【小5算数】四角形と三角形の面積を図解で総まとめ—平行四辺形 三角形 台形 ひし形・高さの見つけ方｜武蔵野個別指導塾

底辺と高さの組を見つけ、平行四辺形・三角形・台形・ひし形の面積を求めます。切って移す図や家の形の複合図形を使い、公式の理由と家庭での確かめ方までたどれます。

よくあるのは、定期テスト前の自習室の白板の前で、平行四辺形を見たお子さまが、底辺と斜めの辺をかけてよいのか迷うという場面です。「面積はかけ算で求める」と覚えていても、図に長さがいくつも書かれていると、どの数を使うかが決まりません。そんなときは、公式を唱える前に、底辺にする辺と、それに垂直な高さを探してみます。

四角形や三角形の面積は、長方形の面積から考えられます。切った部分を動かす、同じ形をもう1枚並べる、知っている形に分けるという操作を通すと、公式にかけ算や「÷ 2」が入る理由が見えてきます。図の向きが変わっても、自分で使う長さを選べることが、この単元の大きな目標です。

ここでは平行四辺形、三角形、台形、ひし形を順に確かめ、最後に形を組み合わせた問題に進みます。保護者の方も、計算を急がせず「その高さは、どの辺と直角になっているかな」と声をかけながら、一緒に図を指でたどってみてください。

この単元で身につけること

• 面積と長さを区別します。面積は面の広さで、周りの線の長さではありません。辺の長さには cm、面積には cm² を使うなど、数と単位を組にして読みます。
• 底辺と高さを組にして見つけます。底辺は面積を考えるときに選ぶ辺です。高さは、その底辺に垂直な長さであり、斜めの辺の長さとは限りません。
• 公式ができる理由を説明します。平行四辺形を長方形に変えたり、三角形を2枚使ったりして、求めたい広さが式のどこに表れているかを確かめます。
• 台形とひし形に必要な長さを選びます。台形では平行な2辺と高さを、ひし形では2本の対角線を使います。見た目が似ていても、同じ位置の数を使うとは限りません。
• 複合図形を分けたり、囲んだ形から引いたりします。どの部分を求めた計算なのかを図に書き込み、足し忘れや重なりを防ぎます。

これまでに学んだ長方形の「たて × 横」と正方形の「1辺 × 1辺」が出発点です。多くの教科書では小5で、これらをもとにいろいろな形の面積へと考えを広げます。新しい公式を別々に覚えるだけでなく、すでに求められる形に戻す見方を育てましょう。

基本の考え方

底辺と高さを決め、長方形に戻します

面積を求めるとは、1 cm² の正方形が何個分入るかを考えることです。長方形なら、横に並ぶ個数と、たてに並ぶ個数をかければ全体の個数になります。斜めの辺をもつ図形でも、切った部分をすき間なく移して長方形にできれば、この考えを使えます。

平行四辺形では、向かい合う辺がそれぞれ平行です。1つの辺を底辺にすると、高さはその底辺と向かい合う辺の間を垂直に測った長さになります。平行な2本の線の間は、どこで垂直に測っても同じ幅です。紙の下側にある辺だから底辺なのではなく、選んだ辺を基準に高さを決めます。

図1の左の平行四辺形を見てください。左端の三角形を高さの線で切り取り、右端へそのまま移すと、図1の右の長方形になります。緑の三角形が移した部分で、残りの部分は同じ形です。紙を増やしたり捨てたりしていないので、面積は変わりません。

できた長方形の横の長さは、もとの平行四辺形の底辺と同じです。たての長さは、もとの高さと同じです。そのため、平行四辺形の面積は「底辺 × 高さ」で求められます。図1では底辺が 8 cm、高さが 4 cm なので、8 × 4 = 32、面積は 32 cm² です。

このように面積を変えずに形を変えることを、等積変形といいます。名前だけを覚えるより、移す前後でどの部分が対応しているかを確かめることが役立ちます。切り取った三角形を裏返したり伸ばしたりする必要はありません。図1なら右へずらすだけで、同じ三角形が空いている部分に収まります。

ただし、どんな平行四辺形でも、図1と同じ場所を1回切れば同じように長方形になるとは限りません。大きく傾いた形では切り方を工夫します。公式を使うときに変わらないのは、底辺に対して垂直な高さを使うという点です。

三角形と台形は、2枚分から1枚分へ戻します

三角形は、同じ形と大きさのものをもう1枚用意して回転させ、辺を合わせると平行四辺形を作れます。できた平行四辺形の底辺と高さは、もとの三角形の底辺と高さに対応します。平行四辺形には三角形が2枚入っているため、1枚分は「底辺 × 高さ ÷ 2」です。

ここで「÷ 2」は、求めたい三角形が2枚分の半分だから必要になります。3本の辺があるから割るのではありません。三角形が横長でも細長くても、同じように2枚で考えられるので、同じ公式を使えます。直角三角形なら、直角をはさむ2辺を底辺と高さとして使うと見つけやすくなります。

三角形の高さは、底辺と向かい合う頂点から、底辺のある直線まで垂直に測った長さです。垂直に下ろした線が三角形の内側に入る場合も、外側に出る場合もあります。「底辺のある直線」と考えることが、外側の高さを見つける手がかりです。

台形では、平行な2つの辺を上底、下底と呼びます。ふつうは図の上側の辺を上底、下側の辺を下底としますが、上底が必ず短いとは限りません。高さは、この平行な2辺の間を垂直に測った長さです。左右の斜めの辺を足しても、面積の公式に使う長さにはなりません。

同じ台形をもう1枚用意し、回転させて斜めの辺を合わせると、平行四辺形ができます。その底辺には、もとの上底と下底が横に並びます。高さはもとの台形の高さと同じです。したがって2枚分の面積は「（上底 + 下底）× 高さ」、1枚分は「（上底 + 下底）× 高さ ÷ 2」になります。

式のかっこは、平行四辺形の底辺に当たる長さを先に作るためのものです。お子さまがかっこを忘れたら、「2枚を並べたとき、下に並ぶ2つの長さはどれかな」と問いかけます。計算の約束と、図の中で長さを合わせる操作とをつなげて確認できます。

ひし形は対角線、複合図形は分ける線に注目します

ひし形は4つの辺の長さが等しい四角形です。向かい合う頂点どうしを結んだ線を対角線といい、ひし形の2本の対角線は垂直に交わります。また、交わった点で、それぞれが半分に分かれます。この性質を使うと、ひし形の面積は「一方の対角線 × もう一方の対角線 ÷ 2」で求められます。

理由を確かめるには、一方の対角線でひし形を2つの三角形に分けます。2つの三角形は底辺が共通です。それぞれの高さを合わせた長さが、もう一方の対角線になります。2つの三角形の面積を合わせると、対角線どうしをかけたものの半分になるわけです。

たとえば対角線が 8 cm と 6 cm なら、8 × 6 ÷ 2 = 24 で、面積は 24 cm² です。8 cm の対角線を底辺にして分けた三角形は、それぞれ高さが 3 cm なので、8 × 3 ÷ 2 = 12 となります。この2つを合わせても、12 + 12 = 24 です。対角線全体の 6 cm を、片方だけの三角形の高さにしないようにします。

ひし形は平行四辺形の仲間でもあります。もし1辺の長さと、その辺に対応する高さがわかっていれば、「底辺 × 高さ」でも面積を求められます。問題に対角線が書いてあるか、高さが書いてあるかによって、使いやすい公式を選びます。辺と対角線を混ぜてかけないことが肝心です。

長方形と三角形をつないだような複合図形には、その全体の形に対する新しい公式を作る必要はありません。知っている形に分け、重なりなく足せば求められます。逆に、大きな長方形の一部が欠けている形なら、大きな面積から欠けた部分を引く方法も使えます。補助線は、長さと高さがわかる形を作るために引きましょう。

例題で解き方を確かめる

例題1　平行四辺形の面積を求めます

底辺が 8 cm、高さが 4 cm の平行四辺形があります。面積を求めましょう。形と長さは図1の左側と同じです。まずは斜めの辺を測らずに、問題文で与えられた底辺と高さを図の上で確かめます。

1. 底辺の 8 cm を指し、その底辺と直角になる高さの 4 cm を探します。公式に入れるのは、この組になった2つの長さだからです。
2. 8 × 4 と立式します。切って長方形にすると、横が 8 cm、たてが 4 cm になることが理由です。
3. 8 × 4 = 32 と計算し、面積の単位を添えます。辺の長さを答える問題ではないため、cm² を使います。

答え：32 cm² です。

ここで紙を回しても、平行四辺形の広さは変わりません。ただし、別の辺を新しい底辺に選んだときには、その辺に対して垂直な高さを取り直します。もとの 4 cm を、どの辺にも使える高さだと考えないことが、向きの違う問題への準備になります。

例題2　三角形の面積と「半分」を確かめます

底辺が 10 cm、高さが 6 cm の三角形があります。面積を求めましょう。高さは、底辺と向かい合う頂点から底辺のある直線へ垂直に下ろして測ったものとします。三角形のほかの2辺の長さはわからなくても解けます。

1. 10 cm を底辺、6 cm をそれに対応する高さとして確認します。面積はこの2つで決まり、斜めの辺の長さを探す必要がないからです。
2. 10 × 6 = 60 と計算します。この 60 cm² は、同じ三角形を2枚使って作った平行四辺形の面積です。
3. 60 ÷ 2 = 30 と計算します。求めたいのは三角形1枚分なので、最後に半分にします。

答え：30 cm² です。

まとめて書くなら、10 × 6 ÷ 2 = 30 です。答えが 60 cm² になった場合は、かけ算の計算そのものではなく、どの形の面積を求めたところで止まったかを見ます。「今の 60 は1枚分かな、2枚分かな」と聞くと、式の続きを自分で見つけやすくなります。

例題3　台形の平行な2辺を使います

上底が 4 cm、下底が 10 cm、高さが 4 cm の台形があります。面積を求めましょう。上底と高さが同じ数ですが、指している場所は違います。数だけを眺めず、平行な辺なのか、それらの間の垂直な長さなのかを区別します。

1. 上底と下底を足して、4 + 10 = 14 と求めます。同じ台形を2枚合わせた平行四辺形の底辺を作るためです。
2. 14 × 4 = 56 と計算します。高さは 4 cm のままなので、これで台形2枚分の面積になります。
3. 56 ÷ 2 = 28 と計算します。2枚分から1枚分へ戻すため、2で割ります。

答え：28 cm² です。

1つの式では、（4 + 10）× 4 ÷ 2 = 28 と書きます。大きさの見当をつけるなら、同じ高さで横が 4 cm の長方形の面積 16 cm² と、横が 10 cm の長方形の面積 40 cm² の間になっていることも確認できます。正しく立式してから、答えの大きさにも目を向けると、計算途中の取り違えに気づけます。

例題4　家の形を長方形と三角形に分けます

図2のように、横 8 cm、たて 4 cm の長方形の上に、底辺 8 cm、高さ 3 cm の三角形をつないだ形があります。2つの形は辺で接しており、重なっていません。全体の面積を求めましょう。屋根の頂点から一番下までの高さは、4 + 3 = 7 cm です。

図2の点線は、長方形と三角形の境目です。上の三角形の高さは点線までの 3 cm で、下の長方形の 4 cm は含みません。全体の高さが書かれた問題では、どこからどこまでが各部分の高さなのかを、この境目で分けて考えます。

1. 点線で長方形と三角形に分けます。どちらも底辺や高さがわかり、知っている公式をそのまま使えるからです。
2. 長方形の面積を、8 × 4 = 32 と求めます。下の部分だけを計算するので、高さには 4 cm を使います。
3. 三角形の面積を、8 × 3 ÷ 2 = 12 と求めます。点線の長さは長方形の横と同じ 8 cm だからです。
4. 32 + 12 = 44 と合わせます。2つの部分に重なりも抜けもないので、面積を足せば全体になります。

答え：44 cm² です。

別の確かめ方もあります。図形の外側を横 8 cm、たて 7 cm の長方形で囲むと、面積は 8 × 7 = 56 です。図2では頂点が横の真ん中にあるので、上の左右に残る部分は、それぞれ底辺 4 cm、高さ 3 cm の直角三角形です。1つの面積は 4 × 3 ÷ 2 = 6、2つ分は 6 + 6 = 12 となり、56 – 12 = 44 と確かめられます。

どちらの方法でも、何を足したか、何を引いたかを図の中で指せることが大切です。最初から長い1本の式にせず、各部分の面積を書いてから合わせると、計算の意味が残ります。慣れてきたら、8 × 4 + 8 × 3 ÷ 2 = 44 と1つにまとめてもよいでしょう。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　斜めの辺を高さとしてかけます

誤った書き方は「平行四辺形の面積 = 底辺 × 斜めの辺」です。斜めの辺と底辺が直角でないなら、その辺は高さではありません。図1の斜めの辺は、上下だけでなく横にも進んでいます。高さは、底辺と向かい合う辺までを垂直に測った長さです。

正しい書き方は「平行四辺形の面積 = 底辺 × その底辺に対応する高さ」です。図1なら 8 × 4 = 32 とします。保護者の方は、いきなり数を直すより「選んだ2本の線に、直角の印をつけられるかな」と尋ねてみてください。図に直角の印がない場合も、問題文の「高さ」という条件を読み直すことで判断できます。

三角形でも同じ確認が必要です。図3のように、頂点が底辺の端より右にあると、高さは三角形の外側に出ます。底辺を点線で延ばし、頂点からその直線へ垂直に下ろした赤い線が高さです。外側にあるから使えない、ということはありません。

図3で面積を求める底辺は、紺色の 6 cm の部分だけです。点線で延ばした部分は、高さを測るための補助線であり、底辺に足しません。正しい式は 6 × 4 ÷ 2 = 12 です。底辺を延ばす操作と、底辺の長さを増やす操作を分けて考えましょう。

誤り2　三角形の「÷ 2」を落とし、ひし形では余分に割ります

例題2で「10 × 6 = 60 cm²」と答えるのは、三角形2枚分で止まった書き方です。どこが違うかを確かめるには、2枚で作った平行四辺形と、求めたい1枚を区別します。正しくは「10 × 6 ÷ 2 = 30」で、答えは 30 cm² です。

一方、対角線が 8 cm と 6 cm のひし形で「8 × 6 ÷ 2 ÷ 2 = 12」とするのも誤りです。対角線を2本とも使う公式では、最初の「÷ 2」でひし形全体の面積になっています。正しくは「8 × 6 ÷ 2 = 24」です。図形が三角形に分かれるからといって、分けた数だけ続けて割るわけではありません。

「今の計算結果はどの部分の広さか」を毎回指せると、余分な計算を防げます。途中の数の横に「2枚分」「ひし形全体」など短く書く方法も有効です。公式の記憶があいまいなときほど、何枚分を求めたのかに戻ります。

誤り3　複合図形で全体の高さを各部分に使います

例題4で「8 × 4 + 8 × 7 ÷ 2 = 60」と書くのは誤りです。7 cm は図形全体の高さであり、上の三角形だけの高さではありません。下の長方形の高さまで三角形の計算に含めてしまっています。計算順序が正しくても、式に入れる長さが違えば答えは合いません。

正しい書き方は「8 × 4 + 8 × 3 ÷ 2 = 44」です。もし問題文に全体の高さ 7 cm と長方形の高さ 4 cm だけが示されていたら、先に 7 – 4 = 3 として屋根の高さを求めます。図2の点線を境に、高さをどこまで測るかを確認すると直せます。

引き算で求める場合にも、囲んだ長方形から何を除くのかを塗り分けます。線で接しているだけの部分は、面積が重なっているわけではありません。重なりがある図なら、同じ広さを2回足していないかを点検します。分ける線を引いたあとに、全体がちょうど覆われているかを見る習慣をつけましょう。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

式を書く前に、底辺と高さ、または対角線を言葉で確認してください。各問題では示された長さを使い、答えに単位をつけます。計算が終わったら、途中で出た数がどの部分の面積なのかも説明してみましょう。

練習1

底辺が 7 cm、高さが 5 cm の平行四辺形の面積を求めましょう。なぜ2で割らなくてよいかも、長方形へ形を変える考え方を使って説明してください。

練習2

図3の三角形は底辺が 6 cm、高さが 4 cm です。面積を求めましょう。高さが外側に出ていることに注意し、底辺として使う範囲を図の中で指してください。

練習3

2本の対角線の長さが 12 cm と 8 cm のひし形があります。面積を求めましょう。12 cm の対角線で2つの三角形に分けた場合、片方の三角形の高さと面積はいくつになるかも考えてください。

練習4

上底が 3 cm、下底が 9 cm、高さが 5 cm の台形の面積を求めましょう。同じ台形を2枚合わせた平行四辺形の底辺と高さを、計算の前に確かめてください。

答えと解説

練習1の答えは 35 cm² です。7 × 5 = 35 と求めます。平行四辺形は切った部分を移して、同じ面積の長方形に変えられます。2枚分に増やしていないため、2で割る必要はありません。

練習2の答えは 12 cm² です。6 × 4 ÷ 2 = 12 と求めます。高さの足が底辺の延長上にあっても、底辺は紺色の 6 cm の部分です。点線の部分を底辺に加えないようにします。

練習3の答えは 48 cm² です。12 × 8 ÷ 2 = 48 と求めます。対角線で分けた片方の三角形の高さは 8 ÷ 2 = 4 cm、面積は 12 × 4 ÷ 2 = 24 cm² です。もう片方と合わせると、24 + 24 = 48 cm² になります。

練習4の答えは 30 cm² です。（3 + 9）× 5 ÷ 2 = 30 と求めます。2枚合わせた平行四辺形の底辺は 3 + 9 = 12 cm、高さは 5 cm なので、2枚分が 12 × 5 = 60 cm²、1枚分が 60 ÷ 2 = 30 cm² です。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

面積を知っている形へ戻して考える方法は、この先の円の面積などにもつながります。また、立体の体積を求めるときには、底面の面積を使います。三角形や台形の面積を確かめる力は、平面の問題だけで終わりません。どの面や部分を計算したかを図と式で対応させる姿勢が、そのまま役立ちます。

家庭での1つ目の確かめ方は、5分でできる「高さ探し」です。紙に三角形を1つかき、底辺にする辺を指で押さえます。次に、向かい合う頂点から底辺のある直線へ垂直な線を引きます。紙を回して同じ辺を底辺に選び直しても、高さの線が同じになるか確認します。定規の直角の角や三角定規を使うと、見た目だけで決めずに済みます。

2つ目は、別の5分で行う「面積を変えない切り移し」です。方眼紙に図1のような平行四辺形をかき、左端の三角形を切って右へ移します。すき間や重なりがなく長方形になるかを確かめ、切る前後で横と高さがどこに当たるかを話します。面積の公式を先に言わせるより、移した部分が残っていることを確かめてください。

個別指導では、式が合わないときに、まず底辺と高さを選ぶところへ戻ります。そこがまだ難しければ、1 cm² の正方形を数える活動や長方形のたてと横の確認まで戻り、図のどの量をかけているのかを確かめます。

まとめ

面積の問題で手が止まったときは、まだ書ける線が1本あります。それは底辺に垂直な高さの線かもしれませんし、知っている2つの形に分ける補助線かもしれません。線を引いたあとに「この部分がこの計算」と結びつけば、式を選ぶ根拠を自分の言葉で示せます。

正しい数値が出たかに加えて、使った高さがどこにあり、最後の「÷ 2」が何を半分にしたのかまで説明できるかを確かめてみてください。白板の前で迷った図も、底辺を選ぶところから読み直せます。面積の式は、図のどの広さを数えたかを説明する言葉です。