【小1算数】たし算とひき算を図解で総まとめ—くり上がり・くり下がりの考え方｜武蔵野個別指導塾

8 + 5で10をつくるさくらんぼ計算と、13 − 8で10からひく手順を図で確かめます。文章題の式の選び方から、家庭で試せる練習問題まで順に取り組めます。

よくあるのは、夕方の台所のテーブルで、宿題の8 + 5を前に指を折り、途中で数がわからなくなって最初から数え直すという場面です。8まではすぐに用意できても、そこへ5を合わせると両手の指だけでは足りません。保護者が「10をつくればいいよ」と声をかけても、お子さまには、どの数を動かしてよいのかが見えていないことがあります。

そこで確かめたいのは、答えを覚えているかだけではありません。5を2と3に分けても、もとの5個は変わらないこと。8に2を合わせると10になり、まだ3が残っていること。この小さなつながりが見えると、指で1個ずつ数えなくても計算を進められます。

たし算とひき算では、数の動きを言葉、もの、図、式で表します。最初は実物を動かし、次に図を指し、最後に式だけで考えていけば十分です。くり上がりとくり下がりの手順に加えて、文章のどこを読めば式を選べるのか、答えをどう確かめるのかまで、順にたどっていきましょう。

この単元で身につけること

• 「あわせていくつ」をたし算で表します。別々の場所にある数を合わせる場合と、あとから増える場合の両方を考えます。
• 「のこりはいくつ」をひき算で表します。はじめの数、取り去る数、残る数を区別して、式の順番を決めます。
• 10をつくる組み合わせを使います。8には2、7には3というように、あといくつで10になるかを考えます。
• 数を分けて、くり上がりとくり下がりを計算します。分けた数を一方だけ使って終わらず、残した数も最後まで扱います。
• たし算とひき算のつながりで答えを確かめます。残った数と取り去った数を合わせると、はじめの数に戻ることを使います。
• 文章から数の役割を読み取ります。見つけた数字を順に並べるだけでなく、何を求める問題かを短い言葉で説明します。

前の単元で学ぶ「いくつといくつ」や「10のまとまり」が、ここでの計算の土台になります。たとえば6を2と4に分けることが難しいときは、くり上がりの手順を繰り返す前に、6個のものを2つの場所に分けるところへ戻ります。計算に使う数の分け方を、目で確かめられる状態にしておくためです。

基本の考え方

たし算は、別々の数を合わせて考えます

赤いおはじきが4個、青いおはじきが3個あります。全部で何個かを知りたいときは、4 + 3 = 7と書きます。+は数をたすしるし、=は左と右が同じ数であることを表すしるしです。「4たす3は7」と読み、答えは7個になります。

図1のように、別々のまとまりを1つの枠に入れると、全部を数える意味が見えます。左右のおはじきを合わせても、新しいおはじきがどこかから生まれるわけではありません。もともとあった4個と3個を、ひとまとまりとして見ているのです。

図1では、下の枠にある紺の4個と橙の3個が、上のそれぞれのまとまりに対応しています。最初は下の7個をすべて数えてもかまいません。慣れたら4個のまとまりをもう一度数えずに、そこから「5、6、7」と3個分を続けて数えてみます。最初から数える方法と、続けて数える方法が同じ答えになることを確かめます。

たし算には、はじめからあるものへ、あとから増える場面もあります。「おはじきが4個あります。3個もらいました。何個になりましたか」も4 + 3です。この場合、4ははじめの数、3は増えた数です。同じ式でも、別々のものを合わせたのか、時間がたって増えたのかを言葉で説明できると、文章題を読み取りやすくなります。

保護者の声かけは、「はじめにいくつあるかな。どの分を合わせるのかな」とすると、数を指しながら答えられます。「たし算でしょう」と式を先に教えるより、ものがどう動くかをお子さまに話してもらうと、理解しているところが見えます。答えを言えなくても、2つのまとまりを寄せられるなら、場面の意味はつかみ始めています。

ひき算は、全体から一部分を取り去って考えます

おはじきが7個あり、3個を箱にしまうと、手元に残るのは4個です。式は7 − 3 = 4と書きます。−は数をひくしるしです。「7ひく3は4」と読みます。はじめにあった7から、取り去った3をひくので、残った4が答えになります。

ひき算では、式の最初の数が全体を表しているかを確かめます。3個をしまったからといって、3を式の最初に書くわけではありません。「7個のうち、3個をしまった」という関係を、7 − 3の順で表します。図1の下の枠から橙の3個を外すつもりで見ると、紺の4個が残ることも確かめられます。

ひき算は、2つの数の違いを調べるときにも使えます。赤いおはじきが7個、青いおはじきが3個あるとき、1個ずつ組にすると、赤だけが4個残ります。「赤は青より何個多いですか」の式も7 − 3です。何かを捨てたり食べたりしない文章でも、対応させたあとに余る分を求めるなら、ひき算を使います。

ここで、7 − 3 = 4の答えに、取り去った3をたすと、4 + 3 = 7になります。これが、たし算とひき算のつながりです。7個を4個と3個に分けて見ているので、全体を求めるときにはたし、一方の部分を求めるときにはひきます。式が別々の約束なのではなく、同じものの集まりを見直していると考えられます。

0のある計算も、ものを動かして確かめられます。5個あって1個も取り去らなければ5 − 0 = 5です。5個を全部取り去れば5 − 5 = 0になります。0は「何も残っていない」ことを数で表しています。空になった場所も指して確かめると、答えを書き忘れた状態と0を答えとして書くことの違いが伝わります。

10のまとまりを使うと、数え直さずに考えられます

10をつくる組み合わせは、1と9、2と8、3と7、4と6、5と5です。左右を入れ替えても合わせた数は10になります。数字だけで覚えにくい場合は、10個並べたおはじきの一部分を紙で隠し、見えている数から隠れた数を考えます。見える8個と隠れた2個で、全部が10個になることを確かめます。

8 + 5では、8を10にするために2が必要です。そこで5を2と3に分け、先に8 + 2 = 10とします。まだ使っていない3をたすと、10 + 3 = 13です。1が10個集まって10のまとまりができる、この計算がくり上がりのあるたし算です。ここでは筆算の形を急いで教えず、「10と、あといくつか」に分けて見ます。

13 − 8では、13を10と3に分けます。3個だけのところから8個を取り去ることはできないので、10のまとまりから8をひきます。10 − 8 = 2のあと、残しておいた3を合わせ、2 + 3 = 5となります。10のまとまりをばらして計算する、くり下がりのあるひき算です。たし算でもひき算でも、数を分けたあとに使っていない部分を見失わないことが要になります。

例題で解き方を確かめる

例題1　2つの皿にある数を合わせます

問題です。片方の皿にいちごが4個、もう片方の皿にいちごが3個あります。いちごは、あわせて何個ありますか。最初に、何を数える問題かを読みます。この問題では皿の枚数ではなく、皿にのっているいちごの個数を求めます。

1. 求めるものを「全部のいちご」と言います。2つの皿に分かれているいちごを、1つの集まりとして数えるからです。
2. 式を4 + 3と書きます。片方の4個に、もう片方の3個を合わせるので、たし算を選びます。
3. 4から3個分を続けて数えます。「5、6、7」と進めると、4 + 3 = 7になります。はじめの4を数え直す必要はありません。
4. 答えに「個」をつけます。式の7は、いちごの数を表しているためです。

答え：7個です。

ここで「皿が2枚あるから2もたす」と言った場合は、皿といちごを実際に指し分けます。違うものの数を、同じものの数として合わせることはできません。文章に数字がいくつ出てきたかではなく、その数字が何を数えたものなのかに目を向けます。

例題2　8 + 5を、10をつくって計算します

問題です。8 + 5を計算しましょう。図2のように、5から枝を2本出して2と3に分けます。この形はさくらんぼ計算と呼ばれます。枝の先の数をたすと、枝のもとの5になることを先に確認します。

1. 8にあといくつたすと10になるかを考えます。8 + 2 = 10なので、5の中から2を使えばよいとわかります。
2. 5を2と3に分けます。2を使ったあとに残る数が3であり、2 + 3 = 5と元へ戻せるためです。
3. 先に8と2を合わせます。8 + 2 = 10とすれば、10のまとまりができます。
4. 10に残りの3をたします。10 + 3 = 13なので、もとの8 + 5の答えも13です。

答え：13です。

図2の緑の2は、8を10にするために使う分です。橙の3は、10をつくったあとにたす分です。図を指しながら「5を2と3。8と2で10。10と3で13」と言ってみます。長い説明を一度に覚えなくても、指している数と短い言葉が合っていれば、手順を追えます。

5を1と4や、4と1に分けても、数の分け方としては間違いではありません。ただし、8と合わせて10をつくる目的には、2と3が使いやすい分け方です。「分け方は合っているね。8を10にするにはどちらの数が必要かな」と尋ねると、なぜ2を選ぶのかに戻れます。さくらんぼの枝を埋めることだけを目的にしないようにします。

なお、8のほうを3と5に分け、5と5で10をつくってから3をたす方法でも13になります。お子さまがその方法を説明できれば、誤りではありません。初めは学校で扱っている分け方にそろえて練習すると、ノートの手順を追いやすくなります。どの方法でも、もとの数が全部使われているかを確かめます。

例題3　13 − 8を、10からひいて計算します

問題です。13 − 8を計算しましょう。13個を1個ずつ後ろ向きに数える方法もありますが、途中で数えた回数がわからなくなることがあります。ここでは13を10と3に分け、10から8をひく方法を使います。

1. 13を10と3に分けます。10のまとまりを使うと、8をまとめてひけるからです。10 + 3 = 13と確かめます。
2. 10から8をひきます。10 − 8 = 2なので、10のまとまりの中には2が残ります。
3. 残った2に、最初から別にしていた3をたします。3の分は一度もひいていないので、そのまま残っているからです。2 + 3 = 5になります。
4. 5にひいた8をたして確かめます。5 + 8 = 13と元の数に戻るので、残りは5でよいとわかります。

答え：5です。

この例題で「ひき算なのに、最後はたし算でいいの」と聞かれることがあります。13個のうち8個を取り去る操作は、すでに10 − 8で終わっています。最後のたし算は、2か所に分かれて残っているものを集める操作です。問題全体がひき算でも、残りをまとめるためにたし算を使うことは矛盾しません。

別の考え方として、8を3と5に分け、13 − 3 = 10、10 − 5 = 5と順にひく方法もあります。この方法では、ひく8を分けています。先ほどの方法では、ひかれる13を分けています。最初の学習で両方を混ぜると残した数の役割が変わってしまうため、まず一方をものや図で説明できるようにします。

例題4　「使いました」とあっても、求めるものを読みます

問題です。色紙を6枚使ったら、7枚残りました。はじめに色紙は何枚ありましたか。「使った」という言葉だけでひき算と決めず、聞かれているのが残りなのか、はじめの数なのかを確かめます。

1. わかっている数を整理します。6枚は使った分、7枚は残った分です。はじめにあった全部の数は、まだわかっていません。
2. 使った6枚を、残った7枚のところに戻すつもりで考えます。この2つを合わせると、使う前の全部になるからです。式は6 + 7です。
3. 6を10にするために、7を4と3に分けます。6 + 4 = 10、10 + 3 = 13なので、はじめの数は13です。
4. 問題の順に戻って確かめます。13枚から6枚使うと13 − 6 = 7で、文章の「7枚残りました」と合います。

答え：13枚です。

この問題では、式をたてるまでと、式を計算するところを分けて見ます。6 + 7を選べていて答えが違うなら、数の分け方を確かめます。6 − 7や7 − 6を選んでいるなら、計算練習の前に「使った分」と「残った分」を2つの場所に置きます。求めたい全体がどこにあるのかを見直すことが、直す手がかりになります。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　続けて数えるとき、はじめの数も数えます

誤った書き方は「4 + 3 = 6」です。4から「4、5、6」と3回声に出すと、この答えになりやすくなります。どこが違うかというと、はじめの4はすでにある数であり、1個増えたあとの数ではない点です。正しい書き方は「4 + 3 = 7」です。

4個のおはじきを置いたあと、別の3個を1個ずつ動かします。最初の1個を加えた瞬間に「5」、次に「6」、最後に「7」と声を合わせます。おはじきの動きと声が1回ずつ対応していれば、増やした3個と数えた3回がそろいます。「4の次から数えて」と言うだけで直らないときに試しやすい確かめ方です。

誤り2　10をつくったあと、分ける前の数をもう一度たします

誤った書き方は「8 + 5 = 15」です。5を2と3に分けて8 + 2 = 10まではできても、そのあと10 + 5 = 15としてしまう場合です。どこが違うかというと、5のうち2はすでに10をつくるために使っているので、もう一度5全部をたすと2を重ねて数える点です。正しい書き方は「8 + 5 = 13」です。

図2に戻り、使った2を指で押さえて、まだ使っていない3を探します。途中の式は8 + 2 = 10、10 + 3 = 13と別々に書きます。8 + 5 = 10 + 3 = 13と書くことはできますが、8 + 5 = 10 = 13とは書けません。=の左右は同じ数でなければならず、10だけでは残りの3が含まれていないからです。

さくらんぼの枝を書くのに時間がかかる場合でも、初めから省略させる必要はありません。まず、分けた数の合計がもとの数になるかを確かめ、次にどちらを使ったかを指します。途中を話せるようになれば、必要なときだけ枝を書く形へ少しずつ移れます。

誤り3　10からひいた残りだけを、答えにします

誤った書き方は「13 − 8 = 2」です。どこが違うかというと、10 − 8 = 2の計算自体は合っていますが、13のうち別にしておいた3が残っている点です。正しい書き方は「13 − 8 = 5」で、最後に2 + 3 = 5と残りを合わせます。

図3のように、10個の枠のうち8個に線を引いても、枠の右にある3個は消えません。線を引いたものが取り去った8個、枠の中の2個と右の3個が残ったものです。色だけに頼らず、線が引いてあるかどうかでも区別して見ます。

図3を使うときは、「2個残ったのはどこの中かな。右の3個はどうなったかな」と尋ねます。答えが2になるのは、10個の枠の中だけを見た場合です。問題が聞いているのは13個全体から8個を取り去った残りなので、線のないものを全部合わせます。図の範囲と問題の範囲をそろえると、最後にたす理由が見えます。

5と答えられたら、今度は残りの5個と線を引いた8個を合わせて数えます。13個に戻る確かめができれば、たし算とひき算の関係も使えています。速さだけで合否を決めず、どのものが式のどの数なのかを指せるかまで見ると、同じ誤りを直す手順が具体的になります。

練習問題

紙に式と答えを書き、数を分けた問題では分け方も残してみましょう。途中で止まった場合は、すぐに答えを見ず、おはじきや小さな丸の絵を使ってよいことにします。計算を暗記しているかだけでなく、なぜその式になるか、どの数を使い終えたかを確かめるための練習です。

練習1

9 + 4を計算しましょう。9を10にするために、4をどの2つの数に分けるとよいでしょうか。分け方と答えを両方書きます。

練習2

12 − 7を計算しましょう。12を10と2に分け、10から7をひく方法を使います。10からひいたあと、何をたすのかも言ってみましょう。

練習3

みかんが15個あります。6個食べました。残りは何個ですか。式と答えを書いたら、残りと食べた分を合わせて、はじめの数に戻るか確かめましょう。

練習4

箱の中の積み木から8個出したら、4個残りました。はじめに箱には積み木が何個ありましたか。8と4がそれぞれどの部分の数かを説明してから、式を書きましょう。

答えと解説

練習1の答えは13です。4を1と3に分けます。9 + 1 = 10、10 + 3 = 13です。9にはあと1で10になるので、先に1だけを使います。最後にたすのはもとの4ではなく、使わずに残した3です。

練習2の答えは5です。12を10と2に分け、10 − 7 = 3と計算します。残しておいた2をたして、3 + 2 = 5です。確かめは5 + 7 = 12です。10の中に残った3と、もとから別にしておいた2を区別して説明できれば、手順の意味をつかめています。

練習3の式は15 − 6 = 9で、答えは9個です。15を10と5に分け、10 − 6 = 4、4 + 5 = 9と計算します。残った9個と食べた6個を合わせると、9 + 6 = 15になります。答えに「個」をつけ、何の数を求めたのかまで示します。

練習4の式は8 + 4 = 12で、答えは12個です。8は取り出した分、4は箱に残っている分なので、合わせればはじめの数になります。4を2と2に分け、8 + 2 = 10、10 + 2 = 12と考えられます。12 − 8 = 4と確かめると、文章の残りと一致します。

丸つけでは、式と答えを分けて見ます。式が合っている問題で計算だけを間違えたときは、10をつくる組み合わせを確かめます。式を選び違えた問題では、出てきた数字を囲むだけでなく、「はじめ」「出した」「残った」という言葉を数のそばに書きます。どちらで止まったのかによって、戻る場所を変えましょう。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

10をつくるたし算と、10をばらすひき算は、この先の筆算にもつながります。多くの教科書では小2で学ぶ筆算でも、1が10個集まると10のまとまりにし、必要なら10のまとまりをばらします。今の段階で、10をまとまりとして見ながら、必要に応じて分けられることが土台になります。

家庭では、5分ほどで次の2つを試せます。1つ目は、10個のおはじきの一部分を隠す遊びです。見えている数を伝え、隠れた数を答えてもらったら、紙を外して確かめます。答えるのに時間がかかる組み合わせだけを、数回扱えば十分です。

2つ目は、13個のおはじきから8個を取り去る操作です。先に10個と3個に分けておき、10個のほうから8個を動かします。「この3個は使ったかな」と聞き、残りを集めてもらいます。同じ場で5個と8個を合わせて13個に戻すと、計算の確かめまでできます。

個別指導では、式の意味が読み取れないときは実物の操作へ、数の分け方で止まるときは「いくつといくつ」へ戻って確かめます。正答したあとも、使った数と残した数を指し分けられるかを見ることで、次に図を省いてよいかを判断します。

まとめ

夕方のテーブルで鉛筆が止まったとき、答えをすぐ伝えなくても、分けた数の置き場所を見直すことはできます。「10はつくれたね。そのあとに残っているのはどれかな」と尋ねると、お子さまが次の一手を選ぶ余地が生まれます。1つの式について、ものを動かした結果と書いた答えがそろうまで確かめてみましょう。

8 + 5で残る3も、13 − 8で残しておく3も、途中で消してよい数ではありません。分けた数の行き先を最後まで説明できた計算には、次の問題を自分で解く足場があります。