【中学受験算数】売買損益を図解で総まとめ—原価 定価 売価・利益率・値引き・個数のある問題｜武蔵野個別指導塾

原価と定価のどちらをもとにするかを線分図で確かめ、利益率や売価を求める手順を整理します。売れ残りを含む例題と練習問題で、全体の損益まで順にたどれます。

よくあるのは、保健室の前の長椅子で待ちながら算数のノートを開き、「3割の利益を見込んで定価をつけ、定価の2割引で売る」という問題を見て、3割から2割を引いてよいのか迷う場面です。数字だけを見れば、残る利益は1割に思えます。けれども、最初の3割と次の2割は、同じ金額の3割、2割ではありません。この違いを読み取ることが、売買損益の出発点です。

売買損益は、お店が品物を仕入れ、値段を決め、売った結果を考える文章題です。買う人が払う金額だけでなく、お店が先に払った金額にも目を向けます。原価・定価・売価という3つの名前を整理すると、長い問題文にも順番が見えてきます。

家庭でお子さまと取り組むときは、計算を急がず、「その割合は、どの金額を1としたものかな」と尋ねてみてください。線分図の長さと金額を対応させれば、1個の利益から、何個かを別々の値段で売ったときの全体の利益まで、同じ考え方で追えるようになります。

この単元で身につけること

• 原価・定価・売価を区別します。仕入れにかかった金額、つけた値段、実際に売った値段を、問題文からそれぞれ取り出します。
• 利益と損失を求めます。売価が原価を上回った分が利益で、原価に届かなかった分が損失です。差を求める前に、どちらが大きいかを確かめます。
• 割合のもとを見つけます。原価の何割の利益か、定価の何割を引くかを分け、もとにする金額を式のそばに書きます。
• 順に求める計算と、逆に戻る計算を使い分けます。原価から定価へ進むときにかけた数は、定価から原価へ戻るときにはわる数になります。
• 個数のある問題を全体で考えます。売り上げの合計と仕入れに使った金額の合計を比べ、売れ残った品物の原価も忘れずに含めます。

ここでは、小数のかけ算・わり算と、「もとにする量 × 割合 = 比べられる量」という割合の関係を使います。計算が進まないときは、まず「1割は0.1、全体は10割」という対応まで戻ると、どこから確かめればよいかがはっきりします。

基本の考え方

原価・定価・売価は、どの場面の金額か

原価は、品物を仕入れるためにかかった金額です。売買損益の問題では、まずお店が品物を買って用意する場面を表します。定価は、お店が品物につける値段です。売価は、実際に売った値段です。定価のまま売れば定価と売価は同じですが、定価からいくらか引いて売れば、売価は定価より小さくなります。

たとえば、800円で仕入れた品物に1000円の定価をつけ、900円で売ったとします。この場合、原価は800円、定価は1000円、売価は900円です。実際に入ったお金は900円なので、利益は900 − 800 = 100円です。1000 − 800 = 200円は、定価のまま売れたときに得られるはずの利益であり、今回の利益ではありません。

図1のように、3つの金額の左端をそろえて描くと、金額の差を長さの差として見ることができます。図の中では同じ長さが同じ金額を表し、原価を超えた部分と、定価から引いた部分を別々に示しています。

図1では、売価の線分が原価の線分より100円分だけ長くなっています。この部分が実際の利益です。一方、定価の線分の右端と売価の線分の右端の差も100円ですが、こちらは定価から引いた金額です。同じ100円でも、何と何の差なのかが違います。「利益」と「引いた金額」を、どちらも余った部分として扱わないようにします。

基本の関係は、売価 − 原価 = 利益です。もし原価800円の品物を750円で売ったなら、原価 − 売価 = 800 − 750 = 50円が損失です。小学校の算数として考えるときは、大きい金額から小さい金額を引き、答えに「利益」か「損失」かを添えます。金額だけでなく、どちらの結果になったかまでが答えです。

なお、この単元では、ほかの費用が問題に書かれていなければ、書かれた原価と売価だけで損益を計算します。運ぶ費用などが別に示された問題では、その費用をどう扱うかも読み取ります。問題にない費用を自分で付け足す必要はありません。

利益の割合と、定価から引く割合を分ける

「原価の3割の利益を見込んで定価をつける」とは、原価そのものに、原価の0.3倍を加えることです。原価を1とすると、定価は1 + 0.3 = 1.3に当たります。そのため、原価 × 1.3 = 定価と求められます。原価 × 0.3だけでは、定価に上乗せする利益の部分しか求めていません。

「定価の2割引で売る」とは、定価の0.2倍を定価から引くことです。残るのは定価の1 − 0.2 = 0.8倍なので、定価 × 0.8 = 売価となります。「2割引」という言葉を見て0.2をかけると、求まるのは引く金額です。売る金額を求めるなら、残る8割を使います。

原価800円で順に計算してみます。定価は800 × 1.3 = 1040円です。その定価の2割引で売ると、売価は1040 × 0.8 = 832円になります。利益は832 − 800 = 32円です。原価に対する利益の割合は32 ÷ 800 = 0.04で、4%となります。3割から2割を引いた1割にはなりません。

この計算では、定価を決めるときの1は800円、売価を決めるときの1は1040円です。途中で1とする金額が変わっています。式をまとめるなら、800 × 1.3 × 0.8 = 832と書けますが、慣れるまでは定価をいったん求めてから次に進むほうが、金額の役割を確かめやすくなります。

「利益率」という言葉にも注意が必要です。この解説でいう利益率は、原価をもとにした利益の割合です。利益 ÷ 原価で求めます。問題に「売価に対する利益の割合」と書かれていれば、利益 ÷ 売価で計算します。同じ利益でも、何をもとにするかで割合は変わるため、問題文の指定を優先します。

全体を求めるときは、お金と個数をそろえる

品物がいくつもあるときは、1個についての金額と全体の金額を区別します。1個200円で10個仕入れれば、原価の合計は200 × 10 = 2000円です。10個すべてを1個260円で売れば、売り上げの合計は260 × 10 = 2600円となり、利益の合計は2600 − 2000 = 600円です。

この場合は、1個の利益を先に求め、(260 − 200) × 10 = 600円としてもかまいません。すべての品物の原価と売価が同じで、全部売れているためです。売る値段が途中で変わったり、売れ残りが出たりするときは、売り上げと原価をそれぞれ合計する方法が整理しやすくなります。

特に、売れ残りは「原価がかからなかった品物」ではありません。仕入れた時点でお金を払っています。売れ残りを処分し、その品物から収入がない条件なら、売り上げには加えず、原価の合計には含めます。個数を読むときは、「仕入れた個数」と「売れた個数」を別の欄に書くと取り違えを防げます。

例題で解き方を確かめる

例題1　原価から定価と利益を求める

1個600円で仕入れた品物に、原価の3割の利益を見込んで定価をつけます。定価はいくらですか。また、定価のまま1個売ると利益はいくらですか。

1. もとにする金額を確かめます。「原価の3割」とあるので、600円を1として考えます。上乗せする割合が0.3なら、定価に当たる割合は1 + 0.3 = 1.3です。
2. 定価を求めます。600 × 1.3 = 780円です。原価の分と利益の分を合わせた金額を求めるので、0.3ではなく1.3をかけます。
3. 利益を求めます。定価のまま売るため売価も780円となり、780 − 600 = 180円です。別の求め方として、600 × 0.3 = 180円でも同じ結果になります。

答え：定価は780円、利益は180円です。

180円と780円の両方が計算に出てくるので、式の終わりに「利益」「定価」と書き添えると整理できます。お子さまには「180円は、品物の値段全部かな。それとも上に足す分かな」と尋ねると、計算の意味を言葉で確かめられます。

例題2　定価の一部を引いて売る

原価1000円の品物に、原価の5割の利益を見込んで定価をつけました。定価の2割引で売ると、売価はいくらですか。また、利益は原価の何割ですか。

1. 定価を求めます。利益の5割は原価をもとにするため、1000 × (1 + 0.5) = 1500円です。最初に定価を決めることで、次の2割がどの金額の2割かをはっきりさせます。
2. 売価を求めます。定価の2割を引くと8割が残るので、1500 × (1 − 0.2) = 1200円です。引いた金額も1500 × 0.2 = 300円と求められ、1500 − 300 = 1200円と確かめられます。
3. 利益とその割合を求めます。1200 − 1000 = 200円が利益です。原価の何割かを求めるので、200 ÷ 1000 = 0.2となり、2割です。

答え：売価は1200円、利益は原価の2割です。

図2のように原価・定価・売価を同じ尺度で並べると、定価につけ加えた500円のうち、300円を引き、200円が利益として残ることを確かめられます。図の橙色の部分は、原価の2割ではなく、定価の2割に当たります。

図2で定価の右側の500円全部が利益になるのは、1500円で売れた場合です。実際には1200円で売ったので、原価を超える長さは200円分になっています。「見込んだ利益」と「実際の利益」を分けることも、この図から読み取れます。

例題3　売価から原価へ戻る

原価の4割の利益を見込んで定価をつけた品物を、定価の1割引で売ったところ、売価は1260円でした。原価はいくらですか。また、実際の利益はいくらですか。

1. 売価が定価の何倍かを考えます。1割引なので、売価は定価の0.9倍です。1260円は定価全部ではなく、その9割に当たる金額だと読み取ります。
2. 定価へ戻ります。定価 × 0.9 = 売価という関係なので、1260 ÷ 0.9 = 1400円です。売価から定価へ戻ると金額が大きくなることも確かめます。
3. 原価へ戻ります。定価は原価の1.4倍なので、1400 ÷ 1.4 = 1000円です。1.4倍した後の金額がわかっているため、1.4でわってもとの金額を求めます。
4. 実際の利益を求めます。売価と原価の差なので、1260 − 1000 = 260円です。定価1400円との差を使うと、実際に売った結果を表せなくなります。

答え：原価は1000円、実際の利益は260円です。

確かめるときは、求めた原価から問題文の順に進みます。1000 × 1.4 = 1400、1400 × 0.9 = 1260となり、売価に戻れます。逆向きのわり算が不安なときほど、最後に順向きの計算を置くと、式が条件に合っているかを自分で判断できます。

例題4　別々の売価と売れ残りを含めて考える

1個200円の品物を50個仕入れ、定価を1個300円にしました。30個は定価で売り、15個は定価の2割引で売りました。残りの5個は売れずに処分し、収入はありませんでした。処分に費用はかかりません。全体の利益はいくらですか。

1. 原価の合計を求めます。仕入れたのは50個なので、200 × 50 = 10000円です。売れた45個だけでなく、売れ残った5個にも原価がかかっています。
2. 定価で売った分の売り上げを求めます。300 × 30 = 9000円です。この金額は利益ではなく、30個を売って受け取ったお金の合計です。
3. 2割引で売った分の売り上げを求めます。1個の売価は300 × 0.8 = 240円なので、240 × 15 = 3600円です。売価が違う2つの組を、分けて計算します。
4. 売り上げの合計から原価の合計を引きます。9000 + 3600 = 12600円が売り上げの合計です。12600 − 10000 = 2600円となり、売り上げのほうが大きいので利益が出ています。

答え：全体の利益は2600円です。

別の見方で確かめることもできます。定価で売った30個の利益は(300 − 200) × 30 = 3000円、240円で売った15個の利益は(240 − 200) × 15 = 600円です。ここから、売れなかった5個の原価200 × 5 = 1000円を引くと、3000 + 600 − 1000 = 2600円になります。

この確かめ方では、売れた品物から得た利益の合計が3600円あっても、それが全体の利益ではないことが見えます。売れ残りの原価まで考えた結果が2600円です。初めは売り上げ全体と原価全体で計算し、慣れてきたら組ごとの利益からも確かめると、2つの方法のつながりを理解できます。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　利益の割合から引く割合をそのまま引く

誤った書き方は、例題2で「5割 − 2割 = 3割だから、原価の3割が利益」です。この考え方では、原価の5割と定価の2割を、同じ大きさをもとにした割合として扱っています。実際には、原価1000円の5割は500円、定価1500円の2割は300円です。

正しい書き方は、1000 × 1.5 × 0.8 = 1200円、1200 − 1000 = 200円、200 ÷ 1000 = 0.2です。割合の数字を直接引く前に、それぞれがどの金額に当たるかを確かめます。「5割のもとは1000円、2割のもとは1500円」と言えれば、計算の出発点がそろいます。

図3のように、同じ2割でも、もとにする金額が違えば、取り出す金額も違います。上の線分は1000円、下の線分は1500円をそれぞれ5等分してあり、色の濃い部分はどちらも全体の2割です。

図3では上の2割が200円、下の2割が300円です。割合をそろえることと、金額をそろえることは別だと読み取れます。家庭では「同じ2割なのに、どうして長さが違うのかな」と尋ね、もとの金額に戻って説明してもらうとよいでしょう。

誤り2　逆に戻るとき、同じ割合を足してしまう

誤った書き方は、例題3で「1割引の後が1260円だから、1260 × 1.1 = 1386円が定価」です。引いた1割は定価の1割であり、1260円の1割ではありません。減った後の金額をもとに1割を足しても、元どおりにはなりません。

正しい書き方は、1260 ÷ 0.9 = 1400円です。1260円が9割分なら、1260 ÷ 9 = 140円が1割分で、140 × 10 = 1400円が10割分、と考えてもかまいません。小数のわり算に抵抗があるときは、いったん1割分を求める方法を使うと、なぜわるのかを確かめられます。

同じ注意は、定価から原価へ戻るときにも当てはまります。原価に4割を加えた定価から、定価の4割を引く計算では戻れません。1400円は原価を10としたときの14に当たるので、1400 ÷ 14 × 10 = 1000円と考えられます。

誤り3　売れた個数だけの原価を引いてしまう

誤った書き方は、例題4で「12600 − 200 × 45 = 3600円が全体の利益」です。45個は売れた個数であり、仕入れた個数ではありません。この式では、売れ残って収入のなかった5個を仕入れるために払った1000円が抜けています。

正しい書き方は、12600 − 200 × 50 = 2600円です。式の前に「仕入れ50個、定価で30個、別の売価で15個、売れ残り5個」と並べ、30 + 15 + 5 = 50も確認します。個数の合計が一致すれば、どの品物をどこで数えたかが見えやすくなります。

ただし、売れ残りをあとで売る条件や、返品してお金が戻る条件がある場合は、その後のお金の動きも必要です。例題4は、残りを処分し収入がないところまで条件が決まっています。「残った」という言葉だけで結論を急がず、その品物を最後にどうしたかまで読みます。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

計算を始める前に、わかっている金額の横へ「原価」「定価」「売価」のいずれかを書いてみましょう。答えが出たら、利益を求めたのか、売る金額を求めたのかを確かめます。途中の金額にも名前をつけておくと、答え合わせで違いを探しやすくなります。

練習1

原価800円の品物に、原価の25%の利益を見込んで定価をつけ、その定価で売りました。定価と利益を求めましょう。25%を小数で表してから、定価に当たる割合を考えてください。

練習2

原価1200円の品物に、原価の5割の利益を見込んで定価をつけました。定価の3割引で売ると、売価はいくらですか。また、利益は原価の何%ですか。売価を求めた後で、利益の金額を確かめましょう。

練習3

原価の3割の利益を見込んで定価をつけた品物を、定価の2割引で売ると、売価は1560円でした。定価と原価を求めましょう。わかっている売価から、1つ前の金額へ順に戻って考えてください。

練習4

1個400円の品物を20個仕入れ、定価を500円にしました。12個は定価で売り、4個は定価の2割引で売りました。残りの4個は売れずに処分し、収入はありませんでした。処分に費用はかかりません。全体では利益と損失のどちらが、いくら出ましたか。

答えと解説

練習1の答えは、定価1000円、利益200円です。25% = 0.25なので、定価は800 × 1.25 = 1000円です。利益は1000 − 800 = 200円で、800 × 0.25 = 200円とも確かめられます。割合で求めた利益を原価に加えると定価になることを確認します。

練習2の答えは、売価1260円、利益は原価の5%です。定価は1200 × 1.5 = 1800円、売価は1800 × 0.7 = 1260円です。利益は1260 − 1200 = 60円なので、60 ÷ 1200 = 0.05となります。0.05は5%であり、5割ではありません。5割なら0.5なので、小数点の後の位にも注意します。

練習3の答えは、定価1950円、原価1500円です。売価は定価の0.8倍なので、1560 ÷ 0.8 = 1950円です。さらに1950 ÷ 1.3 = 1500円で原価が求まります。1500 × 1.3 × 0.8 = 1560となり、順に進んでも与えられた売価と一致します。

練習4の答えは、400円の損失です。原価の合計は400 × 20 = 8000円です。売り上げの合計は500 × 12 + 500 × 0.8 × 4 = 7600円となります。原価のほうが大きいため、8000 − 7600 = 400円が損失です。定価で売った分には利益があっても、売れ残りを含む全体では損失になることがあります。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

売買損益で身につけた「もとにする量を決める」という読み方は、食塩水の濃度や、比を使う文章題にもつながります。また、売価の違う品物の合計を求める考え方は、平均を求める場面でも役立ちます。単純に値段どうしを平均せず、それぞれの個数を使って合計を出すことが共通しています。

家庭で5分ほど確かめるなら、1つ目は「名前をつける」練習です。「700円で仕入れ、1000円の札をつけ、900円で売る」と読み上げ、3つの金額に名前をつけてもらいます。その後、利益を求める2つの金額を選んでもらえば、計算量を増やさずに関係を確かめられます。

2つ目は、ノートに1000円を表す線分を描き、2割分を示してもらう練習です。続けて、その1.5倍の長さで1500円の線分を描き、同じく2割分を示してもらいます。長さも金額も変わる理由を「もとが違うから」と説明できるかを聞き、説明しづらければ5等分するところから一緒にたどります。

個別指導では、答えが違ったときに、原価などの言葉の意味、1割と小数の対応、逆向きのわり算のどこで止まったかまで戻って確かめます。個数のある問題では、計算の前に品物を売り方ごとに分けられているかも確認します。

まとめ

答えの金額が合っていても、「この0.8は何の0.8倍か」を説明できなければ、条件が少し変わったときに迷いが残ります。反対に、途中で計算を間違えても、原価・定価・売価を結ぶ順番が見えていれば、見直す場所を絞れます。家庭でノートを見るときは、答えの横の丸だけでなく、式に使った金額の名前にも目を向けてみてください。

売買損益の式を決めるのは、割合の数字の大小ではなく、その割合がよりどころにしている金額です。