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【数学III】積分の計算を図解で総まとめ—置換積分・部分積分・分数関数・三角関数の積分｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.10.12更新 2026.10.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学単元解説（数I・A・II・B・III・C）

【数学III】積分の計算を図解で総まとめ—置換積分・部分積分・分数関数・三角関数の積分のアイキャッチ武蔵野個別指導塾

置換積分の区間変更や部分積分の選び方を、図と例題で確かめます。分数関数の分解、三角関数の半角・積和、偶関数・奇関数まで、微分に戻して計算の根拠をたどれます。

よくあるのは、雨の日の放課後、校舎の渡り廊下のベンチで問題集を開き、∫2x cos(x²) dx の横に「置換？部分積分？」と書いたまま手が止まるという場面です。積の形だから部分積分だと思っても、解答では x² を t に置き換えています。公式を覚えたのに使い分けられないときは、計算力だけの問題と決めつける必要はありません。積分する式のどこを見ればよいかが、まだ整理されていないのです。

数学IIIの積分では、三角関数、指数関数、対数関数、分数や根号を含む関数を扱います。式の見た目は増えますが、判断の中心は「何を微分するとこの形になるか」です。合成関数の微分を逆にたどるのが置換積分で、積の微分を逆にたどるのが部分積分です。この二つに式変形と定積分の性質を組み合わせれば、初めて見る式にも計算の入口をつくれます。答えだけでなく、選んだ方法の理由を言葉にできるところまで確かめましょう。

この単元で身につけること

基本公式を微分と結びつけます。累乗、三角関数、指数関数、対数関数の積分を、原始関数の導関数から確かめます。
置換する式を見つけます。内側の関数とその導関数の組を探す方法と、x 自体を別の文字の関数で表す方法を使います。
部分積分の役割を判断します。微分すると簡単になる因子と、積分できる因子を分け、残る積分を見通します。
分数関数と三角関数を変形します。部分分数分解、半角の公式、積和の公式によって、基本公式が使える形をつくります。
定積分の区間と対称性を管理します。変数を変えたら端点も変え、偶関数・奇関数の性質を使える条件を確認します。

数学IIの多項式の積分と、数学IIIの合成関数・積・商の微分が土台です。多項式の積分で行った「原始関数を求め、上端の値から下端の値を引く」という流れは、扱う関数が増えても変わりません。計算の途中で迷ったときは、公式の数を増やす前に、どの微分法を逆に使っているのかを確認すると整理できます。

基本の考え方

原始関数と基本公式をつなぐ

F′(x)=f(x) となる関数 F(x) を、f(x) の原始関数といいます。不定積分 ∫f(x) dx は、その原始関数を F(x)+C と表したものです。C は積分定数で、微分すると消える定数分だけ答えに幅があることを示します。一つの区間で考える限り、原始関数どうしの差は定数になります。

以下では指数を上付き文字で書き、自然対数を log x と書きます。log の底は e で、三角関数の角は弧度法で表します。一般の底を区別するときは logₐ x と書きます。公式の条件は、分母が 0 にならないことや、対数の中身が正であることと合わせて読みます。

∫xⁿ dx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C。ただし n≠-1 で、関数が定義され微分できる区間で考えます。
∫(1/x) dx=log|x|+C。ただし x≠0 です。正の区間、負の区間を分けて扱います。
∫eˣ dx=eˣ+C、∫aˣ dx=aˣ/log a+C。ただし a>0、a≠1 です。
∫sin x dx=-cos x+C、∫cos x dx=sin x+C です。
∫(1/cos²x) dx=tan x+C、∫(1/sin²x) dx=-cos x/sin x+C です。それぞれ分母が 0 にならない区間で使います。

たとえば ∫√x dx は、√x=x¹ᐟ² と見れば (2/3)x³ᐟ²+C です。一方、1/x を同じ公式に入れると n+1=0 になり、割り算ができません。ここだけは対数の公式に分かれます。指数を 1 増やすという操作の前に、指数が -1 でないかを見ておく必要があります。

定積分 ∫[a→b] f(x) dx は、下端を a、上端を b とする積分を表す記法として使います。f が [a,b] で連続で、F がその原始関数なら、値は [F(x)][a→b]=F(b)-F(a) です。不定積分と違って最終的な答えに C は付けません。同じ原始関数の差を取るので、定数は打ち消し合います。

積分は和や定数倍に分けられます。∫(f(x)+g(x)) dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx ですが、積や商を同じように分ける規則はありません。この違いを踏まえると、積の形を公式に合う形へ変える必要が見えてきます。

置換積分は変数と幅を一緒に変える

合成関数の微分は、F(g(x)) を微分すると F′(g(x))g′(x) になるという規則でした。F′(t)=f(t) と書けば、これを逆にした式は ∫f(g(x))g′(x) dx=F(g(x))+C です。内側の式 g(x) だけでなく、その導関数 g′(x) が掛かっているかを見るのが出発点です。

t=g(x) と置くと dt=g′(x) dx と表します。これは変数を変えるときの微小な幅の対応を表す記法です。たとえば ∫2x cos(x²) dx では、t=x²、dt=2x dx とすると ∫cos t dt に変わり、答えは sin(x²)+C になります。cos(x²) を cos t に変えるだけで dx を残すと、異なる変数が混ざってしまいます。

図1は、0≦x≦1 で t=x²+1 と置いたときの区間の対応です。x=0 は t=1、x=1/2 は t=5/4、x=1 は t=2 に移ります。x の等しい幅が、そのまま t の等しい幅になるわけではありません。図1の曲線の傾きが右に行くほど大きくなることは、dt=2x dx の係数が変わることに対応しています。

定積分では、∫[0→1] 2x f(x²+1) dx=∫[1→2] f(t) dt と端点も変えます。右辺の積分が終わったら、そのまま t の端点を代入して構いません。不定積分では元の変数 x に戻しますが、定積分では変更後の変数と端点が対応していれば、戻さずに数値まで求められます。

もう一つの向きとして、x=g(t) と置く方法があります。この場合は dx=g′(t) dt なので、∫f(x) dx=∫f(g(t))g′(t) dt と変形します。たとえば √(1-x²) を含む式なら x=sin t と置くと、根号の中が 1-sin²t=cos²t になります。ただし √(cos²t)=|cos t| なので、cos t の符号が決まる t の範囲もセットで選びます。文字を置き換えるだけでなく、どの範囲をどの向きに動くかまでが置換です。

部分積分と式変形の選び方

積の微分 (uv)′=u′v+uv′ を積分して移項すると、∫uv′ dx=uv-∫u′v dx になります。これが部分積分です。左辺より右辺に残る積分が簡単になるように、u と v′ を選びます。u を微分して、v′ を積分するという役割を混同しないことが大切です。

たとえば x eˣ では、x を微分すれば 1 になり、eˣ は積分しても eˣ のままです。したがって u=x、v′=eˣ が適しています。log x は積分の基本公式に直接入っていなくても、log x×1 と見て u=log x、v′=1 とすれば扱えます。微分で 1/x、積分で x が現れ、その積が 1 になるためです。

式全体が複雑に見える場合は、まず整理できないかを確かめます。分数関数なら分子の次数が分母以上のときに割り算を行い、その後で分母の因数に合わせて部分分数に分けます。三角関数の二乗なら半角の公式、異なる角の積なら積和の公式が候補です。置換や部分積分を始める前の一行の変形が、その後の計算量を大きく変えることがあります。

方法を選ぶ順序としては、まず基本公式に直接合うかを見ます。次に展開や分解で和にできるか、内側の関数の導関数がそばにあるか、積の一方を微分すると簡単になるかを調べます。これは必ず一つの方法を選ぶための固定手順ではありません。同じ式を別の方法で積分できることもあり、残る計算の少なさを比較するための見方です。

例題で解き方を確かめる

例題1　分子に分母の導関数がある置換積分

∫[0→1] 2x/(x²+1) dx を求めます。分母の x²+1 を微分すると分子の 2x になります。この関係が、分数を対数の公式へつなぐ手がかりです。

t=x²+1 と置き、dt=2x dx と書きます。分母を一つの文字にしながら分子と dx をまとめて変えるためです。
x=0 のとき t=1、x=1 のとき t=2 と調べます。図1のように、定積分の端点も新しい変数の値に直します。
∫[1→2] (1/t) dt=[log t][1→2] と計算します。この区間では t>0 なので、絶対値を外して log t と書けます。
log 2-log 1=log 2 とします。積分前の関数は区間で 0 以上なので、結果が正であることも確かめられます。

答え：log 2 です。

同じ考えで、不定積分 ∫2x/(x²+1) dx は log(x²+1)+C です。微分すると (1/(x²+1))×2x に戻ります。ここで x²+1 は常に正なので絶対値を付けなくても構いません。一般に ∫f′(x)/f(x) dx=log|f(x)|+C は、f(x)≠0 で微分できる区間で使う公式です。分母を微分したものが分子の定数倍になっている場合にも、係数を補えば使えます。

例題2　積の一方を簡単にする部分積分

∫[0→1] x eˣ dx を求めます。x eˣ は積ですが、x の微分が eˣ の内側の関数に対応しているわけではありません。x を微分すると次数が下がることに注目します。

u=x、v′=eˣ とし、u′=1、v=eˣ を並べます。積分しやすい eˣ を v′ に選ぶと、右辺に残る積分も基本公式で処理できます。
定積分の部分積分 ∫[0→1] uv′ dx=[uv][0→1]-∫[0→1] u′v dx を使います。最初の項は積 uv の端点での差であることに注意します。
[x eˣ][0→1]-∫[0→1] eˣ dx=e-(e-1) とします。下端 x=0 では x eˣ は 0 ですが、eˣ は 1 です。
括弧を外して e-e+1=1 と整理します。二つの端点の差を別々に書けば、最後の符号を確かめやすくなります。

答え：1 です。

図2のように、0≦x≦1 では y=x eˣ は 0 以上です。このため今回の定積分は、曲線と x 軸、および直線 x=1 で囲まれる部分の面積と一致します。曲線の右端の高さは e ですが、幅 1、高さ e の長方形全体が面積になるわけではありません。部分積分による e-(e-1) という計算が、曲線の下の量を正確に求めています。

不定積分としてまとめれば、∫x eˣ dx=(x-1)eˣ+C です。微分すると eˣ+(x-1)eˣ=x eˣ となり、確かめられます。同じ方法で x²eˣ を積分すると、1回の部分積分で 2∫x eˣ dx が残るため、さらにもう1回部分積分します。多項式の次数が一つずつ下がることが、計算を終えられる見通しになります。

対数関数にもこの考えを使えます。x>0 で ∫log x dx を考えると、u=log x、v′=1 として x log x-∫x×(1/x) dx=x log x-x+C です。「積が書かれていないので部分積分は使えない」と決めず、1 を掛けた形を検討しましょう。

例題3　部分分数分解から対数へ進む

x>1 として、∫1/(x²-1) dx を求めます。分母を微分した 2x が分子にないので、例題1の形をそのまま当てはめることはできません。分母が (x-1)(x+1) に分かれることを利用します。

1/((x-1)(x+1))=A/(x-1)+B/(x+1) と置きます。一次式を分母に持つ和に直せば、対数の積分公式を使えるからです。
両辺に (x-1)(x+1) を掛け、1=A(x+1)+B(x-1) とします。係数を比較して A+B=0、A-B=1 なので A=1/2、B=-1/2 です。
∫1/(x²-1) dx=(1/2)∫1/(x-1) dx-(1/2)∫1/(x+1) dx と分けます。ここで分けているのは商ではなく、等しい式へ変形した後の和です。
x>1 では x-1 と x+1 がともに正なので、(1/2)log(x-1)-(1/2)log(x+1)+C とします。対数の差を一つにまとめることもできます。

答え：(1/2)log((x-1)/(x+1))+C です。

条件を x>1 に限らない場合は、x=±1 をまたがない各区間で (1/2)log|(x-1)/(x+1)|+C と表します。元の関数が定義されない点を、積分の答えだけで乗り越えることはできません。たとえば -2 から 2 までの積分に、この原始関数の両端の値を機械的に代入するのは、ここで学ぶ連続関数の定積分の使い方に反します。

分子の次数が高いときは、先に割り算をすることも大切です。x²/(x²-1)=1+1/(x²-1) と直せば、今求めた原始関数に x を加えるだけです。また、分母が x²+2x+2 なら (x+1)²+1 と平方完成できます。因数分解だけに固執せず、分母の形を見て次の変形を選びます。

例題4　x を三角関数で置いて根号を外す

∫[0→1] √(1-x²) dx を求めます。根号の中に 1-x² があるので、1-sin²t=cos²t を使える形をつくります。今度は t を x の式で表すのではなく、x=sin t と置きます。

x=sin t、0≦t≦π/2 と置きます。この範囲では sin t が 0 から 1 まで増加し、元の積分区間と一対一に対応するためです。
dx=cos t dt、√(1-x²)=√(cos²t)=cos t とします。最後の等号では、この範囲で cos t≧0 であることを使っています。
積分を ∫[0→π/2] cos²t dt と直します。根号から生じた cos t と、dx の変換から生じた cos t の両方が必要です。
半角の公式 cos²t=(1+cos 2t)/2 を使い、[t/2+sin 2t/4][0→π/2]=π/4 と計算します。cos 2t の積分では、内側の 2t の微分による係数 2 を補うため、sin 2t/2 になります。

答え：π/4 です。

この被積分関数は半径 1 の円の上半分を表し、積分区間はその右半分です。したがって面積が円全体の 1/4 になることでも答えを確認できます。根号の積分と三角関数の二乗の積分が、置換によって一続きになっている例です。

三角関数の二乗には sin²x=(1-cos 2x)/2 も使います。そのため ∫sin²x dx=x/2-sin 2x/4+C です。異なる角の積には、sin A cos B=(sin(A+B)+sin(A-B))/2 を使えます。たとえば sin 2x cos x=(sin 3x+sin x)/2 なので、積分は -cos 3x/6-cos x/2+C です。公式を変形の目的と結びつければ、「二乗は角を2倍にした和へ」「積は角の和と差を使った和へ」という見通しが持てます。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　置換したのに区間だけ元のままにする

誤った書き方：∫[0→1] 2x/(x²+1) dx=∫[0→1] (1/t) dt です。式の文字は t に変わったのに、端点は x の値のままになっています。しかも右辺では t=0 で関数が定義されず、元の連続な関数とは違う問題になっています。

正しい書き方：t=x²+1、dt=2x dx、x:0→1 に対して t:1→2 なので、∫[1→2] (1/t) dt です。置換の行には「式」「幅」「端点」の三つを並べると、確認すべき場所がはっきりします。

減少する置換では端点の順序も変わります。たとえば t=1-x なら x:0→1 は t:1→0 で、dx=-dt です。∫[0→1] f(1-x) dx=-∫[1→0] f(t) dt=∫[0→1] f(t) dt と、負号と区間の向きが対応します。上端が下端より小さいことを見て、理由なく並べ替えてはいけません。

誤り2　部分積分の引き算を足し算にする

誤った書き方：∫x eˣ dx=x eˣ+eˣ+C です。積の微分は足し算ですが、部分積分ではその一方を移項しています。公式を微分の公式と同じ符号で覚えると、余分な項が生まれます。

正しい書き方：∫x eˣ dx=x eˣ-∫eˣ dx=x eˣ-eˣ+C です。誤った答えを微分すると x eˣ+2eˣ になり、元の式に戻りません。書き直すときは答えの符号だけを直すのでなく、(x eˣ)′=eˣ+x eˣ から x eˣ=(x eˣ)′-eˣ と一度移項して、引き算になる根拠を確かめます。

定積分では括弧の処理も同じくらい重要です。例題2の e-(e-1) を e-e-1 としてしまうと、0 以上の関数を積分しているのに -1 となります。原始関数による計算と、被積分関数の符号による確認を別々に行うと、途中の小さな誤りを拾えます。

誤り3　左右対称なら定積分が必ず 0 になると考える

誤った書き方：y=x² は左右対称だから ∫[-1→1] x² dx=0 です。y 軸について対称なグラフでは、左右の値は同じ符号です。打ち消すのではなく、同じ量が二つ集まります。偶関数 f(-x)=f(x) と、奇関数 f(-x)=-f(x) の区別が必要です。

正しい書き方：偶関数 x² については ∫[-1→1] x² dx=2∫[0→1] x² dx=2/3 です。一方、奇関数 x³ では ∫[-1→1] x³ dx=0 です。図3のように、左の x² は両側とも x 軸より上ですが、右の x³ は左側が下、右側が上にあります。

一般に a>0 として、[-a,a] で連続な偶関数なら ∫[-a→a] f(x) dx=2∫[0→a] f(x) dx、奇関数なら 0 です。奇関数の式は、負の側で x=-t と置換すれば、正の側の積分と反対符号になることから説明できます。面積そのものが消えるのではなく、定積分の正負の量が打ち消し合っています。

対称な区間かどうかも条件の一部です。奇関数でも ∫[0→1] x³ dx は 1/4 で、0 にはなりません。また、1/x は奇関数ですが、x=0 で定義されないため、∫[-1→1] (1/x) dx にこの規則をそのまま適用できません。「奇関数だから0」と書く前に、区間と定義域を確認しましょう。

練習問題

次の4問では、計算を始める前に選ぶ方法を一言添えてみましょう。置換なら変数と幅の関係、部分積分なら二つの因子の役割を書きます。定積分では、最後に符号とおよその大きさを確認します。

練習1

∫[0→1] x√(x²+3) dx を求めます。根号の中を微分した式と、根号の外にある x の関係を見つけてください。係数が完全に一致していない場合も、定数倍を積分の外へ出せます。

練習2

∫[1→e] log x dx を求めます。log x を積と見直し、微分する側を決めてください。端点 x=e で log e=1、x=1 で log 1=0 となることも使います。

練習3

x>0 として、∫(2x+3)/(x(x+1)) dx を求めます。A/x+B/(x+1) と置き、通分した後の分子を比較してください。二つの係数が求まったら、通分して元の式に戻ることも確かめます。

練習4

∫[-π→π] (sin²x+x cos x) dx を求めます。和を二つの積分に分けて、それぞれが偶関数か奇関数かを調べてください。消えずに残る項には、三角関数の二乗を変形する公式を使います。

答えと解説

練習1の答えは (8-3√3)/3 です。t=x²+3 と置くと dt=2x dx、x:0→1 に対して t:3→4 なので、(1/2)∫[3→4] √t dt=[t³ᐟ²/3][3→4] となります。4³ᐟ²=8、3³ᐟ²=3√3 より答えが得られます。元の関数が正であることに対応して、結果も正です。

練習2の答えは 1 です。u=log x、v′=1 として、[x log x][1→e]-∫[1→e] 1 dx=e-(e-1)=1 です。原始関数 x log x-x を使うなら、上端の値は 0、下端の値は -1 になります。上端で 0 になっただけで計算を終えないことが確認点です。

練習3の答えは 3log x-log(x+1)+C です。2x+3=A(x+1)+Bx より A=3、A+B=2 なので B=-1 です。したがって 3/x-1/(x+1) を積分します。x>0 では x と x+1 がともに正です。答えを微分すると 3/x-1/(x+1)=(2x+3)/(x(x+1)) に戻ります。

練習4の答えは π です。sin²x は偶関数で、x cos x は奇関数です。後者の定積分は 0 なので、2∫[0→π] sin²x dx=∫[0→π] (1-cos 2x) dx=[x-sin 2x/2][0→π]=π となります。一つの被積分関数全体が偶関数でも奇関数でもない場合も、和に分けると対称性を利用できます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

積分の計算は、面積・体積・曲線の長さを求めるための土台になります。図形から積分の式を立てても、原始関数を求める段階で置換や部分積分が必要です。また、式が求められた後に、値が面積として正か、区間を広げたときの変化に無理がないかを見直す習慣もつながります。

家庭で5分確かめるなら、一つ目は例題1の答えだけを見て微分する方法です。log(x²+1) の導関数を書き、外側の微分と内側の微分をそれぞれ指さして説明します。二つ目は例題2の計算を、u、u′、v、v′ の四つと端点の値だけで再現する方法です。全文を書き写さず、どちらを微分すると簡単になるかを言葉にします。

個別指導で確認する際も、積分の公式だけに戻るとは限りません。置換で係数が合わないなら合成関数の微分へ、部分分数分解で止まるなら通分と恒等式の係数比較へ戻り、止まった一行の前提を確かめます。保護者の方がお子さまのノートを見るときは、答えの一致に加えて「この置換を選んだ理由は何か」と一つだけ尋ねると、理解している部分が見えやすくなります。