【物理基礎】仕事とエネルギーを図解で総まとめ—運動エネルギー・位置エネルギー・力学的エネルギー保存｜武蔵野個別指導塾

斜めに引く力の仕事から、落下やばねの例題、摩擦で止まる距離まで順にたどります。3枚の図でエネルギーの移り変わりを読み、保存則を使える条件を確かめましょう。

よくあるのは、通学電車の窓に映った自分の手元を見ながら、持ち上げずに支えているかばんにも「力を加えているから仕事をしているはず」と考える場面です。ところが、教科書では力を加えていても仕事が0になることがあります。日常の「骨が折れる作業」と、物理でいう仕事の意味が少し違うため、式を覚えただけでは判断が止まってしまいます。

かばんを一定の高さに保ったまま電車が水平に進むとき、上向きに支える力と、地面から見たかばんの移動は直角です。この支える力がする仕事は0です。ただし、電車の加速などで別の向きの力が加わる場合は、その力を別に考えます。「どの力が、どの移動に対して仕事をするか」を切り分けることが出発点です。

仕事が読めると、速さや高さ、ばねの変形をエネルギーという共通の量でつなげられます。坂の途中の速さや、摩擦で止まるまでの距離も、運動にかかる時間を求めずに計算できるようになります。

この単元で身につけること

• 仕事の正負と0を判断します。力の大きさだけでなく、力と移動の向きの関係を調べ、速さを増す向きにはたらくか、減らす向きにはたらくかを区別します。
• 仕事と仕事率を使い分けます。仕事はエネルギーの移り変わりに関係する量、仕事率は単位時間あたりにする仕事です。JとWの単位まで対応させます。
• 運動エネルギー、重力による位置エネルギー、弾性力による位置エネルギーを表します。速さ、高さ、自然長からの変形のうち、何を式へ入れるのかを確認します。
• 力学的エネルギー保存則を条件つきで使います。はじめと終わりの状態を選び、位置エネルギーの基準をそろえてから、エネルギーの和を比べます。
• 摩擦がある運動を扱います。力学的エネルギーの減少を摩擦力の負の仕事と結びつけ、熱的なエネルギーへの移り変わりとして説明します。

前の単元の力の図示と運動方程式は、物体にはたらく力を漏れなく調べるために使います。中学校で学んだ仕事とエネルギーに、向きによる符号と、速さの2乗を使う計算を加えていきましょう。

基本の考え方

仕事は力と移動を組にして考えます

物理でいう仕事は、物体に力がはたらいて移動するとき、力と移動の関係から定まる量です。大きさも向きも一定の力Fを受けて物体が直線上を距離sだけ移動し、力と移動の向きがなす角をθとすると、その力のする仕事Wは次の式で表せます。

W = Fs cosθ

Fの単位はN、sの単位はm、仕事の単位はJ（ジュール）です。1 Jは1 Nの力が、その力と同じ向きに物体を1 m動かすときの仕事です。角θは床や斜面となす角とは限らず、必ず力の向きと移動の向きの間で取ります。

cosθを掛けるのは、移動の向きに沿った力の成分F cosθを取り出すためです。図1のように力を斜めに加えても、物体が水平に動くなら、仕事に関係するのは水平成分です。上向きの成分は物体の支えられ方に影響しますが、鉛直方向の移動がない限り、その成分による仕事は0になります。

図1の赤い矢印が加えた力、緑の矢印がその水平成分、下の紺の矢印が移動を表します。力の矢印と移動の矢印は異なる種類の量なので、互いの長さの比に物理的な意味はありません。一方、赤と緑はどちらも力であり、θが60°なら水平成分は元の力の半分です。

力と移動が同じ向きならθ = 0°、cosθ = 1なのでW = Fsです。逆向きならθ = 180°、cosθ = −1なのでW = −Fsとなります。直角ならθ = 90°、cosθ = 0でW = 0です。負の仕事は計算の失敗ではなく、物体の運動エネルギーを減らす側にはたらいたことを表します。

床の上を滑る箱にはたらく動摩擦力は、箱の移動と反対向きなので負の仕事をします。重力と垂直抗力は、水平移動に対して直角なので仕事をしません。ただし、斜面を滑るなら重力には移動方向の成分があり、重力の仕事を0とすることはできません。力の名前だけで仕事の有無を決めないようにしましょう。

仕事率Pは、ある時間にどれだけの仕事をしたかを表します。時間tの間にした仕事がWなら、その間の平均の仕事率はP = W/tです。単位はW（ワット）で、1 W = 1 J/sです。仕事を表す記号Wと、仕事率の単位Wは同じ文字なので、式の中の量なのか数値の後ろの単位なのかを読み分けます。同じ仕事でも短い時間でするほど平均の仕事率は大きくなります。

運動・高さ・ばねの変形をエネルギーで表します

エネルギーは、物体などが仕事をする能力を表す量で、単位は仕事と同じJです。動いている物体がもつ運動エネルギーKは、質量m、速さvを使ってK = ½mv²と表せます。質量が同じなら速さが2倍になると運動エネルギーは4倍です。速さが0ならKも0で、運動エネルギーが負になることはありません。

物体にはたらく力がする仕事の総和は、その物体の運動エネルギーの変化に等しくなります。はじめの速さをv₁、あとの速さをv₂とすると、Wの総和 = ½mv₂² − ½mv₁²です。右辺は「あとからはじめを引く」順序です。1つの力の仕事だけを求めた場合に、それがそのまま右辺に等しいとは限りません。

重力による位置エネルギーUは、選んだ基準の高さからどれだけ高い位置にあるかに対応するエネルギーです。地表付近で重力の大きさが一定とみなせるとき、U = mghと表します。以下では重力加速度を教科書で用いるg = 9.8 m/s²とし、質量はkg、高さはmにそろえます。

hは斜面に沿って進んだ距離ではなく、鉛直方向の高さです。基準を床にすれば床でU = 0ですが、机の上を基準にしてもかまいません。その場合、床の位置エネルギーは負になります。位置エネルギーの値だけではなく、位置を変えたときの差に意味があるためです。同じ問題の途中で基準を取り替えなければ、求まる速さなどは基準の選び方によって変わりません。

ばねにも、伸ばしたり縮めたりすることでエネルギーを蓄えられます。ばね定数kは、ばねの変形しにくさを表す定数で、単位はN/mです。フックの法則が成り立つ範囲では、ばねの弾性力の大きさは、自然長からの伸びや縮みの大きさxに比例してkxとなります。この範囲の理想的なばねでは、自然長で0とした弾性力による位置エネルギーはU = ½kx²です。

このxはばね全体の長さではありません。また、同じ大きさだけ伸ばした場合と縮めた場合は、x²が等しいので位置エネルギーも等しくなります。ばねの力は変形とともに変わるため、最大の力kxに変形量xをそのまま掛けるとエネルギーを2倍に見積もってしまいます。力と変形量のグラフは原点を通る直線になり、その下の三角形の面積が½kx²に対応します。

保存則は成り立つ条件から選びます

運動エネルギーと位置エネルギーの和を、力学的エネルギーEといいます。重力とばねの両方を扱うなら、E = ½mv² + mgh + ½kx²です。その問題に存在しないばねの項や、選んだ状態で0となる項を無理に残す必要はありません。ただし、「なぜ0か」を言葉で説明できるようにしておきます。

重力や弾性力は、はじめと終わりの状態を決めると、途中の経路によらず仕事が決まる保存力です。これらの位置エネルギーを含めたうえで、ほかの力が仕事をしない場合、力学的エネルギーは一定に保たれます。これが力学的エネルギー保存則です。重力だけで落ちる運動なら、失った位置エネルギーの分だけ運動エネルギーが増えます。

「摩擦がない」と書かれているだけで、必ず保存すると判断してはいけません。人が押す力や、モーターで引く力が仕事をすれば、力学的エネルギーは変化します。一方、静止したなめらかな面から受ける垂直抗力のように、移動に直角で仕事をしない力があっても保存則を使えます。空気抵抗や摩擦の有無に加えて、ほかに仕事をする力がないかを確かめます。

摩擦があるときは、重力や弾性力以外の力がした仕事を使って、E₂ − E₁ = それらの力の仕事の総和、と書けます。動摩擦力だけが該当し、その大きさfが一定で、静止した床の上を距離sだけ滑るなら、E₂ − E₁ = −fsです。減った力学的エネルギーは、物体や床の内部エネルギーの増加などへ移ります。力学的エネルギーが保存しないことと、エネルギーそのものが消えることは別です。

例題で解き方を確かめる

例題1　斜めに引く力の仕事と仕事率

水平な床上の物体を、大きさ10 Nの一定の力で、水平方向となす角60°に引き、4.0 m水平に移動させました。移動に5.0 sかかったとき、この引く力がした仕事と、その間の平均の仕事率を求めます。ほかの力の仕事ではなく、引く力の仕事を問う問題です。

1. 力と移動の角を選びます。移動は水平で、力はそこから60°上向きなので、θ = 60°です。物体が進んだ向きを先に固定すると、角の取り違えを防げます。
2. W = Fs cosθに代入します。cos60° = ½より、W = 10 × 4.0 × ½ = 20 Jです。斜めの力の全体を使わず、移動方向の成分を取り出しています。
3. P = W/tを使います。P = 20/5.0 = 4.0 Wです。問われた5.0 s全体での平均なので、合計の仕事を合計の時間で割ります。

答え：引く力の仕事は2.0 × 10¹ J、平均の仕事率は4.0 Wです。

図1の緑の成分は、この問題では5.0 Nです。これに水平移動4.0 mを掛けても同じ仕事が求まります。上向きに引いていることと、物体が上向きに移動したことを混同しないのが要点です。また、力の仕事を求めるだけなら、物体の質量や途中の速さを求める必要はありません。

例題2　仕事と速さの変化

質量2.0 kgの物体が、なめらかな水平面上を速さ3.0 m/sで進んでいます。進む向きと同じ向きに一定の力4.0 Nを加え続けたところ、速さが5.0 m/sになりました。物体が移動した距離を求めます。空気抵抗は無視します。

1. はじめとあとの運動エネルギーを計算します。K₁ = ½ × 2.0 × 3.0² = 9.0 J、K₂ = ½ × 2.0 × 5.0² = 25 Jです。速さの変化ではなく、運動エネルギーの変化を使う準備です。
2. 仕事をする力を確かめます。重力と垂直抗力は水平移動に直角で、摩擦はありません。したがって、加えた力の仕事4.0sが仕事の総和となります。
3. 4.0s = 25 − 9.0 = 16を解きます。s = 4.0 mです。差を先に求めることで、与えた仕事が正となり、速さが増した状況と合うことも確かめられます。

答え：移動した距離は4.0 mです。

この運動では人などが加える力が正の仕事をしているため、物体の力学的エネルギーは増えます。摩擦がなくても保存則でK₁ = K₂と置けない例です。仕事と運動エネルギーの関係を使えば、運動方程式から加速度や時間を順番に求めずに距離へ進めます。

例題3　落下中の速さを高さから求めます

質量2.0 kgの物体を、基準面から高さ5.0 mの位置で静かに放します。空気抵抗を無視して、高さ2.5 mの位置と、基準面に達する直前の速さを求めます。「静かに放す」は初速が0という条件です。図2には、それぞれの位置でのエネルギーの配分を示しました。

1. 基準を決めます。問題の基準面をh = 0として、そこで重力による位置エネルギーを0とします。はじめのKは0、Uは2.0 × 9.8 × 5.0 = 98 Jです。
2. 保存条件を確認して式を立てます。運動中に仕事をする力は重力だけなので、½mv² + mgh = mg × 5.0です。落下中の各位置を同じ基準で比べています。
3. 高さ2.5 mを代入します。U = 49 JなのでK = 98 − 49 = 49 Jです。½ × 2.0 × v² = 49より、速さは7.0 m/sになります。
4. 基準面の直前ではh = 0です。K = 98 Jよりv² = 98、v = √98 = 9.899… m/sです。途中では丸めず、最後に有効数字2桁で9.9 m/sとします。

答え：高さ2.5 mでは7.0 m/s、基準面に達する直前では9.9 m/sです。

図2の棒は、紺が運動エネルギー、緑が位置エネルギーです。3本とも合計98 Jで高さがそろっています。落下距離が半分の位置で運動エネルギーも最終値の半分になりますが、速さは最終値の半分にはなりません。運動エネルギーには速さの2乗が入るためです。式の両辺をmで割ると質量が消えるので、同じ高さから同じ条件で放した物体の速さは質量に依存しません。

例題4　ばねから飛び出し、摩擦で止まります

ばね定数2.0 × 10² N/mの軽いばねを0.10 m縮め、質量0.50 kgの小物体を接触させて静かに放します。ばねは一端が固定され、小物体はばねに接着されていません。ばねが自然長になるまでは水平でなめらかな面、その先は同じ高さの粗い面です。粗い面では大きさ0.40 Nの一定の動摩擦力がはたらきます。ばねから離れるときの速さと、粗い面に入ってから止まるまでの距離を求めます。

1. 区間を分けます。ばねに押される区間では弾性力による位置エネルギーが運動エネルギーへ移り、その先では動摩擦力が負の仕事をします。保存できる区間と減少する区間を1本の同じ保存式で扱わないためです。
2. はじめのばねの位置エネルギーを求めます。U = ½ × 200 × 0.10² = 1.0 Jです。自然長ではばねの位置エネルギーが0となり、この1.0 Jが物体の運動エネルギーになります。
3. ½ × 0.50 × v² = 1.0を解きます。v² = 4.0なので、離れるときの速さは2.0 m/sです。ばねは自然長を超えて物体を引っ張らないという接触条件も確認します。
4. 粗い面の区間でエネルギーの変化を立式します。停止時のKは0なので、0 − 1.0 = −0.40sです。両辺の符号がそろい、s = 2.5 mになります。

答え：ばねから離れるときの速さは2.0 m/s、粗い面で止まるまでの距離は2.5 mです。

この問題では高さが変わらないため、重力による位置エネルギーは差し引きで消えます。床の高さを基準にすれば、最初から各状態で0とできます。ばねの変形量はcmのまま入れずmに直す必要があり、長さの換算ミスは2乗によってエネルギーに大きく影響します。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　力があれば必ず正の仕事をすると考えます

誤った書き方は「水平に移動した箱の重力の仕事はmgs」です。どこが違うかというと、移動距離だけを見て、力と移動の角を省いています。正しい書き方は「重力は鉛直下向き、移動は水平なので、W = mgs cos90° = 0」です。

同じ重力でも、箱を鉛直下向きに動かせば正、上向きに動かせば負の仕事をします。解き直すときは式を消す前に、力の矢印と移動の矢印を2本描いてみましょう。また、物体を支えたままその位置を動かさない場合は、s = 0なので仕事も0です。腕の疲れなど、体の内部でのエネルギー消費は、物体にした力学的な仕事と分けて考えます。

誤り2　速さの差を2乗してしまいます

誤った書き方は「仕事の総和 = ½m(v₂ − v₁)²」です。どこが違うかというと、運動エネルギーは各状態の速さから決める量なのに、先に速さの差を作っています。正しい書き方は「仕事の総和 = ½mv₂² − ½mv₁²」です。

例題2で誤った式を使うと、½ × 2.0 × (5.0 − 3.0)² = 4.0 Jとなり、正しい16 Jとは一致しません。さらに、誤った式では減速したときも2乗のため正の値しか出せません。減速なら運動エネルギーは減るはずだと確かめると、式の誤りを数値の答えより前に発見できます。K₁、K₂を別々に求めてから引く方法で直しましょう。

誤り3　摩擦がある区間にも保存則をそのまま使います

誤った書き方は、例題4の粗い面で「はじめのK = あとのK」と置くことです。どこが違うかというと、動摩擦力が負の仕事をしているのに、その仕事を勘定に入れていません。正しい書き方は「K₂ − K₁ = −fs」、または「K₁ = K₂ + fs」です。後者のfsは、静止した床を滑るこの条件で失われる力学的エネルギーの大きさです。

図3のように、粗い面に入った瞬間を出発点にすると、物体の運動エネルギーは1.0 Jから減っていきます。1.0 m滑ったときは摩擦の仕事が−0.40 Jなので、残る運動エネルギーは0.60 Jです。2.5 mで1.0 Jを失い、物体は止まります。

図3の橙の部分は、物体と床を合わせた内部エネルギーの増加を表します。音などへの移り変わりや外への熱の移動を無視した表し方です。紺だけを見ると減りますが、橙を含めた合計は変わりません。「エネルギー保存」と「力学的エネルギー保存」を同じ条件の法則として覚えないようにしましょう。

停止距離より先まで同じ式を延長して、運動エネルギーが負になる答えを採用するのも誤りです。動摩擦力を用いたこの計算は物体が滑っている区間についてのものです。0になった位置で止まり、以後の運動はそこでの力の条件から考え直します。

練習問題

解く前に、どの力の仕事を求めるか、比べる2つの状態はどこかを短く書いてみましょう。計算後はJ、W、m/s、mのうち、問いに合う単位で答えているかを確かめます。数値は最後に有効数字2桁へ丸め、途中の計算では十分な桁を残してください。

練習1

物体が水平に3.0 m進みました。この間、一定の大きさ6.0 Nの力が、移動と同じ向き、反対向き、直角の向きにはたらく場合をそれぞれ考えます。この力がした仕事を3通り求めてください。また、同じ向きの力について、移動に2.0 sかかったときの平均の仕事率を求めてください。

練習2

質量0.50 kgの小球を、床から高さ1.25 mの位置で静かに放します。空気抵抗を無視し、床に当たる直前の速さを求めてください。床を位置エネルギーの基準とし、はじめの力学的エネルギーも答えてください。

練習3

水平でなめらかな面上に、ばね定数1.0 × 10² N/mの軽いばねにつながれた質量2.0 kgの物体があります。一端を固定したばねを自然長から0.20 m伸ばし、物体を静かに放します。空気抵抗を無視して、ばねが自然長になる瞬間の物体の速さを求めてください。

練習4

質量1.0 kgの物体が、粗い水平面に速さ4.0 m/sで入ります。一定の動摩擦力2.0 Nだけが水平にはたらくとき、停止するまでに動摩擦力がする仕事と、停止するまでの移動距離を求めてください。空気抵抗は無視します。

答えと解説

練習1：仕事は同じ向きで18 J、反対向きで−18 J、直角で0 J、平均の仕事率は9.0 Wです。Fs = 6.0 × 3.0 = 18 Jに、それぞれcos0°、cos180°、cos90°を掛けます。平均の仕事率は18/2.0 = 9.0 Wです。時間が与えられていても仕事そのものの計算には入りません。

練習2：速さは4.9 m/s、はじめの力学的エネルギーは6.1 Jです。丸める前のエネルギーは0.50 × 9.8 × 1.25 = 6.125 Jです。½mv² = mghよりv² = 2 × 9.8 × 1.25 = 24.5、v = 4.949… m/sと求まります。先に6.1 Jへ丸めた値から計算を続けるより、元の式を使うと丸めの影響を抑えられます。

練習3：速さは1.4 m/sです。はじめのばねの位置エネルギーは½ × 100 × 0.20² = 2.0 Jです。自然長ではこれが運動エネルギーになり、½ × 2.0 × v² = 2.0よりv = √2 = 1.414… m/sです。自然長で弾性力が0になっても、すでに動いている物体の速さが0になるわけではありません。

練習4：動摩擦力の仕事は−8.0 J、停止距離は4.0 mです。はじめの運動エネルギーは½ × 1.0 × 4.0² = 8.0 Jです。仕事は0 − 8.0 = −8.0 Jであり、−2.0s = −8.0よりs = 4.0 mです。「失ったエネルギーの大きさ」は8.0 Jですが、「摩擦力がした仕事」は負になります。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

摩擦で減った力学的エネルギーの行き先は、次に学ぶ熱とエネルギーにつながります。さらに電気の学習では、電力が単位時間あたりに変換されるエネルギーを表します。仕事率で扱ったJとWの関係を、電気でもそのまま使うことになります。

家庭で5分ほど使うなら、まず紙に「かばんを持ち上げる」「同じ高さで水平に運ぶ」の2場面を描き、手がかばんを支える上向きの力と移動の矢印を添えてみましょう。上向きの力がする仕事を比べ、持っている時間の長さだけでは仕事が決まらないことを言葉にします。実際に重い物を持つ必要はありません。

もう1つは、例題3の棒を紙に描き直す方法です。合計98 Jの高さを固定し、高さが半分なら位置エネルギーの棒をどこで区切るかを考えます。その後で計算すると、式の各項と図の対応を確かめられます。保護者の方がお子さまと確認する場合も、答えを先に伝えるより「どの部分が増えたのか」と尋ねると説明の練習になります。

個別指導で確かめるときは、符号の誤りなら力と移動の矢印へ、高さの誤りなら鉛直方向と基準面へ戻ります。式が立たない場合には、はじめと終わりの絵を並べ、速さ・高さ・ばねの変形のうち何が変わったかを一緒に整理します。

まとめ

通学電車の窓の前で抱いた「力を加えたら仕事をするはず」という疑問は、力の向きだけでは答えられません。移動を添え、さらにどの状態とどの状態を比べるのかを決めると、仕事の符号もエネルギーの式も意味をもちます。解答を見直すときは、数値だけでなく、図の中で減った分の行き先までたどってみましょう。

摩擦で止まる物体のエネルギーにも行き先があり、停止はエネルギーの消滅ではありません。