【物理】光の干渉と回折を図解で総まとめ—ヤングの実験・回折格子・薄膜 くさび形の干渉｜武蔵野個別指導塾

ヤングの明線間隔から薄膜の反射による位相変化、くさび形とニュートンリングまで、光路を図で追います。4つの例題で、明暗の条件を自分で立てる手順を確かめられます。

よくあるのは、コンビニのイートインで学校のプリントを開き、ヤングの実験では「波長の整数倍で明るい」と解けたのに、薄膜の問題で同じ条件を使うと明暗が逆になってしまう場面です。どちらも光を重ねているので、別々の暗記が必要に見えるかもしれません。しかし、違うのは波の重なり方の法則ではなく、光が通る道と、途中の反射で起こる変化です。

光の干渉では、2つの光が観測点でどの振動の状態になっているかを比べます。道のりが違えば到着時の振動の状態がずれ、反射する境界によっては振動の向きが反転します。この2つを別々に確認すれば、縞の位置も膜の厚さも同じ考え方で求められます。

まず光の進み方を線で描き、次に波長何個分の差があるかを考えましょう。数式を使う前に図へ戻る習慣が、ヤングの実験から円形の干渉縞までをつなぎます。

この単元で身につけること

• 干渉と回折を区別します。干渉は波を重ねたときの強め合い・弱め合い、回折は波がすき間などを通って広がる現象です。回折した光どうしも干渉します。
• 経路差と光路差を使い分けます。同じ媒質中では道のりの差を比べ、屈折率の異なる媒質を含むときは屈折率を掛けた長さを比べます。
• ヤングの実験の明線間隔を導きます。スリット間隔、スクリーンまでの距離、波長のうち、何を変えると縞が広がるかまで説明します。
• 回折格子の明線の方向を求めます。隣り合うすき間から来る光のずれを数え、存在できる次数も判断します。
• 薄膜の反射光の明暗を判定します。反射による位相の変化を調べてから、くさび形の等間隔の縞とニュートンリングの間隔の変化を読み取ります。

物理基礎で学ぶ波の重ね合わせと、この前に学ぶ光の屈折率が出発点です。新しい式を覚えるだけでなく、「同じ振動の状態に戻るには1波長進めばよい」という波の性質を、光の道のりへ置き換えて使います。

基本の考え方

回折した光が重なって明暗をつくります

光が狭いすき間を通ると、その先では光がまっすぐ進む方向だけでなく周囲にも広がります。この現象が回折です。すき間の幅が波長に近いほど広がりは顕著になりますが、幅が波長より大きい場合にも回折は起こります。幅が大きいと広がる角度が小さくなるため、日常では直進する性質が目立ちます。

一方、干渉は、重なった波が強め合ったり弱め合ったりする現象です。山と山、谷と谷が重なれば振幅が大きくなり、山と谷が重なれば振幅が小さくなります。光の場合は、電場などの振動の重ね合わせが明るさに現れます。振幅が等しい2つの光が完全に逆の振動状態で重なると、理想的には打ち消し合って暗くなります。振幅が違う場合には、弱め合っても完全な暗さにはなりません。

位相とは、1回の振動の中で今どの状態にあるかを表す量です。1波長分の道のりの差なら位相は1周分ずれ、到着時には同じ振動状態になります。半波長分の差なら半周分ずれ、山と谷が重なります。光路の計算は、この位相の違いを長さで数える方法です。

安定した縞を見るには、2つの光の振動数が同じで、位相の差が時間とともに不規則に変わらないことが必要です。このように干渉を観測しやすい光を、干渉性のある光といいます。独立した2つの照明を近づけるだけでは、通常、固定された縞にはなりません。ヤングの実験では1つの光源からの光を分けて、位相の関係を保ちやすくします。以下では、同位相で振動する2つのスリットを考えます。

ヤングの実験は2本の道のりを比べます

ヤングの実験は、近接した2つの細いすき間であるスリットに光を通し、遠くのスクリーンで干渉縞を見る実験です。狭い各スリットを通った光が回折して広がるため、スクリーン上の同じ点に2つの光が届きます。明るい縞を明線、暗い縞を暗線と呼びます。

図1のように、上のスリットをS₁、下をS₂とし、間隔をd、スリットの中点からスクリーンまでの垂直距離をLとします。中点の正面をO、Oから上向きにxだけ離れた観測点をPとします。図では道の違いを見やすく描いていますが、後で使う近似式にはLがdと観測範囲の｜x｜より十分大きいという条件が必要です。

図1のPではS₂から来る光のほうが長く進みます。空気中での幾何学的な道のりの差を経路差といい、ここではδ＝S₂P−S₁Pと置きます。三平方の定理から、S₂P²−S₁P²＝(x＋d/2)²−(x−d/2)²＝2dxです。左辺は(S₂P−S₁P)(S₂P＋S₁P)なので、正確にはδ＝2dx/(S₂P＋S₁P)となります。

Lが十分大きければ、2つの道のりの和をほぼ2Lとみなせます。したがってδ≒dx/Lです。別の見方では、観測方向が正面となす角をθとしてδ≒d sinθであり、小さな角度ならsinθ≒tanθ＝x/Lを使えます。遠くのスクリーンと中央付近という条件が、近似を支えています。

波長をλとすると、同位相の光の強め合いはδ＝mλ、弱め合いはδ＝(m＋1/2)λです。ここでmは整数で、符号つきのδを使う場合には負の整数も含めます。よって明線の位置はxₘ≒mλL/d、暗線の位置はx≒(m＋1/2)λL/dです。隣り合う明線の位置の差を取ると、明線間隔はΔx≒λL/dとなります。暗線どうしの間隔も同じで、隣り合う明線と暗線の間隔はその半分です。

中央Oでは経路差が0なので明線になります。λやLを大きくすると縞の間隔が広がり、dを大きくすると狭くなります。dが大きいほど、同じxの変化に対して経路差が大きく変化し、次の強め合いへ早く到達するからです。

光路と反射を分けると薄膜も追えます

屈折率nの媒質中では光の速さはc/nになります。振動数fは境界を越えても変わらないので、真空中の波長λ＝c/fに対し、媒質中の波長はλ/nです。実際の長さℓの中に含まれる波の個数はℓ/(λ/n)＝nℓ/λとなります。このnℓを光路長と呼び、2つの道の光路長の差を光路差と呼びます。異なる媒質を通る光を比べるときにも、真空中の波長λを共通の物差しにできます。

以下では教科書でよく使う近似として空気の屈折率を1とし、空気中の波長を真空中の波長と等しいものとして扱います。光路長を使った式に、さらに媒質中の波長を代入すると、屈折率を二重に数えてしまうので注意が必要です。

光が屈折率の小さい側から大きい側へ進む境界で反射すると、反射光の位相はπ、つまり半周だけ変化します。大きい側から小さい側への反射では、この位相の反転はありません。ここで扱うのは透明な媒質の境界へのほぼ垂直な入射です。光の向きが反射で折れ返ることと、振動の位相が反転することは別の性質です。

空気中に浮かぶ、屈折率nが1より大きい厚さtの透明な膜を考えます。上面ですぐ反射する光と、膜に入り下面で反射して戻る光を比べます。垂直入射では後者は膜を往復するので、伝わることによる光路差は2ntです。一方、上面の反射だけで位相が半周変化します。片方だけが反転するため、反射光の強め合いは2nt＝(m＋1/2)λ、弱め合いは2nt＝mλとなります。ここではm＝0、1、2、…です。

この条件を膜という名前だけで決めてはいけません。膜の下がさらに屈折率の大きい物質なら、比較する2つの光は両方の反射で反転することがあります。両方の反転は相対的には打ち消し合い、その場合は2nt＝mλが強め合いです。片方だけ反転するか、両方とも同じかを調べるのが先です。

斜め入射では、膜内で屈折した角をrとして、伝播による光路差は2nt cos rです。膜内の斜めの往復距離2t/cos rにnを掛けるだけではありません。膜を出た場所が異なる2つの光を同じ波面で比べるため、外側の道のりの差も差し引きます。屈折の法則を使うとその差が2nt sin²r/cos rとなり、残りが2nt cos rです。以下の数値問題は垂直入射、または垂直入射とみなせる場合に限ります。

例題で解き方を確かめる

例題1　ヤングの実験で明線間隔を求める

空気中で、波長λ＝6.00×10⁻⁷ mの単色光を、間隔d＝3.00×10⁻⁴ mの2つのスリットへ同位相で入射させます。スクリーンまでの距離はL＝2.00 mです。中央付近の明線間隔と、中央から片側へ数えて3本目の明線の位置を求めます。中央明線は数に含めません。単色光とは、ここでは1種類の波長の光を指します。

1. まず使える近似を確かめます。Lはdより十分大きく、中央付近を調べるので、経路差をdx/Lと置けます。中央から何本目かという数え方も、式のmと合わせます。
2. 隣り合う明線では経路差がλだけ増えるため、Δx＝λL/dを使います。代入すると、Δx＝(6.00×10⁻⁷)×2.00/(3.00×10⁻⁴)＝4.00×10⁻³ mです。
3. 3本目はm＝3なので、x₃＝3Δx＝1.20×10⁻² mです。位置と間隔を分けて計算すれば、3を掛ける場所がはっきりします。反対側にも対称な位置に明線があります。

答え：明線間隔は4.00 mm、3本目の明線は中央から12.0 mmです。

この結果ではx₃/L＝0.00600となり、中央付近という仮定とも合います。式を使った後に、得られた位置がLに比べて十分小さいか確かめると、近似の使いすぎを防げます。

例題2　回折格子で明線の方向と次数を求める

回折格子は、等間隔に並んだ多数の細いすき間などを利用する器具です。ここでは、1.00 mmあたり5.00×10²本のすき間をもつ透過型の格子に、波長5.00×10⁻⁷ mの光を垂直に入射させます。2次の明線の角度と、格子の式を満たす次数の上限を求めます。

図2のように、隣り合うすき間の中心間隔をdとすると、方向θへ出る平行な光の経路差はd sinθです。図のQは、上のすき間から出る光と同じ位相を比べるために、下の光線上へ下ろした垂線の足です。下のすき間からQまでの長さが、余分に進む距離に当たります。

図2ではこの角度を30°として描いています。d sinθがmλなら、隣り合う光どうしだけでなく、その先のすき間からの光とも位相がそろいます。したがって主な明線の条件はd sinθ＝mλです。mを次数といい、正面は0次、左右へ1次、2次と呼びます。多数の光がそろう方向に明るさが集中するので、回折格子では鋭い明線が得られます。

1. 本数をそのままdに入れず、1本分の間隔へ直します。d＝(1.00×10⁻³)/(5.00×10²)＝2.00×10⁻⁶ mです。dはすき間の幅ではなく、隣のすき間までの中心間隔です。
2. 2次なのでm＝2を代入します。sinθ＝2×(5.00×10⁻⁷)/(2.00×10⁻⁶)＝0.500です。したがってθ＝30.0°となります。左右に対称な方向があるので、角度は正面からの大きさで答えます。
3. 存在範囲を調べるには｜sinθ｜≦1を使います。｜m｜≦d/λ＝4.00なので、整数としての上限は4です。ただし4次はθ＝90°で、光が格子面に沿う極限の方向です。前方の平面スクリーン上の有限の位置には現れません。

答え：2次は正面から左右それぞれ30.0°、式の上では最大4次、前方の有限のスクリーンで扱えるのは最大3次です。

ヤングの中央付近とは違い、30.0°でsinθをtanθに置き換えることはできません。スクリーン上の距離を求める必要があれば、まず角度を出し、その後でx＝L tanθを使います。また、実際の明線の明るさには各すき間の幅による回折も関係するので、この式は明線の方向の条件を与えるものと理解します。

例題3　空気中の薄膜が反射光を強める厚さ

空気中にある屈折率n＝1.50の透明な膜に、波長λ＝6.00×10⁻⁷ mの光を垂直に入射させます。反射光が強め合う最小の正の厚さを求めます。膜の上下はともに空気で、上面の反射光と、膜内で1回反射して戻る光を比べます。

1. 反射の境界を書き出します。上面は空気から膜への反射なので位相が半周変化し、下面は膜から空気への反射なので反転しません。片方だけが反転することから、経路差0で強め合う場合とは条件が逆になります。
2. 膜の往復による光路差は2ntです。片方だけの反転を補って位相をそろえるには、2nt＝(m＋1/2)λと置きます。物理的な厚さtと光路差2ntを区別するために、最初にこの形を書きます。
3. 最小の正の厚さはm＝0です。t＝λ/(4n)＝(6.00×10⁻⁷)/(4×1.50)＝1.00×10⁻⁷ mとなります。mを1増やすたび、同じ強め合いへ戻るための厚さλ/(2n)が加わります。

答え：最小の正の厚さは1.00×10⁻⁷ m、すなわち100 nmです。

白色光にはさまざまな波長が含まれるので、同じ膜厚でも強め合う波長は限られます。膜厚が場所によって変わると、反射して目に届く色も変わります。薄い膜の色は、物質が特定の色を出している場合だけでなく、波長ごとの干渉条件の違いによっても生じます。

例題4　くさび形の空気層からすき間の厚さを求める

2枚のガラス板の片側を接触させ、反対側に薄い物を挟むと、空気層がくさび形になります。接触部から距離ℓ＝5.00×10⁻² mの端での空気層の厚さをhとします。波長λ＝6.00×10⁻⁷ mの光をほぼ垂直に当て、反射光の隣り合う暗線間隔Δx＝1.50×10⁻³ mを得ました。hを求めます。板どうしの角度は十分小さいものとします。

1. 干渉する光を空気層の上下の境界で反射する2本に絞ります。上側の境界ではガラスから空気へ向かう反射で反転せず、下側では空気からガラスへ向かう反射で半周反転します。片方だけなので、反射光の暗線条件は2t＝mλです。
2. 厚さと位置を結びます。接触点からの距離をxとすると、相似な三角形からt/h＝x/ℓ、つまりt＝hx/ℓです。暗線条件へ入れるとxₘ＝mλℓ/(2h)となります。
3. 隣り合う暗線の位置の差を取ります。Δx＝λℓ/(2h)なので、h＝λℓ/(2Δx)＝(6.00×10⁻⁷)×(5.00×10⁻²)/(2×1.50×10⁻³)＝1.00×10⁻⁵ mです。

答え：端の空気層の厚さは1.00×10⁻⁵ m、すなわち10.0 μmです。

くさびの角度を大きくすると、距離xに対する厚さの増え方が急になります。同じ1波長分の往復光路差をつくる距離が短くなるため、縞は狭くなります。この説明は、式の分母にhがあることとも一致します。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　すべての反射光に同じ明線条件を使う

誤った書き方は「薄膜だから2nt＝mλが明線」です。違うのは、膜を往復して生じるずれしか数えていない点です。反射で片方だけ半周ずれると、整数波長分の光路差では逆の位相のまま重なります。

正しい書き方は「反射する向きを2か所とも調べ、片方だけ反転するなら2nt＝mλが暗線」です。両方で反転する場合や両方とも反転しない場合には、2nt＝mλが明線です。光路差をΔとしたとき、伝播による位相差は2πΔ/λです。これに反射による相対的な位相差を加え、全体が2πの整数倍なら強め合い、πの奇数倍なら弱め合いと考えれば、条件を作り直せます。

反射光か透過光かも、問題文で確認します。同じ膜でも観測する光を変えれば、比較する道と反射回数が変わります。吸収のない膜では、反射光の強い条件に対応して透過光は弱くなるので、反射用の条件を透過光へそのまま移すことはできません。

誤り2　くさび形の縞とニュートンリングをともに等間隔にする

誤った書き方は「暗い縞はいつも等間隔なので、円形の縞も半径が等間隔」です。違うのは、厚さが位置によってどう増えるかを無視している点です。くさび形では厚さがxに比例しますが、曲面と平面のすき間ではそうなりません。

ニュートンリングは、曲率半径Rの球面をもつ平凸レンズの凸面を平らなガラス板へ置いたとき、間の薄い空気層によって生じる円形の干渉縞です。曲率半径とは、その曲面のもとになる球の半径です。接触点から横へr離れた所の空気層の厚さをtとすると、球の中心を含む断面でR²＝(R−t)²＋r²です。展開するとr²＝2Rt−t²で、tがRより十分小さいためt²を無視してt≒r²/(2R)を得ます。

図3の左ではくさび形の厚さが一定の割合で増え、右ではニュートンリングの暗線半径が次数の平方根に比例しています。左の断面は厚さ方向を拡大し、例題4の3本の隣り合う暗線位置に対応する厚さを、同一の倍率で描いています。右は上から見た暗線の位置だけを示し、明るさの細かな分布は省いています。

図3の右の場合も、空気層の上下の反射で片方だけ位相が反転します。ほぼ垂直な入射の反射光では2t＝mλが暗線条件なので、rₘ²≒mλRとなります。m＝0は接触点に当たり、中心は暗くなります。正しい書き方は「暗線の半径の2乗が等間隔で増える」です。rₘ₊₁²−rₘ²＝λRが一定なので、外へ行くほど半径そのものの増分は小さくなり、輪の間隔が詰まります。

明るい輪は2t＝(m＋1/2)λからr²≒(m＋1/2)λRとなります。中央にほこりなどがあって完全に接触していない場合には、中心の厚さが0ではなくなるため、「中心は必ず暗い」とは言えません。中心が暗いという判断には、接触した空気層の反射光という条件が付いています。

誤り3　縞の本数と間隔の数を同じにする

誤った書き方は「第1明線から第5明線までの距離を5で割れば明線間隔」です。違うのは、両端を含む線の本数と、その間のすき間の数が異なる点です。第1と第5の間には4つの間隔しかありません。

正しい書き方は「x₅−x₁＝(5−1)Δx＝4Δx」です。線を短い目盛りとして実際に描き、間の区切りを数えると修正できます。くさび形でも同じ注意が必要ですが、ニュートンリングではさらに半径の差ではなく半径の2乗の差を使います。写真で直径を測ったときは、半径が直径の半分であることも先に式へ反映させます。

練習問題

練習1　縞の移動ではなく間隔の変化を読む

ヤングの実験で、λ＝5.00×10⁻⁷ m、L＝1.50 m、d＝2.50×10⁻⁴ mとします。中央付近の明線間隔を求めてください。また、Lとλを変えずdだけを2倍にしたときの明線間隔も求めてください。2つのスリットからの光は同位相です。

練習2　回折格子の1次の明線を読む

空気中で、1.00 mmあたり4.00×10²本のすき間をもつ格子に、波長6.25×10⁻⁷ mの光を垂直に入射させます。格子間隔dと、1次の明線が正面となす角度θを求めてください。角度は小さいと決めつけず、sinθの値から求めます。

練習3　薄膜の下側の媒質が変わる

屈折率1.50の膜が、屈折率1.80の透明な物質の上にあります。上側の空気から波長6.00×10⁻⁷ mの光を垂直に当てます。上面と下面で反射した2つの光が強め合う、最小の正の膜厚を求めてください。2か所の反射の位相変化も説明します。

練習4　ニュートンリングの暗線半径を読む

曲率半径R＝2.00 mの平凸レンズを平面ガラス板に接触させ、波長λ＝5.00×10⁻⁷ mの光をほぼ垂直に当てます。空気層による反射光を観測するとき、中心を除いた3番目と4番目の暗い輪の半径を求めてください。また、両者の半径の差を求め、外側ほど間隔が詰まることと矛盾しないか考えてください。

答えと解説

練習1の答えは3.00 mm、dを2倍にすると1.50 mmです。Δx＝λL/d＝3.00×10⁻³ mで、dが2倍なら間隔は半分になります。中央明線は経路差0の位置にあるため、スリットを中点に関して対称に動かすなら中央の位置は変わりません。

練習2の答えはd＝2.50×10⁻⁶ m、θ＝14.5°です。d＝(1.00×10⁻³)/(4.00×10²)と換算し、sinθ＝λ/d＝0.250から求めます。格子の本数が増えるほどdは小さくなり、同じ波長・次数の明線の角度は大きくなります。

練習3の答えは2.00×10⁻⁷ mです。空気から膜、膜から下の物質のどちらも、屈折率の小さい側から大きい側への反射なので、2つとも位相が半周変化します。相対的な反転はなく、強め合いは2nt＝mλです。正の最小厚さはm＝1からt＝λ/(2n)となります。例題3の条件と比べると、膜そのものの屈折率が同じでも、下側の媒質で答えが変わるとわかります。

練習4の答えはr₃＝1.73 mm、r₄＝2.00 mm、半径の差は0.268 mmです。rₘ＝√(mλR)を使い、差は丸める前の半径から計算します。1番目の暗い輪は1.00 mm、2番目は1.41 mmで、その差は0.414 mmです。3番目と4番目の差はそれより小さく、外側ほど詰まるという説明と一致します。半径が等間隔でなくても、半径の2乗の差は同じです。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

光の干渉は、光を波として捉える根拠の1つです。この先に学ぶ電磁波では、光の振動の正体を電場と磁場の変化として扱います。また、光の波長と振動数の関係は、さらに後で光のエネルギーを考える際にも使います。今は、屈折しても振動数は変わらず、速さと波長が変わる点を確実にしておきましょう。

家庭では、5分ずつでできる次の2つの確かめ方があります。1つ目は、紙にヤングの配置を描き、中央と少し上の点へ2本ずつ線を引くことです。どちらの道が長いかを指でたどってから、dを大きくすると経路差がどう変わるかを言葉にします。光源を使わず、図と式だけでできます。

2つ目は、薄膜の上・中・下の屈折率を紙に書き、反射する場所ごとに「小→大」か「大→小」かを記すことです。下側を空気から膜より屈折率の大きい物質へ変え、強め合いの条件が逆になる理由を説明します。お子さまの学習を見守る保護者の方は、式を覚えているかより、どの反射で半周ずれるかを指せるかに目を向けると、理解の場所が見えます。

個別指導で確かめる際には、まず2つの光を最後まで追えるか、次に山と山・山と谷の重なりを説明できるかまで戻ります。そのうえで、三角形の相似、単位換算、反射の位相のどこで止まっているかを分けて確認します。

まとめ

干渉の問題を解く途中で明暗に迷ったら、完成した公式を探す前に、比べている2つの光の道を見直せます。中央での経路差、膜の往復、境界での反射を図へ書き加えると、選んだ条件がその配置に合っているかを自分で判断できます。縞の等間隔や輪の詰まり方も、厚さの増え方から説明できる現象です。

光の干渉の明暗を決めるのは、公式の名前ではなく、到着した2つの光の位相差です。