共通テスト物理基礎の音と共鳴｜気柱の長さの差から波長を読み取る｜武蔵野個別指導塾

隣接する共鳴長の差から半波長を読み、共通の端補正を消す計算と、共鳴位置への戻し方をたどれます。

よくあるのは、共鳴管の水面を下げた記録を机に並べ、最初に音が大きくなった長さをそのまま波長にしてしまう場面です。管の中の空気は、どの長さでも同じ形で振動するわけではありません。水面側と開口側の振動の条件を図に戻し、隣り合う共鳴位置の差が波のどの部分に対応するかをたどります。

要点（結論から）

• 閉管の水面は変位の節、開口側は変位の腹です。
• 基本振動の有効長は λ/4 です。
• 共通の端補正は長さの差で消え、隣接する差は λ/2 です。

記録から何を選ぶか

音の共鳴を扱う資料には、決まった振動数の音を開口部に与え、水面をゆっくり下げて音が強く聞こえた位置を記録したものがあります。気柱とは、管の開口部から水面までの空気の部分です。水面が下がると気柱は長くなります。資料の長さが水面の高さなのか気柱の長さなのかを最初に見分けましょう。

出方の1つは、短い方から順に並べた共鳴長の差から波長を求める型です。長さの差は波長そのものではなく、隣接する共鳴なら半波長に対応します。もう1つは、波長と振動数を使って音速を求める型です。長さの単位を m にそろえると、Hz と掛けて m/s が得られます。さらに、共鳴の記録が途中で抜けている場合、差が半波長とは限らないことを判断する型も考えられます。

どの場合も、数字を引く前に「同じ振動数か」「記録は隣接する共鳴か」「端補正は共通か」を確かめます。表の行が近いことと、共鳴位置が物理的に隣接することは同じではありません。測り逃した位置があれば、その差には複数の半波長が含まれます。

水面と開口部で振動を描く

水面を閉じた端とみなす閉管では、水面付近の空気の変位は小さく、変位の節になります。開口側は空気が動きやすく、変位の腹になります。ここでいう節と腹は空気の変位に関する名称です。音の圧力の変化について節と腹を考えると位置関係は逆になるため、何の振動を描いているかを明確にします。

図1のように、最も短い共鳴では、閉じた端の節から開口側の腹までが波長の4分の1です。次の共鳴ではその間に半波長が加わり、4分の3波長になります。さらに次は4分の5波長です。これは水面が節、開口側が腹という条件を保ちながら、途中に節と腹を交互に増やした形です。

図1では、水面から開口端までの長さを実際の気柱長 L、開口端の外側まで腹がずれる分を端補正 e としています。単純な模型では有効な長さ L + e が4分の1波長、4分の3波長と続きます。端補正は長さです。測った管の長さに加えて扱うのであり、振動数や音速にそのまま足す量ではありません。

同じ管と条件で端補正が共通なら、隣接する2つの長さを L1、L2、波長を λ として、L1 + e = λ/4、L2 + e = 3λ/4 です。後の式から前の式を引くと、L2 − L1 = λ/2 となります。両方に同じ e があるため差では消えます。この操作で e の値を知る必要はありませんが、共通という条件を省いてよいわけではありません。

同じ音について波の速さ v、振動数 f、波長 λ は v = fλ の関係にあります。振動数の単位 Hz は1秒あたりの振動回数です。m の波長に Hz を掛ければ、1秒に進む距離として m/s になります。気柱の長さと波長はともに長さですが、対応する割合を確かめてから代入します。

気柱の記録を読む際には、測定の向きにも注意します。開口端から水面までを測った長さが増える表なら、数値の小さい順に共鳴の順序を追えます。水面の位置を別の基準から測った表では、まずその値を気柱長に換算してから並べます。表の数字をそのまま差し引いてよいかは、基準が共通かどうかで決まります。

また、同じ管でも音源の振動数を変えた記録を混ぜると、同一の波長に対する共鳴間隔として扱えません。温度など音速に関わる条件が変化する場合も、問題で与えられた条件を確認します。差の式は便利ですが、その2つの値が同じ波の隣接する位置を表すときに意味を持ちます。

最初の2回の記録を使う

次は自作の記録です。一定の振動数 500 Hz の音を同じ共鳴管に与え、水面を下げました。短い方から最初と次の共鳴が、それぞれ気柱長 16 cm と 50 cm で生じました。2つは隣接し、端補正は共通とします。波長を m、音速を m/s で求め、端補正を cm で求めてください。

図2のように、先に2つの長さの差を取ります。ここでの 16 cm と 50 cm は水面から開口端までの実測長という設定で、端補正を含む有効長ではありません。

長さの差は 50 − 16 = 34 cm です。隣接する共鳴の差は半波長なので、λ/2 = 34 cm です。両辺を2倍して、λ = 68 cm = 0.68 m となります。半波長を波長と取り違えないように、式の左側にも λ/2 と書いてから計算します。

音速は v = fλ に代入し、v = 500 Hz × 0.68 m = 340 m/s です。Hz を掛ける前に cm を m に直すことで、求める単位にそろいます。cm の値を掛けた場合は cm/s になるため、そのまま m/s と書くことはできません。

最初の共鳴は基本振動なので、16 cm + e = 68 cm / 4 = 17 cm です。よって e = 1 cm です。次の共鳴でも 50 cm + 1 cm = 51 cm、また 3 × 68 cm / 4 = 51 cm となり、与えた2つの位置に戻ります。波長と端補正の両方が各条件に合うことを確認できました。

もし表に「最初」と書かれず、2つが隣接するという条件しかなければ、差から波長と音速は求まります。しかし、短い方を λ/4 と決める根拠はありません。その場合は上の手順で端補正を求めず、どの順番の共鳴かを調べます。差を使う計算と、基本振動の式を使う計算では必要な情報が違います。

抜けた記録があるときの分かれ目

別の自作条件を考えます。同じ管で 400 Hz の音を鳴らし、水面を下げたところ、最初の共鳴は 20 cm、3回目の共鳴は 104 cm でした。途中の2回目は記録されていません。端補正は共通とします。波長を m、音速を m/s、2回目の気柱長と端補正を cm で求めてください。

最初から3回目までには、隣接する共鳴間の間隔が2つあります。差は 104 − 20 = 84 cm です。1つの間隔は半波長なので、2つ分の差は波長に等しく、λ = 84 cm = 0.84 m です。音速は 400 Hz × 0.84 m = 336 m/s です。

2回目は最初から半波長だけ長い位置です。84 cm / 2 = 42 cm だから、20 cm + 42 cm = 62 cm です。端補正は基本振動の式から、20 cm + e = 84 cm / 4 = 21 cm として、e = 1 cm です。

元の場面に戻すと、有効長は順に 21 cm、63 cm、105 cm です。これらは 84 cm のそれぞれ4分の1、4分の3、4分の5に一致します。2回目から3回目も 104 − 62 = 42 cm で、最初から2回目と同じ間隔です。記録の抜けを考えずに 84 cm を半波長とすると、波長を2倍に誤ります。

逆に、2つの位置が何回目かも間に何回あるかも与えられていない場合、差だけから波長を一意に決めることはできません。共鳴間隔を1つ分と仮定する前に、連続した記録であることを確認します。また、端補正が位置によって異なる条件なら、差にはその違いが残ります。共通でない補正を勝手に消すことはできません。

間違えた式を観察に戻す

図3は、隣接する2つの長さの差をそのまま波長とした誤りを示します。差に対応するのは節と腹の配置を保って増えた半波長です。差を計算できていても、その物理的な意味を誤ると、音速まで同じ割合でずれます。

例えば基本例題で λ = 34 cm とすると、最初の有効長は 8.5 cm です。しかし、実際の気柱長は 16 cm で、同じ例の端補正を加えればさらに長くなります。図3のように λ/2 = 差 と書き直すと、この矛盾を避けられます。値がもっともらしいかという印象ではなく、節と腹の条件に戻して点検します。

もう1つの誤りは、最初の気柱長 16 cm を4倍して 64 cm とし、端補正のある条件でも波長とすることです。4倍する対象は L + e です。e を無視できるという条件がなければ、測定長の4倍を正確な波長とすることはできません。一方、差を使えば共通の e が消え、68 cm を得られます。

単位の誤りにも原因があります。34 cm を2倍して68を得た後、500を掛けて 34000 m/s と書いた場合、68の単位を落としています。68 cm は 0.68 m と明記し、数値と単位を一緒に式に入れ直します。途中で単位を消さないことが修正の手がかりです。

自分で試す4問

以下の記録はすべて問題のために作った値です。各問で、管の水面を閉じた端、開口側を変位の腹とし、同じ問の中で端補正は共通とします。音速はその管内で一定とします。

1. 600 Hz の音で、最初の共鳴が 13 cm、次が 41 cm でした。波長を m、音速を m/s、端補正を cm で求めてください。
2. 250 Hz の音で、最初の共鳴が 31 cm、3回目が 159 cm でした。2回目の共鳴長を cm、波長を m、音速を m/s で求めてください。
3. 同じ音の連続した共鳴位置が 24 cm、69 cm、114 cm と記録されました。最初の値が何回目かは不明です。波長を cm で求め、端補正をこの情報だけで決められるか、理由とともに答えてください。
4. ある管の共鳴位置が 18 cm と 90 cm に記録されました。両方とも同じ音による共鳴ですが、間に記録されなかった共鳴が何回あるかは不明です。波長が必ず 144 cm といえるか、理由を答えてください。

解答と確かめ方

1. 差は 41 − 13 = 28 cm で、半波長です。波長は 56 cm = 0.56 m、音速は 600 × 0.56 = 336 m/s です。基本振動の有効長は 56 / 4 = 14 cm なので、端補正は 14 − 13 = 1 cm です。戻して確かめると、13 + 1 = 14 cm、41 + 1 = 42 cm となり、56 cm の4分の1と4分の3に一致します。

2. 最初と3回目の差は 159 − 31 = 128 cm で、半波長2つ分、つまり波長です。よって波長は 1.28 m、音速は 250 × 1.28 = 320 m/s です。半波長は 64 cm なので、2回目は 31 + 64 = 95 cm です。端補正を調べると 128 / 4 − 31 = 1 cm です。3つの有効長は 32 cm、96 cm、160 cm となり、128 cm の4分の1、4分の3、4分の5に戻ります。

3. 連続する位置の差はどちらも 45 cm です。これが半波長なので、波長は 90 cm です。最初の記録が何回目か不明のため、短い方の有効長を直ちに4分の1波長とは決められず、端補正はこの情報だけでは決まりません。例えば形式上、短い位置を基本振動とすると e = 22.5 − 24 = -1.5 cm、次の共鳴とすると e = 67.5 − 24 = 43.5 cm です。端補正の正負や大きさに追加条件があるなら、それに照らして候補を絞ります。両方とも差は45 cmであり、差の情報だけでは順序を指定できません。

4. 必ずとはいえません。差は 90 − 18 = 72 cm ですが、隣接していれば半波長で、波長は 144 cm です。間に1回の共鳴があれば差は半波長2つ分なので、波長は 72 cm です。たとえば後者では端補正を 0 cm とすると有効長は 18 cm と 90 cm で、それぞれ波長の4分の1と4分の5に一致し、途中の 54 cm にも共鳴があります。隣接の情報が必要だと、元の位置に戻して確かめられます。

要点を手元に残す

• 閉管の水面は変位の節、開口側は変位の腹です。
• 基本振動の有効長は λ/4 です。
• 共通の端補正は長さの差で消え、隣接する差は λ/2 です。
• 抜けた共鳴の数と長さの単位を確かめ、v = fλ を使います。
• 求めた値を各共鳴の有効長に戻します。

どこで止まっているかを見る

答えが合わないときは、まず水面を下げた方向に気柱長が増えると読めているかを見ます。次に、表の差を出した行に「隣接」と書き込めるか、途中に抜けた共鳴がないかを確かめます。差の数値が正しいのに波長が半分なら、差と半波長を対応させる図を描き直すと原因が見えます。

個別指導で確認するなら、式だけでなく、各長さが実際の長さか端補正を加えた長さかを口頭で説明してもらいます。さらに、求めた波長から元の共鳴位置へ戻せるかを確かめると、順番の読み違いと単位の換算漏れを区別できます。節と腹の位置を根拠にすれば、気柱の記録は波長につながります。