【中学受験算数】周期算と日暦算を図解で総まとめ—くり返しの規則・あまりの利用・曜日の計算｜武蔵野個別指導塾

色の並びや曜日を、ひとまとまりとあまりで整理します。図と例題を通して、あまりが0のときの読み方、日数の数え方、うるう年の判定まで家庭で確かめられます。

よくあるのは、夏休みの課題の山を前に、赤、青、青、黄と続く玉をノートに写し、遠い番目まで書こうとして手が止まるという場面です。途中まで数えられても、1個飛ばした気がすると最初から数え直したくなります。曜日の問題に移ると、今度は「今日も1日に入れるのかな」と迷い、わり算の答えが出ているのに曜日を決められないこともあります。

周期算では、並び全体を追う代わりに、同じ順番でくり返す小さなまとまりに注目します。日暦算でも、曜日が7日ごとに同じ順番でくり返すことを使います。ただし、玉の「1番目」と、今日からの「1日後」では出発点が違います。計算の前に何を数えるかを決めることが、両方の問題をつなぐ大事な準備です。

大きな数が書かれていても、必要なのは短い並びとわり算です。あまりの意味を図の上で確かめ、月をまたぐ日数もうるう年も、順に整理していきましょう。

この単元で身につけること

• 同じ順番に戻るまとまりを見つけます。同じ色が再び出たところだけで区切らず、その後の並びもそろっているか確かめます。
• 周期の中の位置を読み取ります。求める番目を1組の個数で割り、あまりが示す位置を元の組に戻して調べます。
• あまりが0のときを説明します。組がちょうど終わったことを表すので、答えはその組の最後に当たります。
• ある色の個数や数の合計を求めます。全部そろった組の分と、途中までの組の分を分けて計算します。
• 曜日を7日のくり返しとして扱います。日付の個数と、出発の日から進んだ日数を区別して数えます。
• 月の日数とうるう年を確かめます。2月を通る範囲を先に見て、必要な場合だけ2月29日を含めます。

これまでに学んだ、あまりのあるわり算が土台になります。商は全部そろった組の数、あまりは次の組に入った個数と結びつけると、計算が並びの様子を表すようになります。数の性質としての倍数も、同じ位置に戻る番目を探すときに役立ちます。

基本の考え方

同じ色ではなく、同じ並びに戻るところを見る

ある決まった並びが、同じ順番で何度も現れるとき、そのくり返しを周期といいます。たとえば「赤、青、青、黄」の順をくり返す玉の列なら、4個が1組です。この列では4個進むたびに、組の中の同じ位置に戻ります。周期の長さを聞かれたら、このようにくり返しを表せる最も短いまとまりの長さを答えます。

青が2個続いていても、「青だけがくり返す」とは考えません。青の次には青が来る場合と黄が来る場合があり、その後もずっと同じ並びになるわけではないからです。また、「赤、青、青、黄、赤、青、青、黄」の8個で区切っても計算はできますが、その中に同じ4個の組が2つ入っています。最も短い組を使うと、位置を調べる作業が少なくなります。

図1のように、1組ずつ枠で囲み、その下に全体の番号を書くと、色と番目の関係を見比べられます。上の色だけを見ず、枠の中の何個目なのかも一緒に確かめましょう。

図1では、4番目、8番目、12番目がどれも黄です。これらは4個の組の最後に当たります。一方、1番目、5番目、9番目は赤で、それぞれの組の最初です。同じ位置の番号どうしの差が4になることも、周期が4個であることの確かめになります。

ただし、最初に書かれた少数の玉だけから、その先の並びを自由に決めてよいわけではありません。問題文に「この順にくり返します」とあれば、その指定を使います。何がくり返すのか説明があるときは、その説明と実際の並びを対応させます。見えている部分が似ていることと、以後も同じ規則で続くことは分けて読みましょう。

商とあまりを、組と位置に結びつける

4個で1組の列の14番目を考えます。14 ÷ 4 = 3 あまり2なので、3組分の12個がそろい、その先に2個あります。求める玉は次の組の2個目です。「赤、青、青、黄」の2個目は青なので、14番目は青になります。

このとき、商の3を使って「3個目」と読まないようにします。商は何組が終わったか、あまりはその先に何個あるかを表しています。式のすぐ下に「3組と2個」と書くと、同じ数字でも役割が異なることを確認できます。

12番目なら、12 ÷ 4 = 3 あまり0です。3組がちょうどそろい、その先の玉はありません。求める玉は3組目の最後、つまり黄です。あまり0を「次の組の最初」とすると、13番目の赤を答えてしまいます。あまりが0のときだけ特別な答えを暗記するのではなく、どの枠まで数え終わったかを見ると納得しやすくなります。

保護者の方からは「全部そろった箱は何箱で、箱の外には何個あるかな」と声をかけてみてください。お子さまが商とあまりを指で示せたら、最後に数えた玉へ指を置いてもらいます。答えの色を先に尋ねるより、計算と位置のつながりを確かめられます。

曜日は7日の周期、日付は月ごとに確かめる

日暦算は、日付や曜日について考える問題です。月、火、水、木、金、土、日の順は7日で1周し、月曜日の7日後はまた月曜日になります。したがって、何日後の曜日かを求めるときは、進む日数を7で割り、あまりの日数だけ曜日を進めます。あまり0なら、もとの曜日のままです。

ここで数えるのは、今日を含めた日付の数ではなく、今日から何日進んだかです。月曜日を出発点とすると、月曜日は0日後、火曜日は1日後です。玉の位置では最初の玉を1番目としましたが、日数の移動では出発点を0日後にします。この違いを小さな例で確認してから、大きな数に進みましょう。

月の日数はすべて同じではありません。1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月は31日、4月、6月、9月、11月は30日です。2月は平年が28日、うるう年が29日です。曜日の周期はいつも7日ですが、同じ日付が翌月に何曜日になるかは、その間の日数で変わります。

現在使われている暦では、西暦の年が4で割り切れる年は原則としてうるう年です。ただし100で割り切れる年は平年とし、そのうち400でも割り切れる年はうるう年に戻します。2028年はうるう年、2100年は平年、2000年はうるう年です。「4で割り切れる」で止めず、100と400の条件も順に確かめることが必要です。

1年の日数は平年が365日、うるう年が366日です。365 ÷ 7 = 52 あまり1、366 ÷ 7 = 52 あまり2なので、ある年の1月1日から翌年の1月1日へは、その年が平年なら曜日が1日分、うるう年なら2日分進みます。ただし、別の月日から翌年の同じ月日を求めるときは、途中に2月29日が入るかを確かめます。年の名前だけで1日分か2日分かを決めないようにしましょう。

例題で解き方を確かめる

例題1　遠い番目の色を求める

玉を「赤、青、青、黄」の順にくり返して並べます。最初の玉を1番目とすると、59番目の玉は何色ですか。

1. 1組を「赤、青、青、黄」の4個とします。同じ順番に戻る長さを使えば、全部の玉を書く必要がなくなります。
2. 59 ÷ 4 = 14 あまり3と計算します。14組で56個までそろい、さらに3個進んだ位置だとわかります。
3. 元の1組の3個目を見ます。1個目が赤、2個目と3個目が青なので、求める玉は青です。

答え：59番目の玉は青です。

計算の確かめには、4 × 14 + 3 = 59を使えます。また、56番目が組の最後の黄、その次の57番目が赤、58番目と59番目が青とたどっても同じ答えになります。遠い番目を確かめるときも、最初から59個を書き直す必要はありません。近くの組の終わりから数えれば十分です。

例題2　最初からある番目までの個数を求める

玉を「赤、青、赤、黄、青」の順にくり返して並べます。最初の玉から100番目までに、赤い玉は何個ありますか。

1. 1組の玉が5個で、その中の赤い玉が2個であることを確かめます。この問題は100番目の色ではなく、範囲全体に含まれる赤の個数を聞いています。
2. 100 ÷ 5 = 20と計算します。あまりが0なので、5個の組がちょうど20組あり、途中までの組はありません。
3. 2 × 20 = 40と計算します。各組に赤が2個ずつあるので、組の数をかければ全体の赤の個数を求められます。

答え：赤い玉は40個あります。

あまり0でも、ここでは「組の最後の青」とは答えません。「何色ですか」と「何個ありますか」で、最後にすることが違うためです。わり算をするところまでが同じでも、問題の問いに戻って答えの形を決めましょう。

数の合計を求める問題も、この考え方で整理できます。1組の合計を出し、全部そろった組の数をかけ、残った部分の数を足します。ただし、残った部分は組の先頭から調べます。組全体の合計を、残った個数でそのまま割って求めることはできません。どの数がどの順に並ぶかが、最後の部分の合計を決めるからです。

例題3　月をまたぐ曜日を求める

ある年の7月1日は月曜日です。この年の8月20日は何曜日ですか。

1. 7月1日から8月1日までの日数を求めます。7月は31日あるので、同じ1日から次の月の1日までは31日進みます。
2. 8月1日から8月20日までは、20 − 1 = 19日です。8月1日はこの部分の出発点なので、20日とは数えません。
3. 全部で31 + 19 = 50日進みます。月をまたぐ日数を2つに分けたことで、月末を重ねて数えずにすみます。
4. 50 ÷ 7 = 7 あまり1なので、月曜日から1日だけ曜日を進めます。7週間分は同じ曜日に戻り、残った1日分で火曜日になります。

答え：8月20日は火曜日です。

図2のように、7月1日、8月1日、8月20日を順番に置くと、31日と19日を足す理由が見えます。横の長さも日数に合わせてあるので、前半の31日間のほうが長くなっています。

図2の出発点と到着点の間にある移動を数えると、50日後です。7月1日を1日目として8月20日までの日付を数えるなら51日目になりますが、曜日を動かす数は50です。同じ2つの日付でも、問題が「何日後」なのか「初日を含めて何日間」なのかを読み分けます。

別の分け方で確かめることもできます。7月1日から7月31日までは30日、そこから8月20日までは20日で、30 + 20 = 50日です。どちらの分け方でも、途中の出発日を新たな1日として足さないことがそろっています。

例題4　うるう年の2月をまたぐ曜日を求める

2028年の1月1日は土曜日です。2028年の3月1日は何曜日ですか。

1. 2028 ÷ 4 = 507を確かめます。2028年は4で割り切れ、100では割り切れないので、うるう年です。
2. 1月1日から2月1日までは31日、2月1日から3月1日までは29日とします。うるう年の2月29日を通るので、2月を28日としてはいけません。
3. 31 + 29 = 60、60 ÷ 7 = 8 あまり4と計算します。8週間分を除くと、曜日は4日分進みます。
4. 土曜日から、日、月、火、水と4回進みます。土曜日そのものを1回目に入れず、翌日から数えます。

答え：3月1日は水曜日です。

ここでは1月1日から3月1日までなので、1月と2月の日数をそのまま足せます。3月1日に着いた時点で計算を止めるため、3月の1日分をさらに足す必要はありません。「3月1日だから最後に1を足す」と考えたら、2月1日から3月1日までの部分を短く書き出して確認しましょう。

うるう年であることは、いつでも日数に1を足す合図ではありません。たとえば同じ年の4月1日から5月1日までなら、その間に2月29日はなく、日数は4月の30日間です。まず出発日と到着日を見て、2月をまたいでいるかを確かめる習慣が役立ちます。

つまずきやすいところと直し方

あまり0を、次の組の最初にしてしまう

誤った書き方は、「赤、青、青、黄」の12番目について「12 ÷ 4 = 3 あまり0、だから赤」です。どこが違うかというと、3組を数え終わった位置から、さらに1個先へ進んでしまっています。赤になるのは13番目であり、12番目ではありません。

正しい書き方は、「12 ÷ 4 = 3 あまり0、3組目の最後なので黄」です。図1で12の番号に印をつけると、3つ目の枠の右端にあります。お子さまがまだ迷うときは、4番目だけを聞いてみます。小さい数なら説明できる場合は、その4個の組を3回並べたものとして12番目に戻ると、考えをつなげられます。

あまりは必ず「1組の個数より小さい数」になります。4個の周期なら、あまりは0、1、2、3のどれかです。そこで1、2、3は組の中の同じ番号、0は4個目に対応します。「あまり4」という計算結果を作ってしまわず、あまり0が組の最後を表すと読み替えましょう。

「何日後」と「何日目」を同じにしてしまう

誤った書き方は、「月曜日から数えて8日目は、8 ÷ 7 = 1 あまり1だから火曜日」です。どこが違うかというと、月曜日を1日目に含めた8日目は、出発点から8日ではなく7日進んだ日だという点です。日付の個数を、そのまま曜日の移動に使ってしまっています。

正しい書き方は、「8日目は8 − 1 = 7日後、7 ÷ 7 = 1 あまり0なので月曜日」です。一方、本当に「8日後」と聞かれているなら火曜日です。図3のように、同じ月曜日の下へ「0日後」を置くと、番号のずれを確かめられます。

図3では、出発の月曜日と7日後の月曜日が同じ曜日です。今日を含めて1日目、2日目と数えると、右端は8日目になります。日付の並びが変わったのではなく、出発点につける数が違います。解き始めに「月＝0日後」か「月＝1日目」のどちらかを書き、問題文と一致するかを確認すると直せます。

また、何日前の曜日を求めるときは、7で割ったあまりの日数だけ後ろへ戻ります。月曜日の3日前なら、日、土、金と戻って金曜日です。前へ進めると木曜日になってしまうため、「前」と「後」の文字にも印をつけておきましょう。

4で割り切れたら、すべてうるう年にしてしまう

誤った書き方は、「2100 ÷ 4 = 525なので、2100年の2月は29日」です。どこが違うかというと、100で割り切れる年についての例外を確認していないことです。2100年は100で割り切れますが、400では割り切れません。

正しい書き方は、「2100年は100で割り切れ、400で割り切れないので平年。2月は28日」です。対して2000年は、2000 ÷ 400 = 5なのでうるう年です。年の下2けたが00のときに、400で割り切れるかまで調べると判断できます。

条件を覚えていても、曜日の計算に使う段階でうるう年の366日を丸ごと足してしまうことがあります。1年全部を通っているのか、それとも2か月だけなのかを先に確認します。期間に応じて必要な月の日数を足し、その中の2月を28日か29日にする、と作業を分けると混乱しにくくなります。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

答えを見る前に、周期の問題では1組を囲み、曜日の問題では出発点を0日後と書きましょう。計算が合っていても、商やあまりの読み方で答えが変わることがあります。途中の式の横に短い意味を添えて取り組んでみてください。

練習1

「○、△、□、△」の順に記号をくり返して並べます。最初の記号を1番目とすると、76番目の記号は何ですか。あまりが0になったとき、どこを見るかも説明しましょう。

練習2

「赤、赤、青」の順に玉をくり返して並べます。最初から50番目までに、赤い玉は何個ありますか。全部そろった組の分と、残った部分の分を分けて式にしましょう。

練習3

ある年の9月6日は木曜日です。その30日後は何曜日ですか。また、9月6日を1日目とした30日目は何曜日ですか。2つの問いで、7で割る日数が同じになるかを考えましょう。

練習4

2100年の2月1日が月曜日だとします。この年の3月1日は何曜日ですか。2100年が平年かうるう年かを先に判定し、2月の日数を使って求めましょう。

答えと解説

練習1の答えは△です。76 ÷ 4 = 19 あまり0なので、19組目の最後を見ます。1組の4個目は△です。組の2個目にも△がありますが、今回の理由は「最後の4個目だから」です。同じ記号が複数回出る並びでは、記号だけでなく位置まで説明すると、あまりの読み違いを見つけられます。

練習2の答えは34個です。50 ÷ 3 = 16 あまり2なので、全部そろった16組に赤が2 × 16 = 32個あります。残った2個は組の先頭の「赤、赤」なので、32 + 2 = 34個です。あまり2は、どんな並びでも赤が2個あるという意味ではありません。残りの色を元の1組に戻って調べた結果、今回は2個とも赤だったのです。

練習3の答えは、30日後が土曜日、30日目が金曜日です。30日後は30 ÷ 7 = 4 あまり2より、木曜日から金、土と2日進みます。30日目は30 − 1 = 29日後なので、29 ÷ 7 = 4 あまり1より金曜日です。同じ30という数でも、初日を含めて数えたかどうかで移動の日数が1日違います。

練習4の答えは月曜日です。2100年は100で割り切れ、400で割り切れないため平年です。2月1日から3月1日までは28日で、28 ÷ 7 = 4 あまり0なので、出発点の月曜日に戻ります。2月を29日にすると火曜日になってしまいます。曜日をたどり直す前に、使った月の日数を見直すことが必要です。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

周期算は、数列や規則性の問題につながります。一定の数を足す並びとは違い、周期のある並びは同じ状態に戻る点が特徴です。また、複数のくり返しが同時に最初へ戻る場面では、公倍数や最小公倍数が役立ちます。まずは1つの周期について「何個で戻るか」と「どこから始めるか」を説明できるようにしておきましょう。

家庭で5分ほどでできる確かめ方の1つは、紙に赤青青黄の4文字を3組書き、4番目、5番目、8番目を交互に尋ねることです。わり算の式だけでなく、答えの位置を指してもらいます。組の終わりと次の組の始まりを行き来すると、あまり0とあまり1の違いを確かめられます。

もう1つは、カレンダーで好きな日を指し、「7日後」と「その日を1日目とした7日目」を探すことです。予想した曜日を先に言ってから、日付を指でたどります。翌週の同じ曜日に着くのがどちらかを比べると、出発点を0とする場合と1とする場合の違いが具体的になります。

個別指導では、あまりのあるわり算自体が難しいのか、出たあまりを位置に戻すところが難しいのかを分けて確かめます。必要なら実物を同じ個数ずつ囲むところや、隣の日までを1日と数えるところまで戻り、式と図が同じことを表すかを確認します。

まとめ

遠い番目を求めた答えには、元の短い並びの中に確かめる場所があります。何十日も先の曜日にも、出発の曜日から数回だけ進めば確かめられる道筋があります。答えを言えた後に、その場所や進み方を指で示せるなら、大きな数を小さなまとまりに置き換えて考えられています。

ノートの余白には、長い列を最後まで書く代わりに、1組の並びと、出発点に添えた0日後を残しておきましょう。周期算の答えを決めるのは、数の大きさではなく、くり返しの中での位置です。