【物理基礎】測定・有効数字・グラフの読み方を図解で総まとめ—物理の計算の作法｜武蔵野個別指導塾

ものさしの読み取りと速度のグラフを図で確かめ、単位換算、有効数字、誤差、比例と反比例を整理します。4つの例題で、式を変形して答えの単位と桁を確かめる手順までたどれます。

よくあるのは、冬期講習の初日の教室で、速さを求める割り算はできたのに、答えを「2」「2.0」「2.00」のどれで書くか決められず、鉛筆が止まるという場面です。隣の問題ではグラフの三角形の面積を求めるように言われますが、その面積がなぜ距離に結びつくのかが見えません。計算のしかたを覚えていても、数値が何を表しているかを確かめる手順が抜けると、こうした迷いが残ります。

物理の計算では、数値、単位、その値をどの細かさまで測れたかを一緒に扱います。グラフも線の形だけを眺めるものではなく、横軸と縦軸にある量を使って読む道具です。このつながりがつかめると、公式への代入だけでなく、出てきた答えが条件に合うかどうかまで自分で判断できます。測定の記録から順に、計算とグラフを同じ考え方で確かめていきましょう。

この単元で身につけること

• 数値に単位を添えて、物理量を表します。長さ、時間、質量など、何を測った値なのかを明らかにし、計算前に必要な単位へそろえます。
• 有効数字を読み取り、答えの桁を決めます。測定値の末尾の0にも意味があり、足し算と掛け算では丸め方の基準が違います。
• 測定誤差の原因を区別します。繰り返し測って平均を取る方法が役立つ場合と、器具のずれを直す必要がある場合を分けます。
• グラフの傾きと面積を、軸の量と単位から読み取ります。同じ三角形に見えても、位置のグラフと速度のグラフでは意味が異なります。
• 比例と反比例を、表、式、グラフで照合します。比が一定か積が一定かを確かめ、求める量を左辺に置く式の変形へつなげます。

中学校で学んだ単位の換算、比例・反比例、一次方程式が、この単元の土台です。新しい計算法を別々に増やすというより、すでに使っている計算に「その量と単位は何か」という確認を加えていきます。

基本の考え方

数値、単位、次元をそろえる

物理量とは、長さや時間のように、測定して数値と単位で表せる量のことです。「3.0」だけでは長さなのか時間なのかわかりません。「3.0 m」と書けば、長さの基準である1 mを用いて表した値だとわかります。単位は数値の飾りではなく、測った量を伝えるための一部です。

国際単位系では、長さにm、質量にkg、時間にsなどの基本単位を使います。速さの単位m/sは、長さの単位を時間の単位で割ったものです。加速度の単位m/s²は、速度の変化をさらに時間で割ったことを表します。m/s²のs²は、m/s全体を2乗した意味ではありません。力はNで表し、1 Nは1 kgの物体に1 m/s²の加速度を生じさせる力なので、kg・m/s²と同じ組み合わせの単位です。

次元とは、量を長さ、質量、時間などの種類の組み合わせで表したものです。mとcmは大きさの異なる単位ですが、どちらも長さという同じ次元を持ちます。一方、長さと時間は次元が違うので、そのまま足すことはできません。速さに時間を掛けると長さになるという関係は、数値を入れる前から確かめられます。

単位換算では、等しい量の比を掛けると整理しやすくなります。たとえば、72 km/hは、72×1000 m÷3600 s＝20 m/sです。ここで1 km＝1000 m、1 h＝3600 sは単位の定義による正確な関係なので、換算する係数が測定値の有効数字を制限することはありません。面積や体積では換算倍率も2乗、3乗します。1 cm²＝0.0001 m²、1 cm³＝0.000001 m³であり、長さと同じように100で割るだけでは合いません。

単位が合うかを調べると、公式の写し間違いを見つけられます。ただし、単位が合っただけでは正しい式とは限りません。たとえば同じ量に2を掛けても単位は変わりません。単位の確認は、条件や係数の確認と組み合わせて使うものです。以下の例は重力加速度などの数値定数を必要とせず、問題で与えた測定値と単位の定義を使って計算します。

測定値の最後の桁と有効数字

測定は、対象となる量を器具の目盛りなどと比べて数値にすることです。ものさしのようなアナログ器具は、通常、最小目盛りの10分の1まで目分量で読み取ります。ただし、目盛りの状態や測り方によって読み取りやすさは変わるため、問題文に読み取り方の指定があればそれに従います。目は目盛りに対して正面に置き、斜めから見ることによる位置のずれを避けます。

図1のように、1 mm間隔の目盛りの間をさらに見積もったとします。左端を0に合わせた棒の右端が12 mmと13 mmの間で、12.4 mmと読める位置にあるなら、長さを1.24 cmと記録します。末尾の4は見積もった数字ですが、不要な数字ではありません。どこまで読んだかを伝えるために残します。図の12 mmと13 mmの間も、1 mmという同じ幅を保って描いています。

有効数字とは、測定値などを表す数字のうち、精度を示す意味のある数字のことです。測定値では、確かに読み取れた桁に、最後の見積もりの桁を含めて扱います。1.24 cmは有効数字3桁です。0.0124 mも3桁で、初めの0は小数点の位置を示しているだけです。単位を変えても、測定そのものが詳しくなったわけではありません。

0の位置には注意が必要です。1.04の途中の0は意味を持つので3桁です。2.0と2.00は数として等しくても、測定値としてはそれぞれ2桁と3桁の有効数字を表します。1200という書き方では末尾の0が有効かどうか判断しにくいため、2桁なら1.2×10³、3桁なら1.20×10³と書くと意図が明確になります。

測定値の掛け算・割り算では、原則として有効数字の最も少ない値に答えの桁数を合わせます。足し算・引き算では、桁数ではなく、末尾が最も粗い位に合わせます。たとえば12.3 cmと0.45 cmの和は12.75 cmですが、答えは小数第1位までの12.8 cmです。途中の計算では余分な桁を残し、最後に四捨五入すると、丸めを繰り返す影響を抑えられます。問題で答えの桁数が指定されていれば、その指示を優先します。

誤差を記録し、グラフに表す

測定誤差は、測定値と真の値との差です。真の値を完全に知ることは通常できないので、実際の実験では測定のばらつきや器具の特徴を調べ、結果をどの程度信頼できるかを考えます。計算で数字を書き写し損ねたという単純な誤りと、注意して測っても残る誤差とは区別します。

測定のたびに正負の向きや大きさが変わる誤差を偶然誤差といいます。手動で時間を測るときの反応のばらつきなどが例です。同じ条件で繰り返し測り、その平均値を使うと、偶然誤差の影響を小さくする助けになります。一方、器具の0がずれていて毎回同じ方向に値がずれるような誤差を系統誤差といいます。回数を増やして平均を取るだけでは、このずれは取り除けません。

測定時には値だけでなく、器具の最小目盛り、測った回数、条件も記録します。値が1つだけ大きく違ったときは、都合が悪いという理由で捨てず、開始の合図を取り違えたなどの具体的な原因がないかを調べます。有効数字を多く書いたからといって、その測定が真の値に近いことまで保証されるわけではありません。

グラフを作るときは、横軸と縦軸に量の名前と単位を書き、各軸で目盛りの間隔をそろえます。通常の等間隔の目盛りでは、同じ軸上の同じ長さは同じ量の差を表します。ただし、横軸の1目盛りと縦軸の1目盛りが、同じ数値である必要はありません。測定点は小さく明瞭に打ち、直線関係が予想されるなら点の分布全体に合う直線を引きます。各点を順々に折れ線で結ぶ方法と、関係を表す直線を引く方法は目的が異なります。

例題で解き方を確かめる

例題1　単位をそろえて速さを求める

一直線に進む物体が、長さ1.24 mの区間を0.80 sで通過しました。この区間での平均の速さを、有効数字に注意して求めます。平均の速さは、移動距離をかかった時間で割った量です。

1. 距離と時間の単位を確かめます。距離はm、時間はsなので、そのまま割ればm/sになります。先に単位を確認しておくと、計算後にcm/sなどを誤って添えることを防げます。
2. 速さ＝距離÷時間より、1.24÷0.80＝1.55と計算します。この段階では丸めず、最後の桁を決めるための数字を残します。
3. 1.24は3桁、0.80は2桁の有効数字なので、答えは2桁にします。1.55を2桁に丸めると1.6で、単位はm/sです。

答え：平均の速さは1.6 m/sです。

0.80の最初の0は位置を示す数字ですが、最後の0は有効です。また、1.55 m/sは計算途中の値として使えますが、測定結果として最後まで4桁や5桁を並べても、その分だけ測定が詳しくなったことにはなりません。

例題2　繰り返した測定の平均と限界を読む

同じ運動にかかる時間を、同じ方法で3回測ると2.31 s、2.35 s、2.33 sでした。代表値として平均を求め、小数第2位まで示します。また、時計が毎回0.10 s大きい値を表示することが別の確認でわかった場合、その影響を除いた平均を求めます。

1. 3つの時間を足し、2.31＋2.35＋2.33＝6.99 sとします。小数第2位までの記録を同じ位にそろえることで、それぞれを同じ重みで扱えます。
2. 6.99 sを測定回数3で割り、2.33 sを得ます。この3は測定して得た値ではなく、数えた正確な個数なので、有効数字1桁に答えを丸める必要はありません。
3. 時計の既知のずれを除くには、平均から0.10 sを引きます。2.33−0.10＝2.23 sであり、毎回同じずれがあるなら、各測定値から引いてから平均しても同じ結果になります。

答え：記録の平均は2.33 s、既知のずれを補正した平均は2.23 sです。

この補正は「真の値が必ず2.23 sだ」と断定するものではありません。わかっている系統的なずれを取り除いても、読み取りなどの誤差は残りえます。また、3つの値が互いに近いことだけから、時計の0が正しいと結論づけることはできません。ばらつきの小ささと、共通のずれの有無は別の確認事項です。

例題3　速度のグラフから加速度と変位を求める

物体の速度vと時刻tの関係が、図2の赤い直線で表されます。0 sで2.0 m/s、4.0 sで6.0 m/sとなり、その間は速度が一定の割合で増加します。加速度と、0 sから4.0 sまでの変位を求めます。変位とは、出発位置から到着位置までの位置の変化で、正負を持つ量です。

図2のように、赤い線の傾きを調べる三角形と、時間軸までの塗られた台形は、別の量を読むために使います。三角形では縦と横の変化の比を取り、台形では速度と時間を掛け合わせます。軸の近くにある数値が、時刻なのか速度なのかを区別して読みましょう。

1. 直線上の2点で速度の変化と時間の変化を取ります。速度の変化は6.0−2.0＝4.0 m/s、時間の変化は4.0−0＝4.0 sです。傾きは始点から終点までの「変化の比」なので、終点の速度だけを使いません。
2. 加速度は4.0 m/s÷4.0 s＝1.0 m/s²です。直線の傾きが一定であることから、この区間の加速度は一定だと判断できます。
3. 変位は、速度のグラフと時間軸で囲まれた部分の面積から求めます。最初からある速度2.0 m/sの長方形は2.0×4.0＝8.0 m、増えた速度の三角形は4.0×4.0÷2＝8.0 mで、合わせて16 mです。

答え：加速度は1.0 m/s²、変位は16 mです。

速度が一定の区間なら、変位は速度×時間で求められます。速度が直線的に変わる図では、その積の考え方が台形の面積になります。単位を掛けても、m/s×s＝mと確かめられます。この例では速度がずっと正なので移動距離も16 mですが、負の速度を含む場合は、面積の符号の扱いが変わります。

例題4　比例・反比例を見分けて式を変形する

関係Aでは、時間tが1.0 s、2.0 s、4.0 sのとき、距離dがそれぞれ3.0 m、6.0 m、12 mです。関係Bでは、一定の距離12 mを進むとき、速さuが1.0 m/s、2.0 m/s、4.0 m/sなら、時間tは12 s、6.0 s、3.0 sです。それぞれの関係を判断し、Aで距離が9.0 mになる時間、Bで時間が2.0 sになる速さを求めます。各量は示した関係に従うものとします。

1. 関係Aではd÷tを求めます。3.0÷1.0、6.0÷2.0、12÷4.0はいずれも3.0 m/sなので、dはtに比例します。比例は、一方を2倍、3倍にすると他方も2倍、3倍になり、その比が一定になる関係です。
2. Aの式をd＝ut、u＝3.0 m/sと表します。tを求めるため両辺をuで割り、t＝d÷u＝9.0÷3.0＝3.0 sとします。両辺に同じ操作を行うことで、等式の関係を保ったまま目的の量を取り出せます。
3. 関係Bではutを求めます。1.0×12、2.0×6.0、4.0×3.0はいずれも12 mなので、tはuに反比例します。速さを2倍にすると、同じ距離にかかる時間は半分になります。
4. Bの式はt＝d÷uです。両辺にuを掛けてut＝dとし、両辺をtで割るとu＝d÷tになります。したがってu＝12÷2.0＝6.0 m/sです。いきなり文字を移すより、掛ける操作と割る操作を分けると分母の取り違えを防げます。

答え：Aは比例で求める時間は3.0 s、Bは反比例で求める速さは6.0 m/sです。

ここでは時間と速さが正で、0で割る場面はありません。一般に、文字で両辺を割るときも、その文字が0でない条件を確認します。また、式を変形してから数値を入れると、何を一定として計算しているかが見えやすくなります。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　すべての計算を有効数字の桁数だけでそろえる

誤った書き方は「12.3 cm＋0.45 cm＝13 cm」です。0.45が有効数字2桁だから和も2桁と考えていますが、足し算で比べるのは有効数字の個数ではなく、測定した末尾の位です。12.3 cmは小数第1位までの値なので、和の12.75 cmも小数第1位までで表します。

正しい書き方は「12.3 cm＋0.45 cm＝12.8 cm」です。反対に、掛け算と割り算では有効数字の桁数を比べます。計算を始めるときに、足し引きか、掛け割りかを一度確認すると、基準の混同を避けられます。複数の演算が続くときも、途中で得た値をすぐに短くせず、どの位まで意味があるかを意識したうえで計算を進めます。

誤り2　終点の縦座標を横座標で割れば傾きになると考える

誤った書き方は、図2を使った「加速度＝6.0÷4.0＝1.5 m/s²」です。これでは最初からあった速度2.0 m/sまで、4.0 sの間に増えた速度として数えています。縦座標÷横座標で傾きが求まるのは、原点を通る直線の場合です。

正しい書き方は「加速度＝（6.0−2.0）÷（4.0−0）＝1.0 m/s²」です。位置と時刻のグラフなら傾きは速度、速度と時刻のグラフなら傾きは加速度です。軸が変われば同じ割り算の意味も変わります。また、紙の上で線が急に見えるかどうかは軸の縮尺に左右されるため、見た目の角度だけで値を決めず、目盛りから変化量を読みます。

面積にも同じ注意が必要です。速度と時刻のグラフでは、時間軸より上の面積を正、下の面積を負として加えると変位になります。移動距離を求めるなら、上下の面積の大きさを足します。位置と時刻のグラフの下の面積を、そのまま移動距離と呼ぶことはできません。面積を計算する前に、縦軸の単位と横軸の単位を掛け、何の単位になるかを調べます。

誤り3　右下がりならすべて反比例と判断する

誤った書き方は「一方が増えると他方が減るから反比例」です。反比例では、ただ減るだけではなく、2つの値の積が一定である必要があります。たとえばxが1、2、3のときyが5、4、3なら、右下がりでも積は5、8、9となり、一定ではありません。

正しい判断は「比が一定なら比例、積が一定なら反比例」です。図3のように、例題4の比例のグラフは原点を通る直線となり、反比例のグラフは曲線になります。左はd＝utでu＝3.0 m/s、右はt＝d÷uでd＝12 mの場合です。右の曲線はuが正の範囲を描いており、u＝0では割り算ができないため、縦軸と交わる点を描き足してはいけません。

図3の点は、左では（t, d）が（1, 3）、（2, 6）、（4, 12）、右では（u, t）が（1, 12）、（2, 6）、（4, 3）です。グラフの形と表の数値を往復すると、関係を確かめられます。なお、図2のような原点を通らない直線は、直線であっても比例ではありません。測定データにはばらつきがあるので、実験では比や積が完全に一致するかだけでなく、測定の細かさも考えて関係を判断します。

練習問題

練習1　換算と有効数字

測定した長さ0.0450 mをcmで表し、有効数字が何桁か答えます。続いて、この長さを0.30 sで進んだ物体の平均の速さをm/sで求めます。単位換算に使う100は正確な係数とし、最後の答えは測定値の有効数字に合わせます。

練習2　足し算と誤差

測定した長さ8.25 cmと1.3 cmの和を、末尾の位に注意して求めます。また、ものさしの0の位置がずれていて、毎回0.2 cm大きく記録していたとします。このずれは、同じ測り方を10回繰り返して平均するだけで除けるでしょうか。誤差の種類も答えます。

練習3　速度のグラフの傾きと面積

速度と時刻のグラフが、0 sで0 m/s、3.0 sで6.0 m/sとなる直線です。この区間の加速度と変位を求めます。原点は時刻と速度の基準として正確に定めた点とし、答えは有効数字2桁で表します。面積に使った図形の名前も添えます。

練習4　積の確認と式の変形

一定の距離18 mを進む運動を考えます。速さが2.0 m/s、3.0 m/s、6.0 m/sのとき、かかる時間はそれぞれ9.0 s、6.0 s、3.0 sです。時間と速さの関係を答え、2.0 sで進むための速さを求めます。t＝d÷uからuを取り出す変形も書きます。

答えと解説

練習1の答えは4.50 cm、有効数字3桁、平均の速さ0.15 m/sです。0.0450×100＝4.50で、単位を変えても末尾の0の意味を保ちます。速さは0.0450÷0.30＝0.150 m/sという計算値から、2桁に合わせます。0.15の初めの0は有効数字に数えません。

練習2の答えは9.6 cmです。計算値9.55 cmを、小数第1位までの1.3 cmに合わせて丸めます。毎回同じ方向に出る0.2 cmのずれは系統誤差で、平均だけでは除けません。器具の0を確かめ、既知のずれなら補正する必要があります。

練習3の答えは、加速度2.0 m/s²、変位9.0 m、図形は三角形です。傾きは6.0÷3.0＝2.0 m/s²、面積は3.0×6.0÷2＝9.0 mとなります。三角形の面積公式にある2は正確な数なので、有効数字を1桁に制限しません。

練習4の答えは反比例、求める速さは9.0 m/sです。速さと時間の積がいずれも18 mになるので、距離が一定だと確かめられます。t＝d÷uの両辺にuを掛け、ut＝dの両辺をtで割って、u＝d÷t＝18÷2.0＝9.0 m/sとします。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

運動では、位置と時刻のグラフの傾きから速度を読み、速度と時刻のグラフの面積から変位を求めます。電気では、抵抗が一定という条件のもとで電流と電圧の比例関係を扱います。どちらも、何を横軸に取ったか、何を一定にしたかを確かめる手順が出発点です。式の形だけを覚えるより、単位を付けて意味を説明できることが次の学習を支えます。

家庭で5分ほど使えるなら、まず、ものさしで消しゴムなどの長さを3回測り、単位と末尾の桁を付けて記録します。同じ値が出ても、器具の最小目盛りよりはるかに細かい数字を勝手に足さないことが確認点です。もう1つは、方眼紙に時刻0 s、1 s、2 sに対する位置0 m、2 m、4 mを打つ練習です。軸の名前と単位を書き、2点の変化の比から速度2 m/sを説明します。この数値は関係を確かめるための設定値として扱います。

個別指導では、グラフの公式を使う前に、cmからmへの換算や、分母にある文字を取り出す等式の操作まで戻って確かめます。答えが違った場合も、読み取り、単位、式の変形、最後の丸めのどこで変わったかを分けると、練習する箇所を絞れます。

まとめ

計算結果を見直すときは、出てきた数字だけを眺めず、最初に何を測ったのかまでたどってみましょう。測定値の末尾の0、グラフの軸に添えたs、式の両辺を割った量には、いずれも答えの根拠があります。説明できない箇所が1つ見つかれば、そこが次に確かめる箇所です。

正しい割り算ができることと、その答えが測定結果として適切であることは、つながりながらも別々に確認します。物理の答えは、数値に単位と測定の確かさがそろって初めて完成します。