共通テスト物理基礎の波のグラフ｜位置と時間の図から波の速さを求める｜武蔵野個別指導塾

横軸の単位から波長と周期を分け、疎密の位置まで波のグラフを読み解きます。

よくあるのは、横軸を見ずに波長を秒で読んだ練習帳を前に、どの式に代入するか迷う場面です。同じ山形の線でも、ある瞬間の場所ごとの変位を描いたものと、ある場所での時間ごとの変位を描いたものでは、横方向の間隔が表す量が違います。まず軸の名前と単位を書き出し、何を固定した図かを決めましょう。以下の資料と数値は、読み方を練習するための自作です。

山の間隔が何を表すか

波のグラフでは、線の形だけで量を決めないことが出発点です。1つ目の型は、ある瞬間の変位を位置に対して描いた図から、波長を読むものです。隣り合う山の位置の差は、同じ振動の状態が空間で繰り返される距離です。目盛りが m なら、その差も m で表します。

2つ目の型は、ある位置での変位を時間に対して描いた図から周期を読むものです。隣り合う山の時刻の差は、同じ点の振動が1回繰り返される時間です。単位は s です。周期がわかれば振動数を求め、位置の図から得た波長と組み合わせて波の速さを計算できます。

3つ目の型では、縦波を変位の図で表し、媒質の粒子がどこで密になるかを考えます。山がそのまま密な場所とは限りません。粒子の変位の向きと、隣り合う粒子どうしが近づくかを調べる必要があります。ここでは波の速さと資料の読み取りに集中し、複数の波の干渉の計算には広げません。

位置の図と時間の図を分ける

波は振動の状態が周囲へ伝わる現象です。媒質上の各点が動くことと、山などの形が進むことは区別します。横波では媒質の振動方向が波の進行方向に垂直で、縦波では平行です。縦軸の変位は、各点の平衡位置からのずれを表します。上側を正、下側を負とする取り決めは、図の軸で確かめます。

図1のように、位置を横軸に取るときは、1つの時刻における各位置の変位を並べます。波長は隣り合う山の間隔だけでなく、隣り合う谷の間隔や、同じ向きにゼロを通過する点どうしの間隔でも読めます。山から隣の谷までは波長の半分です。山からその次の山までを1回分と数え、目盛りの数と単位を両方確認します。

図1の右側では、ある1点に注目して時間を追っています。周期は隣り合う山の時刻の差であり、山から次の谷までの時間は半周期です。山と谷を結ぶ曲線の長さを測るのではなく、横軸に沿った差を求めます。両図の縦軸は変位ですが、横軸が異なるため、見た目の幅をそのまま比べても波の速さは出ません。

波長を λ、周期を T、振動数を f、波の速さを v とすると、f = 1 / T、v = λ / T = fλ です。周期 T の間に波の形が波長 λ だけ進むことから、速さは距離を時間で割って求まります。単位でも m / s となることを確認できます。振動数の Hz は1秒あたりの振動回数で、1 / s と同じ次元です。

振幅は平衡位置からの変位の最大の大きさです。山と谷の高さの差は振幅の2倍で、波長や周期とは別の量です。また、同じ変位だからといって振動の状態が同じとは限りません。例えば変位がゼロの点には、上向きに動く点と下向きに動く点があります。繰り返しの間隔を選ぶときは、変位に加えて変化の向きもそろえます。

2枚の記録から速さを出す

例題1。一定の速さで進む周期的な横波について、同じ波を2通りに記録しました。ある瞬間の位置の図では、隣り合う山が x = 1.0 m と x = 4.0 m にあります。ある位置の時間の図では、隣り合う山が t = 0.50 s と t = 2.0 s にあります。波長を m、周期を s、振動数を Hz の分数、波の速さを m/s の小数で求めてください。波の形と周期は変わらないものとします。

図2のように、位置と時刻の差を別々に求めます。山の位置や時刻そのものではなく、隣り合う山の間隔を使います。どちらの図も横軸が等間隔であることを確認した上で読みます。

位置の図から、波長は次のようになります。

λ = 4.0 − 1.0 = 3.0 m

時間の図から、周期は次のとおりです。

T = 2.0 − 0.50 = 1.5 s

振動数は1秒あたりの振動回数ですから、周期の逆数を取ります。

f = 1 / 1.5 = 2 / 3 Hz

振動数は 2 / 3 Hz と正確な分数で表します。

v = λ / T = 3.0 / 1.5 = 2.0 m/s

答えを記録に戻すと、1.5 s に 2.0 × 1.5 = 3.0 m 進み、隣の山までの距離に一致します。振動数も、2 / 3 回/s の点が 1.5 s に (2 / 3) × 1.5 = 1 回振動するので周期に戻ります。山の位置の差が3.0 m、山の時刻の差が1.5 sであることも、それぞれ元の条件と照合できます。

ここで注意したいのは、波長と周期を同じ図から無条件に読むことはできない点です。位置の図に秒の情報がなければ、山の幅だけから周期は決まりません。時間の図に距離の情報がなければ、山の間隔だけから波長は決まりません。2つの図が同じ波を表すという条件があるため、求めた値を組み合わせられます。

動く形と動く粒子を追う

例題2。一直線上を右向きに進む周期的な波を、0.20 s の間隔を空けて2回撮影しました。最初の写真である山は x = 0.40 m、0.20 s 後の写真で同じ山は x = 1.00 m にあります。最初の写真では隣り合う山の間隔が 1.2 m です。波の形と速さは変わらず、示した山を同一の山として追えるものとします。波の速さを m/s、周期を s、振動数を Hz で小数で求めてください。

まず追跡した山の移動距離は 1.00 − 0.40 = 0.60 m です。山が右向きに 0.20 s でこの距離を進んだので、速さは v = 0.60 / 0.20 = 3.0 m/s です。速さは正の大きさで表し、進行方向は右向きと別に添えます。

波長は 1.2 m です。1周期の間に波形は1波長進むので、T = λ / v = 1.2 / 3.0 = 0.40 s となります。さらに f = 1 / 0.40 = 2.5 Hz です。確かめると、0.20 s の移動距離は 3.0 × 0.20 = 0.60 m で、最初の山の位置に足すと 1.00 m に戻ります。また 3.0 × 0.40 = 1.2 m、2.5 × 0.40 = 1 回です。

分かれ目は、2枚の写真で「同じ山」を追えるかどうかです。周期的な形では山が複数あるため、同一の山と指定されなければ、見かけの位置差に波長の整数倍を加えた移動も考えられます。写真の間に何周期進んだかを決める情報が不足する場合、速さを1つに決めてはいけません。追跡できる目印や移動時間に関する追加条件を探します。

縦波では粒子の移動を別に考えます。右向きを変位の正方向とします。隣り合う粒子の現在の間隔は、平衡時の間隔に右側の粒子の変位を足し、左側の粒子の変位を引いた値です。平衡時より狭ければ密、広ければ疎と判断します。例えば、左の粒子が平衡位置より右へ、右の粒子が平衡位置より左へずれていれば、その間隔は平衡時より狭くなっています。変位の山は粒子が最も正方向へずれた場所であり、その位置だけを見て密と決めることはできません。

誤った読みを直す

図3のように、時間の図で山から次の山までが 2 s なら、それは周期です。誤答として「波長 2 m」と書いたとします。原因は、山の間隔という形だけに注目し、横軸の単位を無視したことです。修正するには、軸の量を時間と読み、T = 2 s と書きます。波長を求めるには、さらに波の速さか位置の図が必要です。

もう1つの誤りは、山から次の谷までの時間をそのまま周期にすることです。山と谷は反対側の極端な位置で、同じ状態への戻りではありません。山から次の山までを数え直すか、山から谷までの時間を2倍します。ただし、図に示された波が周期的で、その山と谷が隣り合うことを確認してから使います。

振動数を周期と同じ数にする誤りもあります。たとえば周期が長くなると、1秒に繰り返せる回数は減るはずです。数値の増減が逆になるかを考え、f = 1 / T に戻しましょう。答えの単位が秒のままなら、逆数を取ったかを再確認できます。

資料が不足しているときに、波長や速さを想像で補うのも失敗です。時間の図だけから周期が読めても、波が1周期で何 m 進むかは別の情報です。条件不足と判断し、必要な量を具体的に挙げることも読解の答えになります。

波の進行方向を問われた場合にも、1枚の位置の図だけで決めることはできません。同じ形が右へ進む場合と左へ進む場合の両方を描けるからです。別の時刻の図や、ある点の動く向きが与えられているかを探します。複数の時刻の図を比べるときは、横軸の原点や尺度がそろっているかも確認します。尺度が異なれば、紙の上の移動幅をそのまま距離として扱えません。

また、図が途中で切れて隣の山まで見えないときは、見えていない位置を推測して数値を決めず、図に示された他の同じ状態の点を探します。山から谷までの間隔を使う場合も、隣り合う点であることを確認して2倍します。条件が不足していれば不足と判断し、どの情報があれば計算できるかを挙げましょう。

手元で試す4問

次の問題はすべて自作の周期的な波です。数値は正確な値として扱います。答えを読み進める前に、横軸と単位を書き添えてください。

1. ひもの波をある瞬間に記録すると、隣り合う谷が x = 0.30 m と x = 2.10 m にありました。別の記録から周期は 0.60 s です。波長を m、振動数を Hz の分数、速さを m/s の小数で求めてください。
2. 水面上の同じ位置で、連続する山が t = 1.2 s と t = 3.6 s に通過しました。波長は 4.8 m です。周期を s、振動数を Hz の分数、速さを m/s の小数で求めてください。
3. 右向きに形を保って進む波の同じ山が、0.40 s の間に x = 0.20 m から x = 1.00 m へ移りました。波長は 0.80 m です。速さを m/s、周期を s、振動数を Hz で小数で求めてください。
4. ばねの縦波をある瞬間に調べます。平衡位置が隣り合う2粒子のうち、左の粒子は右へ 0.02 m、右の粒子は左へ 0.01 m ずれています。元の粒子間隔は 0.10 m です。現在の間隔を m の小数で求め、この2粒子間が元より密か疎かを答えてください。

答えと条件への戻し方

1. 谷の位置の差から λ = 2.10 − 0.30 = 1.80 m です。f = 1 / 0.60 = 5 / 3 Hz、v = 1.80 / 0.60 = 3.0 m/s です。逆に 3.0 × 0.60 = 1.80 m で谷の間隔に戻り、(5 / 3) × 0.60 = 1 回で周期に戻ります。谷から次の谷までなので半波長ではありません。

2. 山の時刻の差は T = 3.6 − 1.2 = 2.4 s です。f = 1 / 2.4 = 5 / 12 Hz、v = 4.8 / 2.4 = 2.0 m/s です。2.0 × 2.4 = 4.8 m と (5 / 12) × 2.4 = 1 回を確認します。時刻 3.6 s をそのまま周期にせず、最初の山の時刻を引く点が要です。

3. 山の移動距離は 1.00 − 0.20 = 0.80 m、速さは 0.80 / 0.40 = 2.0 m/s です。T = 0.80 / 2.0 = 0.40 s、f = 1 / 0.40 = 2.5 Hz です。0.20 + 2.0 × 0.40 = 1.00 m となって山の位置に戻り、1周期の移動距離も 2.0 × 0.40 = 0.80 m です。2.5 × 0.40 = 1 回も確かめられます。

4. 左の粒子は右へ、右の粒子は左へ寄るので、間隔は 0.10 − 0.02 − 0.01 = 0.07 m です。元の間隔より狭いため密です。現在の間隔に両方の寄った距離を戻すと 0.07 + 0.02 + 0.01 = 0.10 m になります。2粒子の変位の符号を別々に読むことが、密と疎の判断につながります。

覚えておくこと

位置の横軸から波長、時間の横軸から周期を読む。
同じ振動状態の隣どうしの間隔を使う。
f = 1 / T、v = λ / T で単位も確かめる。
縦波の疎密は隣の粒子との間隔で判断する。

答案のどこを見直すか

数値は合っているのに単位が違う場合は、計算の前に軸の名前を記したかを見直します。山と谷の間を1周期とした場合は、同じ向きに変化する点まで図上で指を進めると、どこで1回が終わるかを確かめられます。個別指導では、位置の図と時間の図を並べ、それぞれ固定した量と読んだ2点を言葉にしてもらうと、式の前の取り違えを見つけやすくなります。

式は正しくても、資料が同じ波を表す条件を見落とせば値を組み合わせられません。山の追跡が不確かな場合には、複数の移動距離が考えられることを図に書き出して確かめます。縦波で迷ったら、正負の変位を矢印に直し、隣の粒子間の距離を比較します。軸と粒子の動きを順に読むことで、波の形から求められる量が定まります。