「AD:AB=6:(6+3)=6:9=2:3」です。比を書く前に、2 つの三角形を指でなぞって、どの辺とどの辺かを声に出して確かめると防げます。

対応を考えずに相似の式を書いてしまう

誤った書き方は、例題2 で頂点をアルファベット順に並べて「△ADE∽△ABC」とし、AD:AB=4:12、AE:AC=6:8 と比べるものです。比が 1:3 と 3:4 になって等しくならず、「相似ではない」と答えてしまいます。

どこが違うかというと、点 D は辺 AB 上にあっても、△ACB の中で D に対応する頂点は C です。頂点の名前の順は、対応とは関係ありません。

正しい書き方は「△ADE∽△ACB」として AD:AC、AE:AB と比べることです。図2のように同じ向きにそろえてから、短い辺どうし、長い辺どうしを組にすると、対応を決めやすくなります。

用語のまとめ

練習問題

練習1　△ABC∽△PQR で、AB=9cm、BC=12cm、PQ=6cm です。△ABC と △PQR の相似比と、QR の長さを求めなさい。

練習2　次のア〜エのうち、2 つの三角形が相似であるといえるものをすべて選び、使った相似条件を答えなさい。

• ア　3 辺が 3cm、4cm、5cm の三角形と、3 辺が 6cm、8cm、10cm の三角形
• イ　∠A=50 度、∠B=60 度の△ABC と、∠D=50 度、∠F=70 度の△DEF
• ウ　AB=4cm、AC=6cm、∠A=40 度の△ABC と、DE=6cm、DF=9cm、∠D=40 度の△DEF
• エ　AB=4cm、BC=6cm、∠C=40 度の△ABC と、DE=6cm、EF=9cm、∠F=40 度の△DEF

練習3　線分 AD と線分 BC が点 O で交わり、AB∥CD です。OA=4cm、OD=6cm、AB=5cm、△OAB の面積は 8cm² です。CD の長さと△ODC の面積を求めなさい。

練習4　円すいの形をしたグラスを、とがったほうを下にして置き、深さの 3 分の 2 の高さまでジュースを入れると、32cm³ 入りました。グラスをいっぱいにするには、あと何 cm³ 入れればよいですか。

答えと解説

練習1の答えは、相似比 3:2、QR=8cm です。AB:PQ=9:6=3:2 で、12:QR=3:2 より 3×QR=24 となります。相似比は△ABC を先に書くので、2:3 と逆にしないように気をつけます。

練習2の答えは、ア、イ、ウです。アは 3:6、4:8、5:10 がすべて 1:2 なので「3 組の辺の比がすべて等しい」です。イは残りの角を計算すると ∠C=70 度で、∠A=∠D、∠C=∠F となるので「2 組の角がそれぞれ等しい」です。ウは AB:DE=AC:DF=2:3 で、∠A と ∠D がその間の角なので「2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」です。エは比は等しいものの、∠C と ∠F は比を使った 2 辺の間の角ではありません。同じ長さと角で、形の違う三角形を 2 通りかけるので、相似であるとはいえません。

練習3の答えは、CD=7.5cm、△ODC の面積は 18cm² です。対頂角で ∠AOB=∠DOC、AB∥CD の錯角で ∠OAB=∠ODC なので、2 組の角がそれぞれ等しく、△OAB∽△ODC です。相似比は OA:OD=4:6=2:3 なので、5:CD=2:3 より 2×CD=15 です。面積比は 4:9 で、8:S=4:9 より S=18 となります。

練習4の答えは、76cm³ です。ジュースの部分とグラス全体は相似な円すいで、相似比は 2:3、体積比は 8:27 です。全体の容積を V cm³ とすると、32:V=8:27 より V=108 です。問われているのは残りなので、108-32=76 と最後に引き算をします。深さが 3 分の 2 まであっても、体積は全体の 27 分の 8 しかありません。

次の単元へのつながりと確かめ方

相似は、このあとの平行線と線分の比、中点連結定理、円周角の問題で長さを求めるときの土台になり、直角三角形の中に相似を見つける見方は三平方の定理の証明にもつながります。高校の三角比も、直角三角形の辺の比が角だけで決まるという、相似の話の続きです。

家で 5 分あれば、次の 2 つで確かめられます。

• 白い紙に合同条件と相似条件を見ないで 3 行ずつ並べて書き、3 行目がなぜ違うのかを声に出して説明します。
• 方眼紙に 1 辺 2cm と 3cm の正方形をかき、マスを数えて 4:9 になることを自分の目で確かめます。余裕があれば 1 辺 4cm でも数えると、長さ 2 倍で面積 4 倍になることも手で確かめられます。

個別指導では、比の計算で止まるお子さまなら小学校の比の単元まで、証明で止まるお子さまなら中 2 の合同の証明まで戻って、4 段の型のどこで手が止まるのかを 1 問ずつ確かめます。

まとめ

相似比は、形の同じ 2 つの図形をつなぐ 1 本の物差しです。対応する辺を 1 組正しくつかまえれば、残りの辺も、面積も、体積も、同じ数を 1 回、2 回、3 回かけるだけで出てきます。ファミレスの窓際で 2:3 と書いて手が止まったあの問いも、種を明かせば 2 と 3 をそれぞれ 2 回かけるだけの問いでした。同じ形で高さが 1.5 倍のコップに 3 倍以上のジュースが入ると一度でも驚いた人は、相似比を二度と手放しません。