高校数学III 増減と極値—導関数の符号変化を調べて極大と極小を判定する｜武蔵野個別指導塾

導関数が0でも極値にならない例や、定義域で分ける増減表を通して、符号変化から見抜く極値を学びます。

よくあるのは、定期テスト前の演習で導関数が0になる点を見つけ、その値を必ず極大値か極小値としてしまう場面です。傾きが0という情報からは、そこで増加と減少が入れ替わるかどうかまでは決まりません。点の左右で導関数の符号を調べ、元の関数の値まで戻って判定しましょう。

数学IIIの微分法の応用のうち、ここでは関数の増減と極値を扱います。区間全体の最大値と最小値を選ぶ問題は別の話題です。

増減表で問われること

出方の1つ目は、関数の導関数を求め、その符号から増加する区間と減少する区間を答える問題です。計算が合っていても、定義域に含まれない点を表へ入れると、存在しない点を境に関数がつながっているように読んでしまいます。まず元の式が定義される範囲を記します。

2つ目は、極大値と極小値を求める問題です。導関数が0になる位置は候補ですが、その位置と値は別です。例えば位置が x = a なら、答える極値は f(a) です。候補の左右で符号が正から負へ変われば極大、負から正へ変われば極小です。符号が変わらなければ、停留点でも極値ではありません。

3つ目は、分母や根号のために定義域が分かれたり、導関数が存在しない点が現れたりする問題です。導関数が0になる点だけを並べず、式が定義されない点や、関数は定義されても微分できない点を区別します。各区間で符号を調べ、境界の点については元の関数の定義と左右の様子に戻ります。

傾きの符号を読む

関数 y = f(x) がある区間で微分可能で、導関数が正なら、その区間で関数は増加します。導関数が負なら減少します。増減表の矢印は、x を左から右へ動かしたときの関数値の動きを表します。導関数の値そのものが増えるか減るかを示す矢印ではありません。

点 a の近くで、a を除く左右の点における関数値が f(a) 以下なら f(a) は極大値、f(a) 以上なら極小値です。局所的な比較なので、遠く離れた点の値と比べる必要はありません。微分可能な内点で極値をとるなら導関数は0ですが、逆に導関数が0でも極値とは限りません。この2つの向きを分けることが重要です。

図1のように、正から負への変化は上りから下りへの切り替えです。負から正への変化は下りから上りへの切り替えです。正から正のままなら、途中で傾きが0になっても両側で上り続けます。導関数が0となる点を停留点と呼びますが、その名前だけでは極大か極小かを決められません。

表を作る順番は、定義域、導関数、区切る点、各区間の符号、関数値です。積の符号は因数ごとに調べ、分数では分母が0にならないことを確認します。符号を試す値はその区間の内側から選び、区間の外の値を代入しないようにします。選んだ点の数値は符号を調べる道具であり、表の境目そのものではありません。

表の区切りを選ぶ手順

例えば導関数が因数の積で表されたら、各因数が0になる点を小さい順に並べます。2乗された因数は、0になる点の両側で正なので、そこで積の符号を変えるとは限りません。一方、1次の因数はその根を通ると符号が変わります。複数の因数が同じ点で0になる場合は、それぞれの変化を合わせて判断します。公式の形だけで決めず、区間を1つ選んで代入する方法でも確認できます。

分数の場合、分子の根と分母の根を同じ記号で扱わないことも必要です。分母が0の点では元の関数が存在するかどうかを確認し、存在しないなら表に境界として記すだけにします。区切った後の各区間では、分子と分母の符号を別々に求めます。負を負で割れば正、正を負で割れば負です。符号の一覧を矢印に直した後、増加から減少へ変わった点と、減少から増加へ変わった点に印を付けると、候補の見落としを減らせます。

関数が定義される点でも、導関数が存在しない場合は注意が必要です。その点の左右で値がどう変わるかを調べ、関数値と比べて判定します。微分可能という前提が欠ける点では、導関数が0であることを極値の必要条件として使えません。表に空欄があれば、その意味を確認してから答えへ進みます。点が定義域に含まれるかを先に見れば、空欄と0の違いを整理できます。

基本例題：2つの停留点

関数 f(x) = x³ − 3x² + 2 の増減を調べ、極値を整数で求めてください。定義域は実数全体です。

まず各項を微分すると、次のようになります。

f′(x) = 3x² − 6x

= 3x(x − 2)

したがって f′(x) = 0 を満たすのは x = 0, 2 です。実数全体をこの2点で区切り、各因数の符号を見ます。x < 0 では x と x − 2 がともに負なので、その積は正です。0 < x < 2 では前者が正、後者が負なので積は負です。x > 2 では両方が正なので積は正です。係数3は正のため、符号を変えません。

図2のように、f は x < 0 で増加し、0 < x < 2 で減少し、x > 2 で増加します。0の左右で正から負へ変わるため、x = 0 で極大です。2の左右では負から正へ変わるため、x = 2 で極小です。

次に位置を元の式に代入します。

f(0) = 0³ − 3 × 0² + 2 = 2

f(2) = 2³ − 3 × 2² + 2 = 8 − 12 + 2 = -2

よって x = 0 で極大値 2、x = 2 で極小値 -2 です。導関数に代入するとどちらも0ですが、それは傾きの確認です。元の関数値の代わりにはなりません。

判定を元の式へ戻して確かめます。例えば f(-1) = -2、f(1) = 0 なので、x = 0 の両側にとったこれらの点では f(0) = 2 の方が大きいです。また f(1) = 0、f(3) = 2 は f(2) = -2 より大きいです。これらの代入は計算の照合であり、極値の根拠は各区間で成立する導関数の符号です。

定義域に切れ目があるとき

次の関数の増減と極値を調べ、極値は整数で答えてください。

f(x) = x + (4)/(x)

分母が0にならない条件から、定義域は x < 0 または x > 0 です。x = 0 は関数の点ではないため、極値の候補にできません。微分すると、

f′(x) = 1 − (4)/(x²)

= (x² − 4)/(x²)

= ((x − 2)(x + 2))/(x²)

となります。定義域内では分母 x² は正です。したがって符号は分子の2因数で決まります。f′(x) = 0 の解は x = -2, 2 です。定義域の切れ目の0も表を分ける位置に入れますが、そこに関数値は書きません。

x < -2 では両因数が負なので f′(x) > 0、-2 < x < 0 では積が負なので f′(x) < 0 です。0 < x < 2 でも積は負で、x > 2 では正になります。したがって、増加する区間は x < -2 と x > 2、減少する区間は -2 < x < 0 と 0 < x < 2 です。

-2 では正から負へ変わり、2 では負から正へ変わります。元の式に戻すと、f(-2) = -2 + (4)/(-2) = -4、f(2) = 2 + (4)/(2) = 4 です。よって x = -2 で極大値 -4、x = 2 で極小値 4 です。極大値が極小値より小さくても矛盾しません。それぞれの点の近くで比較しているからです。

例えば f(-1) = -5、f(-4) = -5 は -4 より小さく、f(1) = 5、f(4) = 5 は 4 より大きいです。この代入は元の定義域と値を確認します。0をまたいで減少と書くと、関数のない点を通ることになるので、左右を別々の区間として答えます。

誤答を符号から直す

「g(x) = x³ では g′(0) = 0 だから、x = 0 で極大値0」という答えを考えます。微分の計算 g′(x) = 3x² は合っていますが、傾きが0という条件だけで極大と結論したことが誤りです。

図3のように、x < 0 でも x > 0 でも 3x² は正です。0の両側で増加しているので、x = 0 は停留点ですが極値をとりません。実際に g(-1) = -1 < g(0) = 0 < g(1) = 1 です。0の近くでも左右に同様の大小関係があることは、導関数の符号から示せます。

もう1つの誤りは、f′(x) が0になる式を解いた後、その解をそのまま極値として書くことです。位置と高さは別の量です。符号変化で種類を決め、元の f に位置を代入して高さを求めます。導関数の分母が0になる位置については、元の関数も未定義なのか、関数は定義されていて微分できないのかを先に確かめます。後者では導関数が0でなくても極値があり得るので、定義に戻って左右の値を比較します。

練習：候補と符号を分ける

次の各問では、増加する区間と減少する区間を示し、極値があれば位置とともに答えてください。値は整数、分数または根号を使って正確に表します。極値がない場合もその理由を述べてください。

1. f(x) = x³ − 12x の増減と極値を求めてください。定義域は実数全体です。
2. g(x) = (x − 1)³ + 3 の増減と極値を求めてください。定義域は実数全体です。
3. h(x) = x + (9)/(x) の増減と極値を求めてください。定義域は x ≠ 0 です。
4. p(x) = x² + (4)/(x) の増減と極値を求めてください。定義域は x > 0 です。

解答と確認

1. f′(x) = 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2) です。x < -2 で正、-2 < x < 2 で負、x > 2 で正です。よって最初と最後の区間で増加し、その間で減少します。f(-2) = -8 + 24 = 16、f(2) = 8 − 24 = -16 なので、x = -2 で極大値16、x = 2 で極小値-16です。元の式で f(-3) = 9、f(-1) = 11、f(1) = -11、f(3) = -9 と確認できます。符号変化が近傍全体での判定を支えます。

2. g′(x) = 3(x − 1)² です。x = 1 で0ですが、それ以外では正なので、x < 1 と x > 1 の両方で増加します。点を含めた実数全体でも増加し、極値はありません。元の式で g(1) = 3、g(0) = 2、g(2) = 4 となり、停留点の前後で値が上がることを確認できます。0になる点があることと符号が変わることを混同しないでください。

3. h′(x) = 1 − (9)/(x²) = ((x − 3)(x + 3))/(x²) です。分母は定義域で正なので、x < -3 と x > 3 で正、-3 < x < 0 と 0 < x < 3 で負です。正の区間で増加し、負の区間で減少します。h(-3) = -3 − 3 = -6 より x = -3 で極大値-6、h(3) = 3 + 3 = 6 より x = 3 で極小値6です。h(-1) = -10、h(-9) = -10、h(1) = 10、h(9) = 10 を元の式から得て、それぞれの近くの増減と矛盾しないことも確認します。0は定義域にありません。

4. p′(x) = 2x − (4)/(x²) = (2(x³ − 2))/(x²) です。x > 0 では分母は正で、x³ は増加するため、x³ = 2 を満たす正の数を a とすると、0 < x < a で負、x > a で正です。a は a³ = 2 を満たす数、すなわち ∛2 です。p(a) = a² + (4)/(a) で、a³ = 2 より (4)/(a) = 2a² ですから、極小値は 3a² = 3∛4 です。x = ∛2 で極小値 3∛4、極大値はありません。根号を使って正確に表しています。a³ = 2 を元の式に代入して整理したことが値の検算です。

覚えておきたい点

定義域を先に決め、導関数の符号を区間ごとに調べます。
正から負なら極大、負から正なら極小です。
符号が変わらない停留点は極値ではありません。
極値は元の関数に位置を代入して求めます。

答えが合わないときの見分け方

増減表が途中で止まるときは、因数の符号が変わる位置と定義域の切れ目を別々に書けているかを見ます。微分した式は合うのに極値が違うときは、0となる位置の左右に符号を書き、その位置を元の関数と導関数のどちらに代入したかをたどります。個別指導で確かめるなら、本人に表の各区間で試す値を選んでもらい、その値を選べる理由と、符号から矢印へ移る理由を言葉にしてもらいます。

計算が進まない場合は、まず定義域と分母の符号を書き、解けた区間から表を埋めます。残りの符号が不明なまま極値を決めず、因数ごとの正負に戻ります。答えの確認では、位置、値、符号変化の3つを別々に照合してください。傾きが水平になる点を見つけた後、その前後の動きまで追えば、極値の判定につながります。