【小6算数】データの調べ方を図解で総まとめ—平均値 中央値 最頻値・ドットプロット・度数分布表｜武蔵野個別指導塾

読書冊数と読書時間の例題から、平均値・中央値・最頻値の使い分けを確かめます。ドットプロットや柱状グラフの読み方、度数分布表の区間の境目まで、家庭で解ける練習問題とともに学べます。

よくあるのは、放課後の廊下の掲示板の前で、読書冊数のまとめを見たお子さまが「平均が3冊なら、3冊読んだ人がいちばん多いのかな」と止まる場面です。全体をならした数と、いちばん多く現れる数は、同じとは限りません。計算が合っていても、その数が何を表すかを取り違えると、集団の様子を違って受け取ってしまいます。

データとは、調べて集めた数や記録のことです。冊数や時間の記録を小さい順に並べたり、同じ値を数えたりすると、ばらばらに見えた数字から特徴を見つけられます。平均値だけでなく、中央値や最頻値を使うと、別の角度からも集団を説明できます。

家庭で確かめるときは、計算の答えを聞く前に「全体をならした数を知りたいのかな。それとも、いちばん多い記録かな」と問いかけてみてください。知りたいことを先に決めると、表やグラフからどこを読むのかがはっきりします。

この単元で身につけること

• 平均値を求めて、全体をならした大きさを説明します。合計をデータの個数でわり、0の記録も個数に含めます。
• 中央値を求めて、並べたときの中央を確かめます。小さい順に並べ、個数が奇数か偶数かに応じて中央の値を決めます。
• 最頻値を求めて、最も多く現れる値を見つけます。値の大きさと、現れた回数を区別して数えます。
• ドットプロットから、集まり方や離れた値を読み取ります。点の横の位置は記録の値、同じ位置に積んだ点の数は人数などを表します。
• 度数分布表と柱状グラフを結びつけます。一定の区間ごとに分けた個数を、表と柱の高さで表します。
• 目的に合わせて代表値を選び、元の記録や分布も確かめます。1つの数だけで集団の全員の様子を決めつけない読み方を身につけます。

これまで学んだ平均や棒グラフを土台にして、「計算した数から、集団について何が言えるか」へと考えを広げる単元です。数を整理する作業と、その結果を言葉で説明する作業を、行き来しながら学びます。

基本の考え方

代表値は、集団をどのように見るかで変わります

集団の特徴を1つの数で表すとき、その数を代表値といいます。ここでは平均値、中央値、最頻値を扱います。どれも集団を調べる手がかりですが、同じ問いに答えているわけではありません。

平均値は、全体を等しくならしたときの値です。求める式は「平均値 = データの合計 ÷ データの個数」です。8人の冊数なら、8人分をすべて足して8でわります。合計に大きく関わる値が変わると、平均値も変わります。

中央値は、データを大きさの順に並べたときの中央の値です。小さい順に並べる方法でそろえましょう。個数が5個なら中央は3番目で、前後に2個ずつあります。個数が6個なら中央に1個を選べないため、3番目と4番目の値の平均を求めます。中央値は、記録された値そのものにはない数になることもあります。

最頻値は、最も多く現れる値です。「何回現れたか」を比べますが、答えるのはその回数ではなく、記録の値の方です。たとえば2冊という記録が3人分あり、ほかの冊数はそれより少なければ、最頻値は2冊です。3人という人数は、その答えの理由になります。

同じ最多回数の値が2つあれば、最頻値を2つ答える場合もあります。たとえば1冊と3冊がともに2回、5冊が1回なら、最頻値は1冊と3冊です。どの値も1回ずつのデータでは、通常、最頻値はないと扱います。最頻値を必ず1つ作ろうとして、いちばん大きい値を選ぶ必要はありません。

ドットプロットは、1つずつの記録を残す図です

8人が1週間に読んだ冊数として、0、1、1、2、2、2、3、5冊を考えます。同じ期間、同じ数え方で集めた記録です。期間が違う記録を混ぜると、冊数だけの違いなのか、調べた日数の違いなのかがわからなくなります。整理する前に、何をどのように調べた数かを確認します。

図1のように、数直線の各値の上に、記録1個につき点を1個置いた図をドットプロットといいます。同じ冊数の記録は縦に積みます。この図では点1個が1人を表し、2冊の上に3個ある点は、2冊読んだ人が3人いることを表します。

図1では、4冊の位置には点がありません。これは4冊という記録がなかったという意味です。一方、0冊の位置には点が1個あります。読んだ冊数が0だった人も、調べた8人の中に入っています。「記録がない」と「0という記録がある」は別のことです。

点をすべて数えると8個です。横の目盛りにある0、1、2、3、4、5を足すのではなく、それぞれの点が表す記録を足して合計を求めます。2冊の点が3個あるので、ここだけで2 × 3 = 6冊分です。点を小さい側から1個ずつ数えれば、中央にあたる記録も探せます。

また、点がどのあたりに多いか、離れた位置に点があるかも見ます。図1では1冊と2冊のあたりに多く集まり、5冊の点はほかから少し離れています。代表値の計算だけで終わらず、分布、つまりデータの散らばり方を確かめることが、読み取りの助けになります。

度数分布表は、区間ごとの個数を整理する表です

記録の種類が多いと、1つずつの値を並べた表は長くなります。そこで、読書時間を「0分以上10分未満」「10分以上20分未満」のように区切り、それぞれに入る人数を数えます。この区間を階級、その区間に入るデータの個数を度数といいます。階級と度数をまとめたものが度数分布表です。

「以上」は境目の数を含み、「未満」は境目の数を含みません。10分は0分以上10分未満には入らず、10分以上20分未満に入ります。境目をこのようにそろえると、1つの記録を2回数えたり、どこにも入れなかったりすることを防げます。

度数分布表を柱状グラフにすると、横軸に階級、縦軸に度数をとり、各区間の度数を柱の高さで表します。柱状グラフはヒストグラムとも呼ばれます。ここで扱う階級の幅はすべて同じです。横軸の数の区間が続いているため、隣り合う柱はすき間を空けずにかきます。

種類ごとの個数を示す棒グラフと似ていますが、横軸の意味に注目してください。柱状グラフの横軸には、順序と幅のある数の区間が並びます。高い柱を見つけたら、「この区間に入る記録が多い」と読みます。区間の真ん中の値を、全員の記録だと考えてはいけません。

区間にまとめると分布を見渡しやすくなる一方で、1人ずつの正確な値は見えなくなります。10分以上20分未満に7人いるとわかっても、その7人がそれぞれ何分読んだかは、この人数だけでは決まりません。表からわかることと、元のデータがないとわからないことを分けて考えます。

例題で解き方を確かめる

例題1　8人の読書冊数から3つの代表値を求める

8人が1週間に読んだ本の冊数は、記録した順に5、2、1、3、0、2、1、2冊でした。平均値、中央値、最頻値を求めましょう。図1は、このデータをドットプロットにしたものです。

1. まず記録の個数を確かめます。0冊の人も含めて8人なので、平均値を求めるときにわる数は8です。合計は5 + 2 + 1 + 3 + 0 + 2 + 1 + 2 = 16冊です。
2. 平均値を計算します。8人の合計を等しくならすため、16 ÷ 8 = 2とします。平均値は2冊です。
3. 中央値のために小さい順に並べます。0、1、1、2、2、2、3、5となります。8個は偶数なので、中央の4番目と5番目を選びます。どちらも2冊のため、(2 + 2) ÷ 2 = 2で、中央値は2冊です。
4. それぞれの値が現れた回数を数えます。0冊は1回、1冊は2回、2冊は3回、3冊と5冊は各1回です。最多の3回現れた値は2冊なので、最頻値は2冊です。

答え：平均値2冊、中央値2冊、最頻値2冊です。

この例では3つが一致しましたが、求める手順は別です。「全部2冊だから同じ計算でよい」とまとめず、ならす、順に並べる、回数を数える、という3つの操作を区別してください。図1の点でも、中央の2個と、いちばん高く積まれた位置をそれぞれ指して確かめられます。

例題2　中央の2つが違う値になる場合

6人がある日に読書をした時間は、12、8、20、10、8、14分でした。3つの代表値を求めましょう。図2のように小さい順に並べると、中央の2つが見つけやすくなります。

1. 合計と個数を確かめます。12 + 8 + 20 + 10 + 8 + 14 = 72分で、6人分あります。全体をならすと72 ÷ 6 = 12なので、平均値は12分です。
2. 記録を小さい順に並べます。8、8、10、12、14、20です。書いてある順の真ん中を使うと、大きさの中央を選べないため、並べ替えを先に行います。
3. 中央の3番目と4番目を読みます。図2の色のついた10分と12分です。中央をこの2つの平均で表すので、(10 + 12) ÷ 2 = 22 ÷ 2 = 11となります。
4. 同じ値の回数を比べます。8分は2回あり、ほかは1回ずつです。最も多く現れる値は8分なので、最頻値は8分です。

答え：平均値12分、中央値11分、最頻値8分です。

11分という記録は元の6人分にはありませんが、中央値として正しい値です。図2のカードは左からの順番を示しています。等間隔に置かれているのはカードの位置で、時間の差がすべて等しいという意味ではありません。数直線に点を置いた図1と、並べた記録の図2では、横の位置の読み方が違います。

例題3　度数分布表と柱状グラフを作る

12人のある日の読書時間を調べると、4、7、9、10、12、14、14、16、18、19、22、25分でした。0分以上10分未満、10分以上20分未満、20分以上30分未満に分けて、度数分布表を作りましょう。また、20分未満の人は何人でしょうか。

1. 区間の境目を確認します。階級の幅はどれも10分です。10分は2番目の階級に入るので、最初の階級には入れません。記録を1つ読むたびに、当てはまる区間に印をつけると重複を防げます。
2. 各階級の記録を数えます。最初は4、7、9の3個、次は10、12、14、14、16、18、19の7個、最後は22、25の2個です。14分は2人分あるため、2個として数えます。
3. 度数の合計を確認します。3 + 7 + 2 = 12で、調べた12人と一致します。人数が一致しないときは、境目と同じ値の記録から見直します。
4. 20分未満に当てはまる階級を選びます。最初と2番目を合わせればよいので、3 + 7 = 10人です。「未満」は20分を含みません。

答え：各階級の度数は順に3人、7人、2人で、20分未満の人は10人です。

この表を図3のように柱状グラフで表します。縦軸の1目盛りは1人、横軸の区切りは10分ごとです。柱の高さは左から3、7、2となり、表の人数と対応します。

図3から、最も多いのは10分以上20分未満の階級だと読めます。ただし、柱の高さが7だから「最頻値は7分」とは言えません。7は人数です。元の記録まで戻ると、14分だけが2回現れるので、このデータの最頻値は14分です。柱状グラフだけを見た場合には、最多の階級の中のどの値が最も多いかまでは決められません。

例題4　1つだけ大きい値があるときに比べる

あるグループの8人が1週間に読んだ冊数は、0、1、1、2、2、2、3、17冊でした。例題1と比べると、最後の5冊が17冊に変わっています。3つの代表値を求め、「順に並べた中央あたりの冊数」を伝えるには、どの代表値が問いに合うか考えましょう。

1. 平均値を求めます。合計は0 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 17 = 28冊です。28 ÷ 8 = 3.5なので、平均値は3.5冊です。例題1より合計が12冊増え、平均値は12 ÷ 8 = 1.5冊大きくなりました。
2. 中央値を求めます。すでに小さい順なので、4番目と5番目の2冊、2冊を使います。(2 + 2) ÷ 2 = 2で、中央値は2冊です。最後の値が大きくなっても、今回は中央の位置の値は変わっていません。
3. 最頻値を求めます。2冊が3回で最も多いため、最頻値は2冊です。17冊は最も大きい値ですが、1回だけなので最頻値ではありません。
4. 問いに合う代表値を選びます。今回は並べた中央あたりを知りたいので、中央値の2冊を伝えます。あわせて17冊の記録があると添えると、集団の様子をより具体的に説明できます。

答え：平均値3.5冊、中央値2冊、最頻値2冊で、並べた中央あたりを表すには中央値の2冊が合います。

平均値の3.5冊が間違いになったわけではありません。全体をならした冊数を聞かれたら3.5冊を使い、合計を確かめるなら3.5 × 8 = 28冊とできます。中央値の2冊に8をかけても、この合計にはなりません。代表値の意味によって、できる計算も違います。

また、17冊という値がほかから離れているだけで、勝手に消してはいけません。同じ条件で正しく集めた記録なら、その値も集団の一部です。記録間違いが心配な場合は、記録の取り方を確かめる必要があります。都合のよい平均値にするために除くこととは区別します。

つまずきやすいところと直し方

0の記録を人数から外してしまう

誤った書き方：例題1で、0冊の人を除いて平均値を16 ÷ 7とします。足し算に0を足しても合計が変わらないため、わる人数からも外してよいと思ってしまう間違いです。

どこが違うか：平均値でならす相手は、調べた8人全員です。0冊も調べた結果なので、合計には0を足し、個数には1個を数えます。0冊の人を除くと、「本を1冊以上読んだ7人の平均」という別の集団を調べることになります。

正しい書き方：16 ÷ 8 = 2で、8人の平均値は2冊です。図1の0の上にも点があることを指し、「この点の人にも等しく分けてならそう」と伝えると、個数を含める理由が見えます。空欄がある場合は、それを0と決めず、未回答なのか0という記録なのかを先に確かめます。

中央の位置の番号と、そこにある値を混ぜる

誤った書き方：例題2で、中央が3番目と4番目だから、中央値を(3 + 4) ÷ 2 = 3.5分とします。あるいは、記録された順の3番目と4番目をそのまま使ってしまいます。

どこが違うか：3番目と4番目は、選ぶ場所を示す番号です。時間を表す値ではありません。また、中央値の「中央」は大きさの順に並べたときの中央であり、記録した順の中央ではありません。

正しい書き方：小さい順の8、8、10、12、14、20から、3番目の10分と4番目の12分を選び、(10 + 12) ÷ 2 = 11分とします。図2のように、番号を数える作業が終わってから、選んだカードの数を読むと混乱しにくくなります。「何番目」と「何分」を声に出して分けてみてください。

区間の境目を両方に入れてしまう

誤った書き方：例題3の10分を、0分以上10分未満にも、10分以上20分未満にも入れます。こうすると度数が4人、7人、2人となり、合計が13人になってしまいます。

どこが違うか：「10分未満」は10分を含まないので、最初の階級には入りません。横軸に10と書いてあるから両方の柱に入るのではなく、表に書かれた区間の約束で所属を決めます。図3の縦の境界線も、その区切りを示しています。

正しい書き方：10分は10分以上20分未満の階級だけに入れ、度数を3人、7人、2人とします。最後に3 + 7 + 2 = 12と、元の人数に戻るかを確認します。ただし、1人の数え落としと別の1人の二重計上が重なると、合計だけは合うこともあります。合計を合わせる確認に加えて、各記録に1回ずつ印をつける確認も必要です。

練習問題

問題を解く前に、代表値を求めるのか、階級ごとの人数を数えるのかを確かめます。代表値の問題では、元の記録を残したまま、別の行に小さい順の並びを書きましょう。途中の表や並びも答えの理由になります。

練習1

5人が1週間に読んだ本は、6、4、5、4、1冊でした。平均値、中央値、最頻値を求めましょう。中央値に使うのは何番目の記録かも答えてください。

練習2

6人がある日に読書をした時間は、7、3、9、5、3、9分でした。平均値、中央値、最頻値を求めましょう。最も多く現れる値が複数あれば、すべて答えてください。

練習3

10人の読書時間は、0、5、9、10、10、15、19、20、24、29分でした。0分以上10分未満、10分以上20分未満、20分以上30分未満の3つの階級の度数を求めましょう。また、20分未満の人は何人でしょうか。

練習4

同じ期間に読んだ冊数が、Aグループは1、2、3、4、5冊、Bグループは3、3、3、3、3冊でした。両方の平均値と中央値を求め、「平均値が同じなので、記録の散らばり方も同じ」と言えるか、理由をつけて答えましょう。

答えと解説

練習1の答えは、平均値4冊、中央値4冊、最頻値4冊です。合計は6 + 4 + 5 + 4 + 1 = 20冊なので、20 ÷ 5 = 4です。小さい順にすると1、4、4、5、6で、中央は3番目の4冊です。4冊が2回現れ、ほかは1回ずつなので、最頻値も4冊になります。

練習2の答えは、平均値6分、中央値6分、最頻値3分と9分です。合計は7 + 3 + 9 + 5 + 3 + 9 = 36分で、36 ÷ 6 = 6です。小さい順に並べると3、3、5、7、9、9なので、中央値は(5 + 7) ÷ 2 = 6分です。3分と9分がともに2回現れ、最多となっています。平均値や中央値と同じ6分が、元の記録にある必要はありません。

練習3の答えは、各階級の度数が順に3人、4人、3人で、20分未満は7人です。最初は0、5、9、次は10、10、15、19、最後は20、24、29に分かれます。0分も1人分として数え、20分は最後の階級に入れます。度数の合計は3 + 4 + 3 = 10人で、20分未満は3 + 4 = 7人です。

練習4の答えは、両方とも平均値3冊、中央値3冊ですが、散らばり方は同じとは言えません。Aは1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15、Bは3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15なので、どちらも15 ÷ 5 = 3です。並べた中央の3番目も3冊です。しかし、Aは1冊から5冊まで記録が広がり、Bは全員が3冊です。同じ代表値になっても、個々の記録の違いは残っています。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

データの調べ方は、これから人数の違う集団を比べたり、結果をもとに判断したりするときの土台になります。調べた人数が違えば、ある階級の人数だけを比べても、その階級に集まる程度を公平には比べられません。全体に対する割合の考え方ともつながります。まずは、調べた条件と人数を確認する習慣をつけましょう。

家庭で5分ほど確かめる方法の1つは、1、2、2、3、7と書いた5枚の紙を使うことです。小さい順に並べ、真ん中の2を選び、同じ値の紙を重ねて最頻値の2を見つけます。その後、合計15を5でわって平均値3を求めると、3つの操作の違いが目で追えます。平均値が3でも、3の紙が最多ではないことも確かめられます。

もう1つは、練習3の記録を紙に書き、3つの区間へ仕分ける方法です。とくに0、10、20をどこへ置くか、その理由を言ってもらいます。仕分けた紙の枚数を数え、各区間の人数と全体の10人が合うかを確認すれば、表を作る前の理解を短い時間で見られます。

個別指導で確かめる際は、平均値の誤りなら合計と個数を別々に数えるところへ、中央値の誤りなら数の大小と並べ替えへ戻ります。階級の誤りなら「以上・未満」の意味と、記録1個を1回だけ数えるところから確かめます。

まとめ

掲示された数を読むとき、「平均はこの値です」と言うだけでは、聞き手に全員の姿までは伝わりません。「最も多いのはこちらの値です」「この区間に多く集まっています」と記録に合う言葉を添えると、数の意味を共有できます。計算した代表値を、元の記録へ戻って確かめる時間を残しましょう。

中央値を正しく選べたお子さまには、中央の値を指したうえで、そこを選ぶまでの並べ方を説明してもらえます。答えに至る操作と言葉が結びつけば、違うデータでも自分で判断しやすくなります。

集団を説明する答えは、代表値の数と、その数を選んだ理由でひとまとまりになります。