高校数学III 陰関数と媒介変数の微分—変数のつながりを追って接線の傾きを求める｜武蔵野個別指導塾

陰関数の連鎖と媒介変数の変化率を接線の例で追い、分母が0のときも立ち止まれる微分の道筋を示します。

よくあるのは、定期テスト前の演習で、媒介変数 t について求めた dy/dt を、そのまま接線の傾き dy/dx とする場面です。y の変化を見ている点は合っていますが、何の変化に対する割合かが違います。x も t とともに動くので、x の変化に対する割合に直す必要があります。陰関数でも、x で微分するときに y が x に応じて変わることを忘れると、途中式が見かけ上は整っていても傾きが変わります。

数学IIIの微分法の範囲で、式に含まれた変数の関係と接点を結び付けます。曲線の名前による分類には立ち入りません。

問題文から選ぶ2つの入口

出方の1つは、x と y の関係式と、その上の点が与えられる型です。y を先に解くのではなく、点の近くで y を x の微分可能な関数とみて、両辺を x で微分します。得られた式から dy/dx を求め、接点の座標を代入します。最後に直線がその点を通ることも確認します。

もう1つは、x と y がそれぞれ t の式で与えられる型です。先に dx/dt と dy/dt を求め、指定された t の値で dx/dt が0でないことを調べます。その上で、dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) を使います。t の値から接点の座標を求める作業も必要です。傾きが出ても、接点を取り違えれば接線は決まりません。

さらに、分母が0になる点を調べる問いがあります。そこで商を計算できないことと、接線が存在しないことは同じではありません。別の形に直したり、差の比の極限を調べたりして、その点の近くの曲線を確かめます。公式を使える範囲と、使えないときに必要な調査を分けることが、この単元の分かれ目です。

何を基準に変化を比べるか

陰関数とは、例えば x と y が1本の関係式で結ばれ、y が最初から y = f(x) の形に書かれていない場合の見方です。式が点の近くで微分可能な y = f(x) を定めるとき、y² を x で微分すると 2y ではなく 2y(dy/dx) です。外側の2乗を微分した 2y に、内側の y の変化率 dy/dx を掛けます。x の項を微分するときと、y の項を微分するときの基準はどちらも x です。

一方、媒介変数表示では t を決めると x と y がそれぞれ決まります。t の変化で動く2つの量を別々に微分し、x が変わる速さで y が変わる速さを割ると、x の変化に対する y の変化率が得られます。連鎖の関係 dy/dt = (dy/dx)(dx/dt) を、dx/dt が0でない場所で解いたものです。

図1のように、t から x と y へそれぞれ矢印をたどり、2つの変化率を比べます。dy/dt と dy/dx はどちらも y の変化を表しますが、分母が異なります。例えば dx/dt が2で dy/dt が6なら、x が1変わる間の y の変化率は3です。符号も含めて割るので、x が減る方向へ動く場合に絶対値を勝手に取ってはいけません。

この商は dx/dt = 0 のとき定義されません。その点でも接線を調べられる場合はありますが、0で割って数値を出すことはできません。また、関係式を微分して得た傾きは、実際に与えられた点が元の式を満たすことを確かめてから使います。複数の枝がある式では、点を指定せずに同じ x の値だけで傾きを決めないようにします。

基本例題：関係式から接線を作る

曲線 x² + xy + y² = 7 上の点 (1, 2) における接線の方程式を求めてください。傾きは正確な分数で表します。点の近くでは y を x の微分可能な関数として扱います。

まず元の式に戻すと、1² + 1×2 + 2² = 7 です。指定された点は曲線上にあります。y を含む部分を x で微分するとき、y の変化を残しながら、積の微分も使います。

x² の導関数は 2x です。xy は x と y の積なので、導関数は y + x(dy/dx) です。y² は合成関数として微分し、2y(dy/dx) になります。右辺の定数7の導関数は0です。したがって、

2x + y + x(dy/dx) + 2y(dy/dx) = 0

となります。dy/dx を含む項をまとめると、

(x + 2y)(dy/dx) = -(2x + y)

です。接点では x + 2y = 1 + 4 = 5 で0ではありません。その近くでも分母が0にならない範囲を取り、次のように割れます。

dy/dx = -(2x + y)/(x + 2y)

(1, 2) を代入すると、傾きは -(2 + 2)/5 = -4/5 です。点と傾きから接線は

y − 2 = (-4/5)(x − 1)

です。接点の x 座標を入れると右辺は0で、y = 2 に戻ります。また、この直線の x の係数は -4/5 なので、計算した傾きと一致します。

図2のように、元の式への代入、微分、分母の確認、接線の順に進みます。なお、この点の近くでは元の式を y について解くと y = (-x + √(28 − 3x²))/2 という枝を取れます。接点で正しい符号を選び、根号内が正の近くで微分しても傾きは -4/5 です。これは点の近くで使った見方の確認にもなります。全域で同じ枝を使えると決める必要はありません。

分母が消える点で何を調べるか

媒介変数表示 x = t² + 1、y = t³ + 2 で表された曲線について、t = 1 と t = 0 に対応する点の接線を求めてください。答えは直線の方程式で表します。

まず dx/dt = 2t、dy/dt = 3t² です。t = 1 では dx/dt = 2 なので商を使えます。傾きは 3/2、接点は (2, 3) ですから、接線は y − 3 = (3/2)(x − 2) です。x = 2 を入れると y = 3 となり、直線の傾きも 3/2 です。

ところが t = 0 では dx/dt と dy/dt がともに0です。元の商に0を代入すると 0/0 となり、そのままでは傾きになりません。t が0でない範囲では商を整理して dy/dx = 3t/2 と書けますが、約分後の式に0を入れたことだけで、元の商をその点で使えたことにはなりません。

接点は (1, 2) です。この点と t ≠ 0 の点を結ぶ直線の傾きは、座標の差を使うと

(y − 2)/(x − 1) = t³/t² = t

です。t → 0 でこの比は0に近づき、点も (1, 2) に近づきます。したがってこの点での接線は y = 2 です。ここでは t = 0 における微分の商ではなく、接点からの差の比を調べています。実際 x − 1 = t²、y − 2 = t³ なので、曲線上のどちら側の t から近づいても比は0に向かいます。

分母が0ならいつも水平になるわけでもありません。例えば x = s²、y = s とすると、s = 0 では dx/ds = 0 ですが、y を基準にすれば x = y² です。原点の近くで (x − 0)/(y − 0) = y → 0 となり、接線は鉛直な x = 0 です。有限の dy/dx があると決めず、座標の差の関係を見ます。さらに、両方の導関数が0という情報だけでは接線の向きは決まらず、元の表示を使った追加の調査が必要です。

誤答を変化の基準から直す

基本例題の接点で、y² の微分を 2y と書くと、式全体は 2x + y + x(dy/dx) + 2y = 0 となります。これに (1, 2) を入れると 8 + dy/dx = 0 となり、傾きを -8 と誤ってしまいます。原因は、y² を y で微分した結果を、そのまま x での微分に使ったことです。

修正するときは、y² を「y を2乗する外側」と「x によって変わる y」に分けます。外側の微分 2y に内側の微分 dy/dx を掛け、2y(dy/dx) に直します。xy の項にも x(dy/dx) が必要です。点で代入する前に dy/dx を含む項を集めれば、掛け忘れを見つけやすくなります。

図3のように、外側の微分の後に内側の変化率をつなぎます。式の一部を直したら、残りの項も同じ x を基準に微分したか確認します。媒介変数の誤りも同じ発想で見直せます。dy/dt を得た行で答えにせず、dx/dt を併記してから商を作り、分母が0のときは立ち止まります。

接線へ進む前の点検

陰関数の式から dy/dx を取り出すとき、係数が0ならその行で割ることはできません。例えば x² + y² = 9 の (3, 0) では、微分後の式は 2x + 2y(dy/dx) = 0 です。点を代入すると、有限の dy/dx について 6 = 0 となり、矛盾します。これは、その点の近く全体を微分可能な y = f(x) として扱う前提を使えないことを示します。式を x = √(9 − y²) と見れば、点の近くで x は y の関数です。dx/dy = -y/√(9 − y²) は y = 0 で0なので、接線は x = 3 と確かめられます。

このように、導関数を求める式の分母が0になる失敗は、計算をやり直す合図です。係数を消すために両辺を0で割ったり、答えを0と置いたりせず、別の座標を基準にできるかを考えます。分母が0でないときでも、求めた傾きを微分後の式に戻すと、符号の誤りを点検できます。接線の方程式に戻した点検と合わせると、傾きと切片のどちらで間違えたかも区別できます。

手を動かす問題

次の4問では、接線を求める場合は方程式で答え、傾きは整数または正確な分数で表してください。関係式で与えた点の近くでは y を x の微分可能な関数とします。

1. x² + y² = 25 上の点 (3, 4) における接線を求めてください。
2. xy + y² = 6 上の点 (1, 2) における接線を求めてください。
3. x = 2t + 1、y = t² − 3t で表される曲線の t = 2 における接線を求めてください。
4. x = u³、y = u² + 1 で表される曲線の u = 0 における接線を、座標の差の比から調べてください。

解答と確かめ

1. 3² + 4² = 25 なので点は曲線上にあります。両辺を x で微分すると 2x + 2y(dy/dx) = 0 です。点では 2y = 8 で0ではないため、dy/dx = -x/y = -3/4 です。接線は y − 4 = (-3/4)(x − 3) です。x = 3 で y = 4 に戻り、直線の傾きは -3/4 です。元の式を y = √(25 − x²) の枝で見ても、この点の近くで同じ傾きです。

2. 1×2 + 2² = 6 で、点の条件を満たします。積と合成関数を微分すると y + x(dy/dx) + 2y(dy/dx) = 0 です。よって (x + 2y)(dy/dx) = -y となり、点で分母は5です。傾きは -2/5、接線は y − 2 = (-2/5)(x − 1) です。接点を代入すると両辺が0で一致し、微分後の式にも 2 + 5×(-2/5) = 0 と戻ります。

3. dx/dt = 2、dy/dt = 2t − 3 です。t = 2 では前者が2、後者が1なので、傾きは 1/2 です。元の表示に t = 2 を戻すと接点は (5, -2) です。したがって接線は y + 2 = (1/2)(x − 5) です。直線に x = 5 を入れると y = -2 となります。さらに t = (x − 1)/2 を元の y に代入して微分しても、x = 5 で傾きは 1/2 です。

4. u = 0 では点は (0, 1)、dx/du = 3u² と dy/du = 2u はともに0です。微分の商へ0を代入してはいけません。u ≠ 0 では、接点からの座標の差の比を逆向きに取り、

(x − 0)/(y − 1) = u³/u² = u

と書けます。u → 0 で比は0に近づき、点は (0, 1) に近づきます。よって鉛直な接線 x = 0 です。元の表示でも y − 1 = u²、x = u³ なので、この比は両側から0に近づきます。分母が消えた地点では、使える向きの比とその極限を別に調べることが答えを支えます。

手元に残す要点

陰関数の y を x で微分するときは dy/dx を掛けます。
媒介変数では dy/dt を dx/dt で割り、分母が0でないことを確かめます。
接線には接点と傾きの両方を戻します。
分母が0なら元の座標差から接線を調べます。

式のどこで止まったかを見る

最初の一行に dy/dx が現れない場合は、y を定数として扱っていないか、どの文字で微分しているかを声に出して確認します。積 xy で片方の項が抜ける場合は、x と y のそれぞれが変化する寄与を別々に書きます。媒介変数では、dy/dt の数値の横に dx/dt を書き、何に対する割合なのかを説明できるかを確かめます。

個別指導で確認するなら、正解の数値だけでなく、接点への代入と分母が0のときの判断を本人の途中式で追います。商を使えない点では、座標の差のどちらを分母に取れば極限を調べられるかを一緒に検討します。変化の基準を明示すると、接線の式まで根拠がつながります。