【中学受験算数】立体の体積と表面積を図解で総まとめ—柱体 錐体 複合立体 展開図｜武蔵野個別指導塾

三角柱・円柱・四角すい・くり抜きの例題を通して、体積と表面積の求め方を学べます。展開図や穴の内側の面を図で確かめ、複合立体の接着面まで数えられるように進めます。

よくあるのは、放課後の廊下の掲示板の前で、工作の箱とその展開図を見比べながら、「箱に入る量は求められるけれど、紙は何 cm² 必要なのだろう」と手が止まる場面です。箱の縦・横・高さという同じ長さを使っていても、中身の大きさを求める計算と、周りの面の広さを求める計算は違います。さらに箱に穴をあけると、中身は減るのに、周りの面の広さは増えることもあります。

立体の問題では、最初に公式を探すより、「何を数えたいのか」を決めると見通しが立ちます。体積なら立体の中を小さな立方体で満たすことを、表面積なら境目となる面に紙を当てることを考えます。底面の形が変わっても、この区別は変わりません。

ここでは、柱体と錐体の体積から、展開図を使う表面積、組み合わせた立体、穴をくり抜いた立体まで進みます。お子さまと一緒に図の面を指しながら、式の中の数がどの長さや面積を表しているのかを確かめていきましょう。

この単元で身につけること

• 体積と表面積を区別します。体積は立体が占める空間の大きさ、表面積は立体の表面の面積の合計です。答えの単位も、体積は cm³、表面積は cm² と分けます。
• 底面と高さを選びます。柱体では平行で合同な2つの面に着目し、錐体では頂点から底面へ垂直に下ろした長さを確かめます。図の上向きの辺が必ず高さになるわけではありません。
• 展開図の長さを立体と対応させます。円柱の側面を開いた長方形では、1つの辺が底面の円周、もう1つの辺が円柱の高さになります。
• 複合立体を分けたり補ったりします。体積では重なりやすき間を作らずに分け、表面積では接着して見えなくなった面を数え直します。
• くり抜きで消える面と現れる面を分けます。穴の入口だけでなく、穴の内側の壁も、立体の表面に含まれることを押さえます。

長方形・三角形・円の面積と、直方体・立方体の体積が土台になります。多くの教科書では小5〜小6で立体の体積を学びますが、計算が止まるときは学年を目安に先へ進めず、底面となる平面図形の面積まで戻ると整理できます。

基本の考え方

体積は底面を積み重ねて考えます

1辺が 1 cm の立方体の体積が 1 cm³ です。底が縦 3 cm、横 4 cm の直方体なら、底にこの立方体を 3 × 4 = 12 個並べられます。それを高さ 5 cm まで積むと、12 × 5 = 60 個分です。このように、1段分の広さに積み重ねる高さをかける考え方が、底面積 × 高さにつながります。

平行で合同な2つの多角形を底面とし、ここで扱うように側面が長方形になる立体を角柱といいます。底面が三角形なら三角柱、四角形なら四角柱です。円を底面とする円柱も合わせて柱体と呼びます。底面に平行に切った切り口は、どの高さでも底面と同じ形、同じ広さです。したがって、柱体の体積は、底面積 × 高さで求められます。

図1のように三角形を奥へ同じ形のまま伸ばした立体でも、考え方は直方体と同じです。緑の三角形が1段分に当たり、奥へ続く 5 cm が積み重ねる方向の長さです。見取図では奥行きを斜めに描いていますが、実際には奥へ向かう辺は三角形の底面に垂直です。

図1には、三角形の面積を求めるための 4 cm と、三角柱の体積を求めるための 5 cm が登場します。どちらも「高さ」と呼べる長さですが、働きが違います。まず三角形の中で 6 × 4 ÷ 2 と計算し、その結果に柱の高さ 5 をかけます。「三角形の高さ」と「柱の高さ」を言葉で分けると、使う順番がはっきりします。

単位も積み重ねて考えます。面積の cm² に長さの cm をかけると、体積の cm³ になります。長さが cm と m で混じっていたら、かける前にそろえます。1 m³ は、1辺が 100 cm の立方体なので 100 × 100 × 100 = 1000000 cm³ です。長さの換算と同じつもりで100倍にすると、立体では大きく違ってしまいます。水などの容積に結びつけるときは、1 L = 1000 cm³、1 mL = 1 cm³ を使います。

錐体は同じ底面積・同じ高さの柱体の1/3です

1つの底面から先が1点に集まる形が錐体です。底面が三角形なら三角すい、四角形なら四角すい、円なら円すいといいます。柱体とは違って、頂点に近づくほど底面に平行な切り口が小さくなります。そのため、底面積 × 高さのままでは大きすぎます。

錐体の体積は、底面積 × 高さ ÷ 3です。同じ底面積で同じ高さの柱体と比べると、ちょうど1/3になります。底面が三角形だから3で割るのではありません。四角すいや円すいでも3で割ります。三角すいでは、底面の三角形の面積を出すための ÷ 2 と、錐体の体積を出すための ÷ 3 の両方が必要です。

錐体の高さは、頂点から底面へ垂直に下ろした長さです。頂点から底面の頂点につながる斜めの辺ではありません。また、四角すいの側面の三角形の高さとも区別します。問題文で「高さ」とある長さを図のどこに書き込むかが、計算より先の確認になります。

円すいでも体積の考え方は同じです。たとえば底面の半径 3 cm、高さ 4 cm なら、円周率を3.14として、3 × 3 × 3.14 × 4 ÷ 3 = 37.68 cm³ です。半径を2回かける部分が底面積、4をかける部分が高さ、最後の ÷ 3 が円柱との違いを表します。

表面積は面を開いて数えます

表面積は、底面も側面も含めた、立体の表面の面積の合計です。見取図で手前に見えている面だけを足すのではありません。裏側の面や下側の面も、別の立体に接着されていなければ数えます。中身の量を求める体積とは、見る対象が違います。

角柱の側面を、底面の辺に沿って順に開くと、長方形を横に並べた形になります。その縦は柱の高さ、横の合計は底面の周りの長さです。したがって、ここで扱う柱体では、側面積 = 底面の周りの長さ × 高さ、表面積 = 底面積 × 2 + 側面積と整理できます。底面積だけが同じ柱体でも、底面の周りの長さが違えば表面積は違います。

円柱でも側面を1か所で縦に切って開くと長方形になります。横の長さは直径ではなく、円を1周した長さです。四角すいの側面は三角形、円すいの側面はおうぎ形になるため、柱体の側面の式をそのまま使うことはできません。

円すいの展開図では、おうぎ形の半径は頂点から底面の円周までの斜めの長さで、母線といいます。おうぎ形の弧の長さは底面の円周と等しくなります。たとえば底面の半径 3 cm、母線 5 cm なら、弧は半径 5 cm の円周の 3/5 に当たります。側面積は 5 × 5 × 3.14 × 3/5 = 47.1 cm²、底面積は 28.26 cm² なので、表面積は 75.36 cm² です。母線を体積の高さに使わず、展開図の半径として使うことが要点です。

例題で解き方を確かめる

例題1　三角柱の体積と表面積

底面は3辺が 5 cm、5 cm、6 cm の二等辺三角形で、6 cm の辺に垂直な高さは 4 cm です。柱の高さが 5 cm の三角柱の体積と表面積を求めましょう。図1の三角柱に当たります。底面の辺と柱の高さに同じ 5 cm が出てきますが、別の場所の長さとして読みます。

1. 底面積を求めます。三角形なので、6 × 4 ÷ 2 = 12 cm² です。先に底面だけの面積を決めると、体積にも表面積にも使えます。
2. 体積を求めます。12 × 5 = 60 cm³ です。底面と同じ広さを柱の高さだけ積み重ねるため、ここでは3で割りません。
3. 側面積を求めます。底面の周りの長さは 5 + 5 + 6 = 16 cm なので、16 × 5 = 80 cm² です。3枚の長方形を開くと、横の合計が 16 cm になるからです。
4. 底面2枚を加えます。12 × 2 + 80 = 104 cm² です。三角形は手前と奥に1枚ずつあるため、2倍して足します。

答え：体積は 60 cm³、表面積は 104 cm² です。

表面積は、側面を1枚ずつ求めても確かめられます。5 × 5 + 5 × 5 + 6 × 5 = 80 cm² となり、周りの長さを先に足した計算と一致します。慣れないうちは1枚ずつ、慣れてきたらまとめて計算する順が取り組みやすいでしょう。

例題2　円柱の展開図から体積と表面積を求める

図2は、底面の半径が 3 cm、高さが 8 cm の円柱の展開図です。のりしろは考えず、円周率を3.14として、側面の長方形の横の長さ、円柱の体積と表面積を求めましょう。円柱は上下とも円で閉じているものとします。

図2のように、上と下の円がそれぞれ底面になり、中央の長方形が丸まって側面になります。平らに開いた図では円と長方形は点で接するように表しますが、組み立てると円周全体と長方形の辺が合います。図の縦横の長さと円の大きさは、同じ縮尺で示しています。

1. 底面の円周を求めます。3 × 2 × 3.14 = 18.84 cm です。長方形を丸めたとき、横の辺が円を1周する長さになるため、直径の 6 cm ではありません。
2. 底面積を求めます。3 × 3 × 3.14 = 28.26 cm² です。半径を使う式なので、直径をそのまま2回かけないようにします。
3. 体積を求めます。28.26 × 8 = 226.08 cm³ です。円柱も底面積が変わらずに続く柱体だからです。
4. 表面積を求めます。側面は 18.84 × 8 = 150.72 cm²、底面2枚は 28.26 × 2 = 56.52 cm² です。合わせて 150.72 + 56.52 = 207.24 cm² となります。

答え：長方形の横は 18.84 cm、体積は 226.08 cm³、表面積は 207.24 cm² です。

逆に、側面の長方形の横が 18.84 cm と示されていれば、18.84 ÷ 3.14 = 6 cm で直径が出ます。さらに2で割ると半径です。展開図から立体を組み立てる問題では、与えられた長さが円周なのか、直径なのか、半径なのかを言葉にしてから計算すると混同を防げます。

例題3　四角すいの2種類の高さ

底面が1辺 6 cm の正方形で、頂点が底面の中心の真上にある四角すいです。立体の高さは 4 cm、側面の三角形の高さは 5 cm と与えられています。体積と表面積を求めましょう。側面の三角形の高さとは、頂点からその三角形の底辺へ垂直に下ろした長さです。

1. 底面積を求めます。6 × 6 = 36 cm² です。底面の正方形の面積は、体積にも表面積にも使います。
2. 体積を求めます。36 × 4 ÷ 3 = 48 cm³ です。底面に垂直な立体の高さは 4 cm で、同じ底面積と高さの柱体の1/3になるためです。
3. 側面1枚の面積を求めます。6 × 5 ÷ 2 = 15 cm² です。三角形の面積では、その面の中にある高さの 5 cm を使います。
4. 面積を合計します。側面は同じ三角形が4枚なので、36 + 15 × 4 = 96 cm² です。錐体の底面は1枚なので、柱体のように底面積を2倍しません。

答え：体積は 48 cm³、表面積は 96 cm² です。

この問題で、立体の高さの 4 cm しか与えられていないときに、それを側面の三角形の高さとして使うことはできません。式に使うためには、側面の高さが別に示されているか、ほかの条件から求められる必要があります。「高さ」という名前だけで数を選ばず、どの面に対して垂直なのかを確かめます。

例題4　立方体をまっすぐくり抜く

1辺が 8 cm の立方体の中央に、1辺が 2 cm の正方形の穴を、上から下までまっすぐあけます。穴の側面は立方体の縦の辺に平行で、上面と下面の正方形の辺に平行な向きです。残った立体の体積と表面積を求めましょう。

1. もとの体積を求めます。8 × 8 × 8 = 512 cm³ です。まず穴をあける前の大きさを決めておくと、取り除いた部分との関係が明確になります。
2. 穴の体積を引きます。穴は 2 × 2 × 8 = 32 cm³ の四角柱なので、512 − 32 = 480 cm³ です。穴は上から下まで通っているため、高さは 8 cm です。
3. もとの表面積から穴の入口と出口を引きます。もとの表面積は 8 × 8 × 6 = 384 cm²、消える面は 2 × 2 × 2 = 8 cm² です。上面と下面に1か所ずつ穴があるため、2枚分を引きます。
4. 穴の内側の壁を足します。2 × 8 の長方形が4枚できるので、2 × 8 × 4 = 64 cm² です。したがって表面積は 384 − 8 + 64 = 440 cm² となります。

答え：体積は 480 cm³、表面積は 440 cm² です。

穴をあける前より体積は小さく、表面積は大きくなりました。体積は取り除いた量だけ減りますが、表面積には新たに現れた内側の壁が加わります。「くり抜くから全部引き算」と決めず、何が減り、何が増えたかを別々に数えることが必要です。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　底面の形だけで割り算を決める

誤った書き方は、例題1で「6 × 4 ÷ 2 × 5 ÷ 3 = 20 cm³」とする計算です。底面が三角形であることを理由に、最後にも3で割っています。ところが、三角柱は奥まで同じ大きさの三角形が続くので、錐体の ÷ 3 は必要ありません。

正しい書き方は「6 × 4 ÷ 2 × 5 = 60 cm³」です。最初の ÷ 2 は三角形の面積を求めるためのものです。式の割り算に「三角形の面積」「錐体の体積」という意味を添えると、別の決まりを重ねてしまった箇所が見つかります。保護者の方は「奥へ進んでも同じ形ですか。先が1点になりますか」と声をかけると、お子さまが形から判断できます。

誤り2　複合立体の接着面まで足してしまう

下の直方体が横 8 cm、奥行き 6 cm、高さ 2 cm、上の直方体が横 4 cm、奥行き 6 cm、高さ 3 cm の立体を考えます。上の直方体を下の直方体の左半分にぴったり載せて接着し、すき間も重なりもないものとします。体積なら、8 × 6 × 2 + 4 × 6 × 3 = 168 cm³ と足せます。

表面積の誤った書き方は「152 + 108 = 260 cm²」です。152 cm² と 108 cm² はそれぞれの直方体を単独で置いたときの表面積なので、接着した部分も含んでいます。下の直方体の上面の一部と、上の直方体の下面の、両方を余分に数えているのです。

正しい書き方は「152 + 108 − 4 × 6 × 2 = 212 cm²」です。接着面1枚分の 24 cm² を2回引きます。引くのが1回ではない理由は、2つの立体の面積を足した時点で、接着面を上下それぞれに1回ずつ数えたからです。

この立体は、横 8 cm、奥行き 6 cm、高さ 5 cm の大きな直方体から、右上の横 4 cm、奥行き 6 cm、高さ 3 cm の部分を取り除いた形とも見られます。体積は 8 × 6 × 5 − 4 × 6 × 3 = 168 cm³ と確かめられます。ただし表面積で同じ引き算をすると、切り取って新しく現れた面が抜けます。分ける方法と補う方法は、体積では使いやすくても、表面積では面の出入りを添えて考えます。

誤り3　穴の内側を表面に含めない

例題4の誤った書き方は「384 − 8 = 376 cm²」です。上面と下面の穴は引けていますが、穴の内側にできた4枚の壁を数えていません。表面とは、見取図で見える所だけでなく、立体の材料と周りの空間との境目となる面です。穴の内側にもその境目があります。

図3のように、左は上から見た形、右は穴の内側の壁だけを開いた形です。右の長方形4枚はどれも横 2 cm、縦 8 cm です。左右は別の縮尺で描いていますが、それぞれの図の中では辺の長さの割合をそろえています。左の白い穴だけを見て終わらず、その周りから下へ続く壁を追います。

正しい書き方は「384 − 2 × 2 × 2 + 2 × 8 × 4 = 440 cm²」です。図3の右の長方形の列が、最後に足す 64 cm² に当たります。上から下まで通る穴なので、穴の底にもう1枚の正方形を足す必要はありません。

途中で止まる穴では、穴の深さを壁の縦に使い、入口は1枚だけ引き、穴の底の面を加えます。入口と底が同じ広さなら、その分は差し引きで打ち消し合います。貫通する穴の式を丸暗記するより、「入口・出口・壁・底」のどれがあるかを言葉にすると、条件が変わっても数え直せます。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

練習では、式を書く前に「底面積」「立体の高さ」「表面に残る面」を余白に整理しましょう。表面積を求める問題は、底面と側面を分けて書くと、答えが違ったときに確かめる場所を絞れます。円周率は3.14とします。

練習1

底面が直角をはさむ2辺 3 cm、4 cm、残りの辺 5 cm の直角三角形で、柱の高さが 7 cm の三角柱があります。体積と表面積を求めましょう。三角形の面積を求める2辺と、周りの長さを求める3辺を区別します。

練習2

底面の直径が 10 cm、高さが 6 cm の円柱があります。上下はどちらも円で閉じています。体積と表面積を求めましょう。与えられているのは半径ではないので、最初に半径を書き出します。

練習3

底面が1辺 10 cm の正方形で、頂点が底面の中心の真上にある四角すいがあります。立体の高さは 12 cm、側面の三角形の高さは 13 cm です。体積と表面積を求めましょう。体積に使う高さと側面積に使う高さを、それぞれ選びます。

練習4

横 8 cm、奥行き 6 cm、高さ 2 cm の直方体の上に、横 4 cm、奥行き 6 cm、高さ 3 cm の直方体を接着しました。上の直方体の下面全体が、下の直方体の上面の左半分に接しています。この立体の体積と表面積を求めましょう。接着面の広さを先に求めてから、表面積の式に進みます。

答えと解説

練習1の答えは、体積が 42 cm³、表面積が 96 cm² です。底面積は 3 × 4 ÷ 2 = 6 cm² なので、体積は 6 × 7 = 42 cm³ です。底面の周りの長さは 3 + 4 + 5 = 12 cm ですから、表面積は 6 × 2 + 12 × 7 = 96 cm² です。5 cm の辺は面積の高さではなく、側面の横の長さとして使います。

練習2の答えは、体積が 471 cm³、表面積が 345.4 cm² です。半径は 10 ÷ 2 = 5 cm、底面積は 5 × 5 × 3.14 = 78.5 cm² なので、体積は 78.5 × 6 = 471 cm³ です。側面積は 10 × 3.14 × 6 = 188.4 cm²、表面積は 78.5 × 2 + 188.4 = 345.4 cm² です。円周には直径の 10 cm をそのまま使えます。

練習3の答えは、体積が 400 cm³、表面積が 360 cm² です。体積は 10 × 10 × 12 ÷ 3 = 400 cm³ です。側面1枚は 10 × 13 ÷ 2 = 65 cm² なので、表面積は 10 × 10 + 65 × 4 = 360 cm² となります。体積だけを3で割り、面積は底面1枚と三角形4枚を足しています。

練習4の答えは、体積が 168 cm³、表面積が 212 cm² です。体積は 8 × 6 × 2 + 4 × 6 × 3 = 168 cm³ です。下の直方体の表面積は (8 × 6 + 8 × 2 + 6 × 2) × 2 = 152 cm²、上の直方体は (4 × 6 + 4 × 3 + 6 × 3) × 2 = 108 cm² です。接着面2枚分を引いて、152 + 108 − 4 × 6 × 2 = 212 cm² となります。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

底面積 × 高さの関係は、水そうの水位を考える問題につながります。同じ量の水でも底面積が違えば高さが変わり、おもりを入れれば水が入れる部分の形が変わります。まず立体をどの高さまで同じ形として扱えるかを見抜くことが、その準備になります。立体の切断でも、切り口の平面図形を取り出す読み方が役立ちます。

家庭での5分の確かめ方の1つ目は、小さな空き箱の面に指で順番に触れ、向かい合う面を組にすることです。縦・横・高さを測り、体積の式と、3組の面積を足す式を別々に書きます。紙の厚さやのりしろは考えず、算数の直方体として扱います。「この数はどの面の広さですか」と尋ねると、公式の暗記だけかどうかを確かめられます。

2つ目は、紙の長方形を丸めて筒にし、合わせる前の辺と、できた筒の円周を指でたどることです。切ったり接着したりしなくても、横の辺が直径ではなく円周になる様子を確かめられます。個別指導では、底面の面積で止まるなら三角形や円の面積へ、面の数で迷うなら箱の展開図へ戻り、どの段階の理解が必要かを確かめます。

まとめ

立体の問題で式が長くなったときは、その式の意味を図に戻して説明してみましょう。かけた高さがどこにあり、引いた面がどこへ隠れ、足した面がどこに現れたのかを指せれば、答えを自分で点検できます。穴をあけたあとに表面積が増えても、それだけで間違いとはいえません。減った空間と増えた壁を別々に追うことが、形の変化を正しく読む手がかりです。

くり抜いた立体の表面積は、消えた面と現れた面の両方を数えて初めて決まります。