【小4算数】大きな数と概数を図解で総まとめ—億 兆・四捨五入・切り上げ 切り捨て・見積もり｜武蔵野個別指導塾

億・兆を4けたずつ読む図と、四捨五入の境目を示す数直線で考え方を整理します。買い物や袋詰めの例題を通して、切り上げ・切り捨てと見積もりの使い分けを家庭で確かめられます。

よくあるのは、美術室の床のタイルを見ながら「全部で何枚くらいあるだろう」と考え、端の列まできちんと数えるべきか、だいたいの数で答えてよいか迷う場面です。欠けたタイルを取り替えるための注文なら、足りる枚数を用意する必要があります。一方、床全体のおよその枚数を知りたいだけなら、数えやすいまとまりにして考える方法が役立ちます。同じ床でも、何を知りたいかによって求める答えの細かさが変わるのです。

小4の大きな数と概数では、長い数字を正しく読む力と、必要なところまで数をまとめて使う力を育てます。億や兆という大きな数も、位のしくみは一、十、百、千の続きです。概数も、何となく数字を省く方法ではありません。「どの位まで表すか」「何のために見積もるか」を決めて使います。お子さまと一緒に、正確な数が必要な場面と、およその数が役立つ場面を行き来しながら確かめていきましょう。

この単元で身につけること

• 億・兆までの位を読み書きします。右から4けたずつ区切ると、万、億、兆のまとまりを見つけやすくなります。
• 四捨五入で概数を表します。残す位の1つ右を調べ、0から4なら切り捨て、5から9なら切り上げます。
• 切り上げと切り捨てを使い分けます。およその大きさを知りたいのか、不足しないようにしたいのかで選び方が変わります。
• 「以上」「以下」「未満」で数の範囲を表します。境目の数を含むかどうかを、数直線上で確かめます。
• 和・差・積・商を見積もります。計算しやすい数に直し、答えの大きさの見当や、生活の中で必要な判断に使います。

前に学んだ万までの位取りや10倍のしくみが、億・兆の読み書きにつながります。多くの教科書では、小4でこれらの大きな数と概数を学びます。新しい名前が増えても、左の位に1つ進むと10倍になる決まりは同じです。数を読むことだけを急がず、たとえば「1億は1万がいくつ集まった数か」と、まとまりの大きさも確かめます。

基本の考え方

億・兆も、4けたのまとまりで読む

右から、一の位、十の位、百の位、千の位と並び、その左が一万の位です。万のまとまりの中にも、一万、十万、百万、千万があります。さらに左へ進むと一億、十億、百億、千億、その次が一兆です。新しい大きな単位に入っても、一、十、百、千の並びが繰り返されます。

1万は10000、1億は100000000、1兆は1000000000000です。数字だけを見て0を数えると、途中で数え違いやすくなります。1億は1万が10000個集まった数、1兆は1億が10000個集まった数と考えると、4けたごとに名前が変わる理由が見えてきます。隣り合う位は10倍、万と億、億と兆のようなまとまりどうしは10000倍です。この2つを区別しましょう。

図1のように、3004206000005を右から4けたずつ分けると、3｜0042｜0600｜0005となります。区切り線は読むための目印で、数の一部ではありません。左から、兆のまとまりに3、億のまとまりに42、万のまとまりに600、最後のまとまりに5があります。

図1の0042は、そのまとまりの中では42と読みます。そのため、全体は「3兆42億600万5」です。0を声に出して読む必要はありませんが、数字に書き直すときには0が必要です。42億の42を、兆の3にそのまま続けて書くと、どの位の数字なのかが変わってしまいます。左端以外のまとまりは4けたの席を保ち、空いた席を0で埋めると考えます。

大きさを比べるときは、まず数字のけた数を見ます。先頭に不要な0を付けない書き方なら、けた数が多い数のほうが大きくなります。同じけた数なら、左の位から比べ、最初に違った数字で決めます。たとえば3兆42億と3兆50億では、兆の部分は同じなので、42億と50億を比べます。細かい位から順に比べる必要はありません。

概数は、決めた位まで表したおよその数

概数とは、およその数のことです。来場者が24680人だったとき、「約25000人」と表すと、大きさを短く伝えられます。ただし、名簿に記録する人数まで25000人に変えてよいわけではありません。正確な数はそのまま残し、使う場面に合わせて概数で表します。

四捨五入で千の位までの概数にするなら、千の位を残し、すぐ右の百の位を見ます。百の位が0、1、2、3、4なら、百の位以下を0にします。5、6、7、8、9なら、千の位に1を加えてから、百の位以下を0にします。判断に使うのは1つ右の位であり、右側に並ぶすべての数字を順に四捨五入するわけではありません。

「百の位を四捨五入する」と「千の位までの概数にする」は、同じ操作を指します。前者は見る位、後者は残す位を示しています。お子さまには「どこまで残すかを先に囲んで、その1つ右を見よう」と声をかけると、言葉だけを暗記するより手順を確かめやすくなります。

「上から2けたの概数」という指示では、左端の0でない数字から数えます。24680なら2が1けた目、4が2けた目なので、千の位まで残します。同じ上から2けたでも、2468なら百の位まで、246800なら万の位までです。残す数字の個数が同じでも、残す位の名前は元の数によって変わります。

切り上げ・切り捨てと、範囲を表す言葉

千の位まで切り捨てるとは、百の位以下を0にすることです。24680なら24000になります。千の位まで切り上げるとは、百の位以下に0でない数字があるとき、千の位に1を加えて、それより右を0にすることです。24680なら25000です。24000のように、捨てる部分が初めからすべて0なら、切り上げても24000のままです。

四捨五入では近いほうの区切りの数を選びますが、切り上げや切り捨てでは目的に合わせて一方を選びます。必要な袋の数を求めるときには、余った品物も入れられるように袋を増やすことがあります。反対に、手持ちのお金で買える個数は、端数の分だけ品物を買えるわけではないので、整数の個数に切り捨てます。

範囲の言葉も確認しましょう。「100以上」は100を含み、「100以下」も100を含みます。「100未満」は100を含まず、100より小さい数です。人数などの整数だけなら100未満で最も大きい数は99ですが、長さなどでは99と100の間の値も考えられます。この先の範囲の練習では、0以上の整数を扱うものとします。

例題で解き方を確かめる

例題1　億・兆を含む数を読む

3004206000005を、兆・億・万を使って読みましょう。また、一億の位の数字と、一万の位の数字を答えましょう。長い数でも、読むための区切りと、位を調べる手順は共通です。

1. 右から4けたずつ、3｜0042｜0600｜0005と区切ります。左から適当に区切ると、一の位を出発点にしたまとまりがずれるため、必ず右から進めます。
2. 各まとまりに、左から兆、億、万、単位の名前を付けないまとまりを対応させます。0042は42億、0600は600万となり、0は読み上げません。
3. 一億の位は億のまとまりの右端なので2です。一万の位は万のまとまりの右端なので0です。「600万」という読みの先頭の6が、一万の位ではないことに気を付けます。

答え：3兆42億600万5、一億の位は2、一万の位は0です。

読めたら、今度は読み方から元の数字に戻してみます。兆の3、億の0042、万の0600、最後の0005を並べると、元の3004206000005になります。読みと書きを往復できれば、0を偶然正しい数だけ並べたのではなく、位を捉えているかが確かめられます。

例題2　四捨五入する位を決める

24680を四捨五入して、千の位までの概数と、百の位までの概数にしましょう。さらに、上から2けたの概数がどちらと同じになるかを考えます。同じ元の数でも、どこまで残すかで答えは変わります。

1. 千の位までなら、千の位の4を残す位置と決め、百の位の6を見ます。6は5以上なので、千の位を4から5にし、その右を0にすると25000です。
2. 百の位までなら、百の位の6を残す位置と決め、十の位の8を見ます。8は5以上なので、百の位を6から7にし、その右を0にすると24700です。
3. 上から2けたは2と4なので、千の位まで残す場合と同じです。したがって上から2けたの概数も25000になります。

答え：千の位までなら約25000、百の位までなら約24700、上から2けたなら約25000です。

図2のように、24000と25000の真ん中は24500です。24680は真ん中より右にあり、25000のほうに近いことがわかります。数直線では、目盛りの間隔と数の増え方をそろえて読んでください。

図2で、24680から24000までは680、25000までは320です。千の位まで四捨五入する操作が、近いほうの千のまとまりを選ぶことにつながっています。ちょうど真ん中の24500では、四捨五入の決まりにより25000を選びます。

例題3　不足しないように見積もる

工作用の部品236個を、1袋に30個まで入る袋に分けます。袋は少なくとも何袋必要でしょうか。また、398円、276円、189円の品物を1つずつ買うとき、1000円で足りるか、各代金を百の位まで切り上げて考えましょう。

1. 袋の問題は、236 ÷ 30を考えます。30 × 7 = 210なので、7袋いっぱいに入れても236 − 210 = 26個残ります。あまりがあるかどうかが、もう1袋必要かを決めます。
2. 残った26個にも袋が必要なので、7 + 1 = 8とします。8袋なら30 × 8 = 240個まで入り、236個を全部入れられます。
3. 買い物では、各代金を多めに見積もります。398円を400円、276円を300円、189円を200円にすると、400 + 300 + 200 = 900円です。実際の合計はこの900円以下なので、1000円で足ります。

答え：袋は少なくとも8袋必要で、買い物は1000円で足ります。

袋の数は四捨五入で決めていません。あまりが少なくても、1個でも入らなければ袋を追加します。また、買い物の正確な合計は398 + 276 + 189 = 863円です。切り上げた900円は請求される金額ではなく、足りることを判断するために使った金額です。多めの見積もりが予算を超えた場合には、その結果だけで「足りない」とは断定できず、より細かい計算が必要です。

例題4　和・差・積・商を見積もる

次の4つの計算を見積もりましょう。和と差は各数を千の位まで、積と商は各数を上から1けたの概数に四捨五入してから計算するものとします。和はたし算、差はひき算、積はかけ算、商はわり算の答えです。

1. 和4870 + 3120では、4870を5000、3120を3000にします。5000 + 3000 = 8000なので、和は約8000と見積もれます。まとまりをそろえると暗算しやすくなります。
2. 差7820 − 2940では、7820を8000、2940を3000にします。8000 − 3000 = 5000なので、差は約5000です。ひく前の2つの数を指定の位で概数にします。
3. 積198 × 31では、198を200、31を30にします。200 × 30 = 6000なので、積は約6000です。2 × 3の計算だけで終わらず、200と30の大きさを反映させます。
4. 商7820 ÷ 39では、7820を8000、39を40にします。8000 ÷ 40 = 200なので、商は約200です。40 × 200 = 8000と戻して考えると、0の数の間違いにも気付けます。

答え：和は約8000、差は約5000、積は約6000、商は約200です。

正確に計算すると、和は7990、差は4880、積は6138、わり算は商200あまり20です。いずれも見積もりから大きく離れていないことが確かめられます。見積もりは細かな計算ミスをすべて見つけるものではありませんが、積を60000としたり商を20としたりするような、答えの大きさの違いを見つける手がかりになります。

つまずきやすいところと直し方

0を省いて数字をつなげてしまう

誤った書き方は、「2億5万を2050000と書く」です。どこが違うかというと、億の2と万の5の間に必要な位が保たれていません。2050000は205万であり、2億より小さい数になっています。

正しい書き方は、2｜0005｜0000と席を分けてからつなげた200050000です。2億は200000000、5万は50000なので、たした数とも一致します。位取り表に戻るときは、すべての位の名前を何度も言わせるより、「万のまとまりには4つの席があるね」と、空いている席を探してもらいます。

四捨五入を右から何度も繰り返してしまう

誤った書き方は、「24499を千の位までの概数にすると、まず24500、次に25000」です。どこが違うかというと、途中で数を変えたため、もとの百の位の4が5に変わってしまっています。千の位までという指示では、元の24499の百の位を1回見るだけです。

正しい書き方は、百の位が4なので24000です。百の位までの概数が24500になることと、千の位までの概数を求めることは別々の問いです。残す位の右に9が続いていても、判断する数字が4なら切り捨てます。

「未満」に境目の数を含めてしまう

誤った書き方は、「千の位まで四捨五入して25000になる整数は、24500以上25500以下」です。どこが違うかというと、上端の25500は四捨五入すると26000になり、25000になる数の仲間には入りません。一方、下端の24500は25000になるので含めます。

正しい書き方は、「24500以上25500未満」です。整数に限れば、「24500以上25499以下」とも表せます。図3のように、含む端を塗った丸、含まない端を白い丸で示すと、2つの境目の扱いが見やすくなります。

図3の緑の部分が、千の位まで四捨五入して25000になる範囲です。端だけを暗記せず、24500と25500を実際に四捨五入して確かめます。「以上と以下はその数も入る、未満はその数を入れない」と言いながら、整数なら境目の1小さい数も試すと、言葉と計算の両方から判断できます。

見積もりについても、概数にした数を使う式と、正確な数を使う式は分けて書きます。4870 + 3120 = 8000と書くと、等号で正しくない関係を示してしまいます。「5000 + 3000 = 8000より、約8000」と書けば、どこで概数を使ったのかがはっきりします。

練習問題

ここでは、数を読む問題から見積もりまでを順に確かめます。途中で止まったときは、長い計算を増やすのではなく、4けたの区切り、残す位、何のための概数かを紙に書いてください。答えだけでなく、その位置や方法を選んだ理由も一言添えましょう。

練習1

「5兆80億3万」を数字だけで書きましょう。また、一億の位の数字を答えましょう。兆・億・万・最後のまとまりの4つに分け、空いている場所の0も残します。

練習2

99949を四捨五入して、百の位までの概数と、千の位までの概数にしましょう。また、百の位まで四捨五入して1000になる整数の範囲を、「以上」と「未満」を使って表しましょう。くり上がりが続く場合も、見る位は最初に1つ決めます。

練習3

1冊128円のノートを買います。700円で買えるのは最多で何冊でしょうか。また、183枚のカードを1箱に20枚まで入れるとき、すべて入れるには最少で何箱必要でしょうか。買える冊数と必要な箱数で、あまりの扱いがどう違うか説明しましょう。

練習4

次の計算を見積もりましょう。和と差は各数を千の位まで、積と商は各数を上から1けたの概数に四捨五入してから計算します。対象は、6210 + 2840、9180 − 4120、403 × 19、4180 ÷ 79の4つです。

答えと解説

練習1の答えは5008000030000、一億の位は0です。5｜0080｜0003｜0000と区切ると、80億のまとまりの右端が0だとわかります。最後のまとまりがすべて0でも、数字だけで書くときには4つの0を省きません。

練習2の答えは、百の位までなら約99900、千の位までなら約100000です。前者は十の位の4を見るので切り捨て、後者は百の位の9を見るので切り上げます。千の位の9に1を加えるとくり上がりが続き、10万になります。範囲は950以上1050未満です。950は1000になりますが、1050は1100になるため含みません。

練習3の答えは、ノートは最多5冊、箱は最少10箱です。128 × 5 = 640で60円残りますが、128 × 6 = 768なので6冊は買えません。冊数は5冊にとどめます。カードは20 × 9 = 180で3枚残り、その3枚を入れる箱がもう1箱必要なので、9 + 1 = 10箱です。どちらもあまりがありますが、求めるものに合わせて判断が分かれます。

練習4の答えは、順に約9000、約5000、約8000、約50です。概数での計算は6000 + 3000 = 9000、9000 − 4000 = 5000、400 × 20 = 8000、4000 ÷ 80 = 50です。正確に計算すると、和は9050、差は5060、積は7657、わり算は商52あまり72です。指定された方法で概数にしてから計算した答えと、正確な計算の答えを混ぜずに書き分けましょう。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

概数で答えの大きさを捉える力は、わり算の筆算で商の見当を付けるときや、面積などの計算結果を点検するときに役立ちます。今後、小数を含む数を扱うようになっても、残す位を決め、その1つ右を見るという四捨五入の手順はつながっていきます。ただし、正確な値が必要な問いでは、見積もりだけで終えず、求められた計算を行います。

家庭で5分ほど使えるなら、1つ目は「読む、書く、戻す」の練習です。紙に2億5万と書き、お子さまに数字だけで表してもらいます。書けたら4けたずつ区切り直して読み、初めの数に戻るかを確かめます。間違いがあれば、その場で別の難しい数を足すより、どのまとまりの席が不足したかを探します。

2つ目は「同じ数を3通りにする」練習です。24680を千の位まで四捨五入、切り上げ、切り捨てするとそれぞれどうなるかを話します。続けて「およその人数を伝えるなら」「不足しない数を用意するなら」と目的を変え、方法を選ぶ理由を聞きます。計算する時間と説明する時間を合わせて5分ほどにすると、量を増やさず違いに目を向けられます。

個別指導では、億の読みで止まるなら万までの位取りへ、四捨五入で止まるなら数直線の2つの区切りの数へ戻って確かめます。答えの正誤だけでなく、残す位を指せるか、あまりの分にも袋が必要だと説明できるかまで見ます。

まとめ

長い数字をすらすら読むことと、概数を使えることは、どちらも数の中のまとまりを見つける学習です。0の席を保って書けるようになると、細かな位を0にしておよその数を表す意味も捉えやすくなります。数を細かく見る力と、必要な大きさで捉える力を、同じ位取りの上で育てていきましょう。

美術室の床を眺めたときも、まず考えたいのは、その数で何を決めるかです。およその枚数を伝える答えと、交換用のタイルを足りるように用意する答えには、それぞれの役割があります。概数の正しさは、丸めた数字だけでなく、その数字で必要な判断ができるかに表れます。