高校数学III 平均値の定理—区間の条件を確かめて関数の増減と不等式につなぐ｜武蔵野個別指導塾

端点の連続性から割線と接線の傾き、導関数を使う不等式まで、条件を追って平均値の定理を読み解きます。

定期テスト前の演習で、区間の内部では微分できることを確かめ、そのまま平均値の定理を使う場面があります。端点でも連続かどうかを見落とすと、傾きの等しい点があるとは限りません。まず閉区間の両端を含めて関数を見て、その後で開区間の微分可能性を調べましょう。条件を満たしたとき、離れた2点の関数値の差を途中の導関数に結びつけられます。

数学IIIの微分法の応用にある平均値の定理を扱い、割線と接線の関係から増減と簡単な不等式まで考えます。学習範囲は、学習指導要領の数学IIIに置かれた微分法に対応します。図の傾きの読み方と式の前提を一緒に確認すると、定理を使える場所と使えない場所を区別しやすくなります。

どんな問いで使うのか

平均値の定理に関する問いには、次のような型があります。それぞれ、先に何を確かめるかを決めておくと、計算だけが先に進むのを防げます。

• 閉区間で定理を適用できるかを調べ、傾きの等しくなる点を求める型。連続性と微分可能性を確認した後、端点の関数値から割線の傾きを計算します。
• 導関数の符号から関数の増減を示す型。任意の2点を選び、関数値の差をその間にある導関数で表します。
• 関数値の差を評価して不等式を示す型。導関数の上限や下限が、差を区間の長さで割った値にも及ぶことを使います。

最初の型で得た点は、一般に式を解いて具体的に求められます。一方、増減や不等式の証明では、その点を実際に求めなくても、区間の内部に存在することと導関数の符号が十分な場合があります。存在を示す定理と、点の値を求める計算を区別しましょう。

閉区間と開区間の役割

a < b とします。関数 f が閉区間 [a, b] で連続、開区間 (a, b) で微分可能なら、a < c < b を満たす少なくとも1つの c が存在し、次の等式が成り立ちます。

f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a)

右辺は2点 (a, f(a))、(b, f(b)) を結ぶ割線の傾きです。左辺は x = c における接線の傾きです。図1のように、両端を結ぶ直線と平行な接線が、途中のどこかにあります。図は関係を表す例であり、接点が常に中央にあるという意味ではありません。

図1の a と b の間で、接点の横座標 c は端点を含まない位置にあります。定理はそのような点の存在を保証しますが、個数や位置を一律に指定するものではありません。同じ傾きの接線が複数ある関数もあります。

連続性については、両端の関数値も含めて確認します。端点では区間の内側からの極限がそれぞれの関数値に一致する必要があります。内部では通常の連続性を調べます。微分可能性については内部の各点で確かめ、端点で両側の微分係数があることまでは要求しません。閉区間と開区間の違いは、単なる記号の違いではありません。

例えば、内部で滑らかに見えても、左端の値だけが内側からの極限と異なる関数では、左端を含む連続性が失われます。逆に、端点で接線の傾きを両側から定義できなくても、閉区間での連続性と内部の微分可能性が満たされれば適用できます。グラフを眺めるときも、端点の点が塗られているか、その点に曲線がつながるかを確かめます。

定理の結論がたまたま成立することと、定理の仮定を満たすことは別です。仮定を満たさない例では結論が成立することもありますが、定理を根拠に存在を主張することはできません。反対に、条件を満たしていればグラフを正確に描けなくても存在が保証されます。

例題1：傾きの一致する点を求める

関数 f(x) = x² を区間 [1, 3] で考えます。平均値の定理の条件を確かめ、定理の等式を満たす c を正確な値で求めてください。

まず f は多項式なので [1, 3] で連続です。また (1, 3) の各点で微分可能です。端点の値を含む連続性と、内部の微分可能性を別々に書いたので、定理を適用できます。

端点の関数値は f(1) = 1、f(3) = 9 です。したがって割線の傾きは

(f(3) − f(1))/(3 − 1) = (9 − 1)/2 = 4

です。点の横座標の差は 2、縦座標の差は 8 なので、傾きは 4 と確認できます。導関数は f′(x) = 2x ですから、定理の等式は

2c = 4

となります。これを解くと c = 2 です。1 < 2 < 3 なので、求めた値は開区間の条件も満たします。

図2の割線は (1, 1) と (3, 9) を通ります。接点は (2, 4) で、その傾きも f′(2) = 4 です。接線の式は y − 4 = 4(x − 2)、すなわち y = 4x − 4 となり、割線の式 y = 4x − 3 と傾きが一致します。接線を求める問いでなくても、接点と傾きに戻すと図との対応を確認できます。

計算で c = 2 が出た後に区間を確認することも必要です。方程式を解くだけでは、定理が要求する内部の点を選んだことになりません。この例では候補が1つですが、別の関数では複数の候補のうち区間内のものを選びます。

例題2：導関数の範囲から差を評価する

0 < a < b とします。f(x) = √x について、次の不等式を証明してください。

(b − a)/(2√b) < √b − √a < (b − a)/(2√a)

この問題では c の正確な値を求めず、a と b の間にあるという条件を使います。正の数の範囲で平方根の関数は連続で微分可能なので、f は [a, b] で連続、(a, b) で微分可能です。平均値の定理により、a < c < b を満たす c が存在して

(√b − √a)/(b − a) = f′(c) = 1/(2√c)

となります。a < c < b で各数は正ですから、平方根を取っても順序は保たれます。一方、正の数の逆数を取ると順序は逆になります。よって

1/(2√b) < 1/(2√c) < 1/(2√a)

です。ここに上の等式を代入し、正の数 b − a を掛ければ、求める不等式になります。掛ける数が正なので不等号の向きは変わりません。

分かれ目は a = 0 を含めるかどうかです。√x は [0, b] で連続、(0, b) で微分可能なので定理そのものは適用できます。しかし 1/(2√a) は a = 0 で定義されないため、上の形の不等式はそのまま書けません。条件を外して式だけを流用せず、定理の適用と評価式の定義を別々に調べます。

元の量にも戻してみましょう。√b − √a = (b − a)/(√b + √a) です。a < b なので 2√a < √b + √a < 2√b となり、正の分母の逆数を取れば同じ大小関係が得られます。これは結論の確認であり、平均値の定理による証明では c の存在と導関数の評価が中心です。

導関数が区間全体で正なら、任意の a < b に対し f(b) − f(a) = f′(c)(b − a) > 0 です。したがって f は増加します。負なら同様に減少します。導関数が0以上という条件からは減少しないことが言えますが、必ず厳密に増加するとまでは言えません。例えば一定の関数では、どの2点でも関数値は同じです。

端点を飛ばした誤答を直す

区間 [0, 1] で、g(0) = 2、0 < x ≤ 1 では g(x) = x とします。次のような答案を考えます。

「0 < x < 1 で g′(x) = 1 だから平均値の定理が使える。割線の傾きは -1 なので、g′(c) = -1 となる c がある。」

内部の微分係数は確かに 1 です。しかし x が正の側から0に近づくと g(x) は0に近づくのに、g(0) は2です。左端で連続ではありません。図3のように、内部の直線が近づく点と、左端に実際に置いた点が離れています。

図3では右端の値は g(1) = 1 ですから、端点を結ぶ割線の傾きは (1 − 2)/(1 − 0) = -1 です。それに対して内部の接線の傾きは常に 1 で、等しい点はありません。誤答の原因は、内部の微分可能性だけで閉区間の連続性まで確認したと思ったことです。

修正するには、定理を使う前に左端の右側極限と関数値を並べます。この関数には定理を適用できず、結論も成立しません。なお、端点の値を g(0) = 0 に変更すれば、内側の直線につながって [0, 1] で連続になり、割線と内部の接線の傾きはいずれも1になります。元の関数とは別の関数に変えていることも明記します。

もう1つの誤りは、導関数が0以上のとき、差が必ず正になるとするものです。等号の可能性を捨てた場所が原因です。f′(c) ≥ 0 と b − a > 0 から言えるのは f(b) − f(a) ≥ 0 までです。厳密な不等号が必要なら、導関数が正であるなど、別の根拠を確認します。

練習：条件から結論へ

次の3問は先にまとめて考えてください。数値を求める場合は整数または正確な分数で答え、不等式は根拠を示してください。

1. f(x) = x² + x を [0, 2] で考えます。平均値の定理の条件を確認し、その等式を満たす c を求めてください。
2. h(x) = x³ + 3x が実数全体で厳密に増加することを、平均値の定理を使って証明してください。
3. 0 ≤ a < b とします。p(x) = x² + 2x を用いて、2(b − a) ≤ p(b) − p(a) を証明してください。等号が成立するかも調べてください。

練習の解き方

1. 多項式 f は [0, 2] で連続、(0, 2) で微分可能です。f(0) = 0、f(2) = 6 より、割線の傾きは (6 − 0)/(2 − 0) = 3 です。f′(x) = 2x + 1 なので、2c + 1 = 3 を解いて c = 1 です。0 < 1 < 2 であり、f′(1) = 3 は割線の傾きに戻ります。端点の差は 3 × 2 = 6 で、元の関数値の差にも一致します。

2. 任意の実数 a < b を取ります。h は [a, b] で連続、(a, b) で微分可能です。平均値の定理から、a < c < b を満たす c があって h(b) − h(a) = h′(c)(b − a) です。h′(x) = 3x² + 3 > 0、また b − a > 0 なので差は正です。任意の2点で h(a) < h(b) となり、実数全体で厳密に増加します。元の式でも h(b) − h(a) = (b − a)(b² + ab + a² + 3) で、括弧内は正です。

3. p は多項式なので [a, b] で連続、(a, b) で微分可能です。平均値の定理により、a < c < b を満たす c があり、p(b) − p(a) = (2c + 2)(b − a) です。0 ≤ a < c だから c > 0、よって 2c + 2 > 2 です。b − a > 0 を掛けると、実は p(b) − p(a) > 2(b − a) です。したがって指定された不等式は成立し、等号は成立しません。元の式に戻すと差は (b − a)(a + b + 2) で、a + b > 0 から同じ結論を確認できます。

手元に残す要点

閉区間で連続、開区間で微分可能かを先に調べます。
割線の傾きと、内部の接線の傾きが等しくなります。
任意の2点の差を導関数で表し、符号や範囲を使います。
端点と不等号の等号を最後に見直します。

平均値の定理を不等式に使うとき、区間の長さで割った量を先に評価すると見通しが立ちます。導関数が m 以上 M 以下なら、定理の等式から m ≤ (f(b) − f(a))/(b − a) ≤ M です。a < b なので、両辺に b − a を掛けても向きは保たれます。結果は m(b − a) ≤ f(b) − f(a) ≤ M(b − a) です。

この評価に端点での導関数の値は必要ありません。必要なのは、定理で得られた内部の c において評価が成り立つことです。逆に、導関数の評価を区間の一部でしか確認していない場合、c がその部分に入るとは限りません。評価する範囲と定理に使う区間をそろえてから結論を書きます。

答案のどこで止まったかを見る

条件を書く前に傾きの方程式を立てた人は、関数の定義域と端点の値を答案の冒頭に戻してみてください。区分的な定義なら、境目の左右の極限と関数値を別に並べると、連続性の抜けが見えます。端点では区間の内側からの極限を使うことも確認します。

個別指導で確かめるなら、まず本人に a、b、c の位置を図に書いてもらい、c が端点を含まない理由を説明してもらいます。次に関数値の差を導関数と区間の長さの積に直し、どの因子が正かを指で示します。不等式の向きが変わった答案では、逆数を取った行と負の数を掛けた行を順に追います。計算が合っていても、任意の2点を選んだことが書かれていなければ、増減の証明としてどこまで言えたかを問い直します。

端点から内部まで条件をそろえると、平均値の定理は関数値の差を読む確かな橋になります。