高校数学III 接線と法線—接点の条件と傾きを使って直線の方程式を立てる｜武蔵野個別指導塾

曲線上にない点を通る接線では接点を文字で置き、水平な接線の法線も含めて方程式を立てます。

よくあるのは定期テスト前の演習で、曲線の外にある点を通る接線を求めるとき、その与点を接点にして微分係数を計算してしまう場面です。直線が通る点と、曲線に接する点は同じとは限りません。まずそれぞれの役割を分け、曲線上の接点から直線を作ってから、与点を通る条件を使いましょう。接線に垂直な法線も、同じ接点と傾きを出発点にして求めます。

何が与えられているかを読む

接線と法線の問題には、接点の座標が与えられる型と、接点以外の点や直線の傾きが与えられる型があります。前者では接点が曲線上にあることを確かめ、微分係数を求めて直線の式に入れます。接点の座標が曲線の式を満たさなければ、その点での接線は問題の条件のままでは作れません。座標の代入は計算の準備であり、最後にも確認できる条件です。

後者では接点の座標を文字で置きます。曲線上にあるという条件を先に使えば、座標の2成分を別々に未知数にする必要はありません。接線の式を文字で表し、与点を通る、あるいは指定された傾きを持つという残りの条件から文字を決めます。方程式に複数の解があれば、それぞれが実際に条件を満たすか調べます。解がなければ、その条件を満たす接線はありません。

法線を求める型では、接線との垂直の関係が加わります。傾きの積が -1 となる式は便利ですが、接線が水平なときにはそのまま使えません。この場合の法線は鉛直な直線です。図形の向きを先に見れば、0で割る計算を避けられます。

接点から2本の直線を作る

曲線 y = f(x) が x = a で微分可能なとき、接点を P(a, f(a)) とします。微分係数 f′(a) は、その点での接線の傾きです。傾き m の直線が点 (a, b) を通る条件は y − b = m(x − a) ですから、接線は次の式になります。

y − f(a) = f′(a)(x − a)

この式は x = a を入れると y = f(a) となり、確かに接点を通ります。さらに右辺の x の係数は f′(a) なので、接線の傾きも合っています。接線が曲線と別の点で交わる場合もあります。「接する」を共有点が1個という意味に置き換えず、指定された点での傾きで考えます。

法線は接点 P を通り、そこでの接線に垂直な直線です。図1のように、接線の傾きが 0 でなければ、法線の傾きは -(1)/(f′(a)) です。2つの傾きの積が -1 になることからこの値を使います。一方、f′(a) = 0 なら接線は y = f(a)、法線は x = a です。鉛直な直線には通常の意味の傾きがないので、傾きの積で処理しません。

図1では曲線上の P を両方の直線が通り、2本は垂直です。法線の傾きを求める際は符号を変えるだけでなく、逆数も取ります。たとえば接線の傾きが 2 なら法線の傾きは -(1)/(2) であり、-2 ではありません。逆に、与点を通る接線を探す段階では、与点が曲線上にあると仮定せず、接点を P(a, f(a)) と置くのが安全です。

定義域にも注意します。f(a) と f′(a) がその接点で意味を持つ範囲に a を置き、方程式を解いた後も条件を照合します。分母を含む式を整理するときには、0でないことが確かめられた式だけで割ります。未確認の文字式で割ると、0になる場合の接点を失うことがあります。

接点が決まっている例

例題1　曲線 y = x² + (1)/(x) 上の点 P(1, 2) における接線と法線の方程式を求めなさい。答えは y = から始まる式で表します。

まず元の式の定義域は x ≠ 0 です。x = 1 は定義域に入り、1² + (1)/(1) = 2 なので P は曲線上にあります。接点を代入して存在を確かめてから微分します。

f(x) = x² + (1)/(x)

f′(x) = 2x − (1)/(x²)

したがって接点での接線の傾きは f′(1) = 2 − 1 = 1 です。点 P と傾き 1 を直線の式に入れると、

y − 2 = 1(x − 1)

y = x + 1

となります。図2のように接点を通る直線のうち、曲線と同じ向きを持つのがこの接線です。法線はこれに垂直なので、傾きは -1 です。接点は変わらないため、

y − 2 = -(x − 1)

y = -x + 3

を得ます。

図2にある接点の座標と、2本の傾きを式へ戻します。接線に x = 1 を代入すると y = 2、法線に代入しても y = 2 です。また傾きの積は 1 × (-1) = -1 です。曲線の導関数も x = 1 で 1 となるので、接線の向きと一致します。この3点の確認によって、通る点の取り違えと法線の符号間違いを別々に見つけられます。

途中で法線の式に曲線の導関数をもう一度代入する必要はありません。導関数が直接与えるのは接線の傾きで、法線には垂直の関係を使います。また、元の曲線は x = 0 で定義されませんが、求めた直線の式自体はその値でも定義されています。曲線の定義域と直線の定義域を混同しないようにします。

曲線の外の点を通る接線

例題2　曲線 y = x² 上の接線で、点 Q(0, -4) を通るものをすべて求めなさい。方程式は y = から始まる式で表します。

Q の x 座標を曲線へ入れると y = 0 ですから、Q は曲線上にありません。Q を接点として f′(0) を使うことはできません。未知の接点の x 座標を a と置くと、接点は P(a, a²) です。ここで a は実数です。

f′(x) = 2x なので、接点での傾きは 2a です。接線は

y − a² = 2a(x − a)

y = 2ax − a²

となります。この直線が Q(0, -4) を通る条件を代入すると、

-4 = 2a × 0 − a²

a² = 4

a = 2 または a = -2

です。それぞれ接線の式へ戻して、求める直線は y = 4x − 4 と y = -4x − 4 です。接点はそれぞれ (2, 4) と (-2, 4) であり、Q とは異なります。

検算では両方の式に x = 0 を入れると y = -4 となり、Q を通ります。さらに前者は (2, 4) を通り、その傾き 4 は f′(2) と一致します。後者も (-2, 4) を通り、その傾き -4 は f′(-2) と一致します。a の方程式の実数解はこの2個なので、ほかの接点から条件を満たす接線は生じません。

ここで与点の高さを変えると、接線の本数が分かれます。同じ曲線に対して点 (0, c) を通る条件は c = -a² です。c < 0 では a が2個、c = 0 では a = 0、c > 0 では実数の a はありません。c = 0 のときは与点が接点にもなります。c > 0 のときに無理に平方根を実数として扱わず、接線が存在しないと答えるのも結論です。

間違えた式を点と傾きに戻す

例題2で「Q の x 座標は 0 だから傾きは f′(0) = 0、求める接線は y = -4」とする誤答を考えます。この直線は Q を通りますが、曲線 y = x² の x = 0 における点は (0, 0) です。接点での傾きを、接点でない Q に適用したことが原因です。図3のように Q と曲線上の点は高さが違います。

図3の誤った水平線は曲線と共有点を持ちません。修正するときは Q を通ることをいったん保留し、曲線上に P(a, a²) を置きます。P での傾き 2a を用いて直線を作り、その後に Q を代入します。この順なら、曲線上にある条件と与点を通る条件を混ぜずに済みます。

もう1つの失敗は、接線の傾きが 0 のときに法線の傾きを -(1)/(0) と書くことです。0による割り算は定義されません。水平な接線に垂直な直線は鉛直なので、接点の x 座標を a として x = a と書き直します。たとえば y = x² の原点での接線は y = 0、法線は x = 0 です。原点を通ることと垂直な向きを両方確認できます。

答えが出ないときも、計算を進める前の条件に戻ります。接点が定義域外なら候補から外し、与えられた点自体が曲線上の接点と指定されているのに曲線の式を満たさないなら、その条件で接線は作れません。接点を求める方程式に実数解がない場合も、存在しないという答えを理由とともに記します。

接点を文字で置く方法では、立式の前に候補の範囲を書いておくと、途中の変形を点検しやすくなります。たとえば分数関数では接点の分母が 0 でないことが必要です。方程式を解いた結果がその禁止された値なら、式だけの候補として残さず除きます。反対に、分母を払う前に確認できる条件を明示すれば、どの操作が可能だったか後から追えます。

また、未知の接点について得られた方程式を解いただけで終わらず、各候補から直線を実際に作ります。異なる接点が得られても、問題が求めるのは接点なのか直線なのかを読み直し、指定されたものを答えます。通過点の代入は必要条件を作るための操作ですが、候補を元の条件に戻すことで、変形の途中で混入した不要な解も見分けられます。

傾きから法線を作る場面でも、結果の式を見て接点を通るか確認します。符号と逆数を正しく扱っていても、切片の計算で接点から外れることがあるからです。鉛直線は y = の形に無理に直さず x = 定数と表します。この書き方なら同じ x 座標を持つ点の集まりとして、接点を通ることも直接読めます。

自分で解いてみる問題

次の各問で、直線の方程式を正確な整数または分数の係数で表してください。各曲線の定義域と、求めた直線が通る点を確認します。

1. 曲線 y = x³ 上の点 (2, 8) における接線と法線を求めなさい。
2. 曲線 y = x² − 6x + 5 の接線が水平になる点と、その点での法線を求めなさい。
3. 曲線 y = x² + 1 の接線で、点 (0, -8) を通るものをすべて求めなさい。
4. 曲線 y = (1)/(x) 上の点で、接線の傾きが -(1)/(4) となるものをすべて求め、それぞれの接線を求めなさい。

問題の解答と照合

1. 導関数は 3x² なので、x = 2 における傾きは 12 です。接線は y − 8 = 12(x − 2)、つまり y = 12x − 16 です。法線の傾きは -(1)/(12) だから、y − 8 = -(1)/(12)(x − 2)、すなわち y = -(1)/(12)x + (49)/(6) です。元の曲線に x = 2 を代入すると 8 になり、2本の直線も (2, 8) を通ります。傾きの積は -1 です。

2. 導関数は 2x − 6 です。水平の条件 2x − 6 = 0 から x = 3、元の式に戻して y = 9 − 18 + 5 = -4 です。接点は (3, -4)、接線は y = -4、法線は x = 3 です。x = 3 で導関数が 0 になることと、法線が接点を通ることを確認します。法線に傾きを割り当てる必要はありません。

3. 接点を (a, a² + 1) とすると、接線は y − (a² + 1) = 2a(x − a)、つまり y = 2ax − a² + 1 です。点 (0, -8) の代入から -8 = -a² + 1、a² = 9、a = 3 または -3 です。答えは y = 6x − 8 と y = -6x − 8 です。両方とも与点を通ります。接点は (3, 10) と (-3, 10) で、曲線上にあり、各直線の傾きはそれぞれ 2a に一致します。他の実数の a はないため、これで尽くしています。

4. 定義域は x ≠ 0 で、導関数は -(1)/(x²) です。-(1)/(a²) = -(1)/(4) から a² = 4、a = 2 または -2 です。どちらも定義域に入ります。接点は (2, (1)/(2)) と (-2, -(1)/(2)) です。それぞれ点と傾きから、接線は y = -(1)/(4)x + 1、y = -(1)/(4)x − 1 となります。接点を元の曲線と各直線へ戻すと座標が一致し、どちらの接線の傾きも指定どおり -(1)/(4) です。

手元に残す要点

接点を (a, f(a)) と置き、接線の傾きに f′(a) を使います。 与点を通る条件は接線の式を作った後で代入します。 法線は同じ接点を通り、接線が水平なら鉛直です。 候補を曲線の定義域、接点、傾き、与点に戻して照合します。

つまずく位置を見つける

式が合わないときは、最初に書いた点が接点か、単に直線の通過点かを言葉で説明してみてください。接点の座標に f(a) が入っていなければ、曲線上という条件がまだ使われていません。直線の式ができてから与点を代入できているかも確認します。

個別指導で確かめるなら、生徒が書いた各行を指し、どの条件を使ってその式を得たかを尋ねます。法線で止まる場合は、傾きの積が -1 になる理由と、水平な接線に垂直な向きを図で確認します。最後に候補の接点を元の曲線へ、直線を与点と傾きへ戻せれば、計算だけでなく条件の読み違いにも気づけます。