数検3級 平方根の簡単化—平方数を根号の外へ出して同じ形にそろえる練習｜武蔵野個別指導塾

√72の素因数を2個ずつ組にし、外へ出す係数を決めます。負の数の大小は絶対値で比べ、最後に不等号の向きを選びます。

よくあるのは、受検者が根号の中にある平方数を見つけ、根号の外へその数をそのまま移してしまう場面です。例えば中の数に4が掛かっているとき、外に出るのは4ではなく2です。根号の外の数を二乗すると、中から取り出した平方数に戻ります。この往復を使うと、見た目が異なる平方根を同じ形にそろえたり、大小を正しく比べたりできます。ここでは正の整数を根号に含む式を中心に、途中の判断を追います。

どの形に直して比べるか

平方根の簡単化では、根号の中の数を平方数とそれ以外の積に分けます。平方数は整数を二乗してできる数です。4、9、16などが当たり、1も平方数です。取り出す前と後で数の値は変わりません。形を短くするために別の数へ変える計算ではない、と意識します。

練習したい出方は3つあります。1つ目は、1つの根号の中から平方数を見つけ、外に出せる数が残らない形に直す型です。2つ目は、形の違う数を簡単化し、根号の中をそろえて係数を比較する型です。3つ目は、根号の中をそろえにくい数を、符号に注意しながら二乗して比べる型です。以下の問題は、それぞれの判断を練習するために作ったものです。

どの型でも、まず問題が求めているものを読みます。簡単化なら等しい値の別の表し方を書きます。大小比較なら不等号の向きまで答えます。数の前にマイナスがある場合は、計算の途中で消さないようにして、正の数と同じ向きで比べてよいかを先に判断します。

根号を含む数は、見慣れない形のままでも数直線上の位置が決まっています。近似値に直さなくても、等しい形への変形や二乗を使えば正確に比べられます。根号の中の数字や外の係数だけを眺め、片方が大きいから全体も大きいと決める方法は使えません。

2個の同じ素因数を組にする

素数は、1より大きい整数で、正の約数が1とその数自身の2つである数です。整数を素数の積で表すことを素因数分解といいます。例えば72は2×2×2×3×3です。同じ素因数が2個そろうと、その積は平方数になります。2の組は4、3の組は9なので、72の中には4×9という平方数が隠れています。

正の数a、bについて、√(a×b)は√a×√bと表せます。図1のように72を組に分けると、√4は2、√9は3です。残った2は組を作れないため、根号の中に残ります。外に出した2と3も掛け合わせると6になり、√72は6√2です。

図1のように、組の中の2個を両方とも外に書くわけではありません。2×2の組から出るのは2が1個です。逆に外の6を根号の中に戻すときは、6そのものではなく6²の36を中の2に掛けます。36×2が72に戻るので、値が変わっていないことを確かめられます。

素因数分解を最後まで書かなくても、平方数が見えれば使えます。例えば√48なら48を16×3と見て4√3です。4×12として2√12まで進めても誤りではありませんが、12にまだ4が含まれます。さらに2を外へ出すと4√3となります。取り出した後の根号の中に、1以外の平方数が因数として残っていないかが仕上げの目印です。

根号の中が素数なら、1以外の平方数は因数にありません。1の場合は√1が1なので根号自体が消えます。0の平方根を表す√0も0です。素因数分解で組を探す方法は正の整数に使い、0は別に扱います。また、根号の前に既に係数がある場合は、取り出した数をその係数に掛けます。

基本例題：分けてから外に出す

次の数を、根号の中に1以外の平方数の因数が残らない形に直してください。答えは整数と根号を使って表します。

問題：√108を簡単化してください。

まず108を素因数に分け、同じ数を2個ずつ組にします。図2のように、2の組と3の組をそれぞれ1つ見つけます。

1行ずつ書くと次のようになります。

√108 = √(2×2×3×3×3) = √(4×9×3) = 2×3×√3 = 6√3

答えは6√3です。最初の行から最後の行まで、表し方は違っても同じ数を表します。図2の2つの組はそれぞれ4と9になり、外に出る数はそれぞれ2と3です。最後の3は1個なので、根号の中に残します。

確認では、外の6を二乗した36を、残った3に掛けます。36×3は108です。また、6√3は正の数で、その二乗は108です。√108も二乗すると108になる正の数なので、答えは元の数に戻っています。二乗値が一致することに加え、正負も確かめる点が大切です。

もし108を4×27と見つけた場合は、まず2√27になります。ここで止めると27に9という平方数が残っています。27を9×3に分けて2×3√3とすれば、同じ6√3に到着します。最初から最大の平方数36を見つけられなくても、残りを点検して進めれば構いません。

反対に、108を6×18と分けただけでは、6も18もそのまま根号の外には出せません。積を作れたことと、平方数を見つけたことは別です。それぞれをさらに素因数に分け、同じ数の組を探すと、どの数を外に出せるかが明確になります。

少し難しい例題：負の数では順番が逆になる

次の2つの数を、不等号を使って大小比較してください。必要な変形を示し、近似値は使わないものとします。

問題：-√80と-3√10を比べてください。

まず符号を見ると、どちらも負の数です。正の数どうしを比べる方法をそのまま当てると、順番を間違えるおそれがあります。そこで、マイナスを一時的に外した√80と3√10の大小を調べ、最後に数直線で負の側へ戻します。

√80 = √(16×5) = 4√5です。一方の3√10は、根号の中に平方数の因数がありません。根号の中を同じ数にそろえる方法では直接比べにくいため、どちらも正であることを確認して二乗します。

√80の二乗は80です。3√10の二乗は9×10で90です。80 < 90なので、正の数では√80 < 3√10です。両方にマイナスを付けると、0から遠い数ほど小さくなるため、答えは-√80 > -3√10です。

この判断は元の形でも確かめられます。-√80の絶対値の二乗は80、-3√10の絶対値の二乗は90です。後者のほうが0から遠く、どちらも負なので後者が左側にあります。二乗すると負の符号が消えるため、二乗した結果の向きをそのまま負の数の比較に使ってはいけません。

一方、比べる数の符号が異なれば二乗する必要はありません。正の数は負の数より大きいからです。どちらも正で、簡単化後に根号の中が同じなら、共通の正の数に掛ける係数を比べます。同じ形にそろうか、符号は同じかを先に見てから方法を選びます。

外へ出す数を間違えたら

誤答の例として、√45 = 9√5と書いた場合を考えます。45を9×5と分けるところまでは正しいのですが、9をそのまま外へ移しています。9は3の二乗なので、外に出るのは3です。図3のように、正しくは√45 = 3√5です。

図3の誤答を元に戻すと、9²×5 = 405となり45に一致しません。正しい形なら3²×5 = 45です。外の係数を二乗し、根号内に掛けて元へ戻すと、見た目に惑わされずに誤りを見つけられます。

途中まで正しくても、根号内に平方数が残る失敗もあります。√48を2√12とした後、12が4×3だと気づけば、もう一度2を取り出せます。2√12の値自体は正しいものの、簡単化を終えた答えとしては4√3まで進めます。元に戻す検算と、これ以上取り出せるかの点検は役割が違います。

大小比較では、外の係数だけを比べる誤りもあります。根号の中が異なると、係数が大きい数が必ず大きいとは限りません。正の数どうしなら各数を二乗して比べる方法に切り替えます。負の数が混じるときは、先に符号を確認し、両方が負なら絶対値の大小と答えの向きが逆になることを確かめます。

練習問題

次の4問はすべて自作です。問題をまとめて解いてから、下の答えと途中の判断を照らし合わせてください。簡単化では根号内に1以外の平方数の因数が残らない形にし、比較では不等号を使います。いずれも近似値は使いません。

1. √180を、整数と根号を使って簡単化してください。
2. 2√28を、整数と根号を使って簡単化してください。
3. √75と2√12を簡単化し、不等号で大小を表してください。
4. -2√7と-√30を、不等号で大小を表してください。

答えと解き方

1. 180 = 2×2×3×3×5 = 36×5です。したがって√180 = 6√5です。外の6を二乗して5に掛けると36×5 = 180に戻ります。5は素数なので、根号の中に取り出せる平方数は残っていません。

途中で180 = 4×45と分けた場合も、√180 = 2√45と進めます。さらに45 = 9×5なので、2×3√5 = 6√5です。2√45のままでは値は同じですが、9が残っているため指定された形には届きません。

2. 28 = 4×7なので、2√28 = 2×2√7 = 4√7です。もとの2は消さず、取り出した2と掛けます。答えを二乗すると16×7 = 112で、もとの2√28を二乗した4×28 = 112と一致します。どちらも正なので同じ数です。

係数の2を忘れて2√7とすると、二乗は28にしかなりません。もとの式では√28が2個分あることを確かめると、なぜ係数も掛けるのかが見えます。根号内の7に平方数の因数はなく、ここで簡単化を終えられます。

3. √75 = √(25×3) = 5√3、2√12 = 2√(4×3) = 4√3です。同じ正の√3が、それぞれ5個分と4個分なので、√75 > 2√12です。元の数の二乗はそれぞれ75と4×12 = 48で、どちらも正ですから、この順序を別の方法でも確認できます。

根号内の75と12をそのまま比べると、後者の前にある2を無視してしまいます。今回は結果の向きがたまたま同じでも、その考え方では確かめになりません。両方を同じ根号の形にそろえるか、係数を含む式全体を二乗します。

4. 絶対値の2√7と√30はともに正です。それぞれを二乗すると28と30なので、2√7 < √30です。負の数に戻すと向きが逆になり、-2√7 > -√30です。答えの左側は0に近く、右側は0から遠い負の数です。

負のまま二乗すると28 < 30となりますが、この不等号をそのまま答えにすると逆です。絶対値を比べていることを明記し、最後に負の数の位置に戻します。元の式にある係数2も二乗するので、2×7の14ではなく4×7の28になります。

比較の方法を選ぶ目印

簡単化した2つの数で根号の中が一致したら、共通する正の数を1単位として係数を比べられます。一致しない場合は、無理に同じ形を作ろうとせず、符号を見てから二乗すると判断しやすくなります。例えば正の数どうしでは、大きい数の二乗も大きくなります。これは大きい数に同じ正の数を掛け、さらに掛ける数も大きくすることを考えると確かめられます。

ただし、二乗は符号を消す操作です。負の数どうしでは絶対値を比べた後、数直線上の左右に戻して答えます。符号が違う場合は0を境にして比べればよく、余分な計算をせずに済みます。方法を選ぶ前に各数の正負を一言書く習慣が、向きを取り違えたときの手がかりになります。

覚えておくこと

• 根号の中で同じ素因数を2個組にすると、外にその数を1個出せます。
• 外の係数を二乗して根号内に掛け、元の数に戻るか確かめます。
• 根号内に1以外の平方数の因数が残っていないか点検します。
• 大小比較は符号を見てから、同じ形にそろえるか正の数どうしを二乗します。
• 両方が負なら、絶対値の大小と元の数の大小は逆になります。

途中のどこで迷ったかを見分ける

答えが違ったときは、まず素因数分解の積が元の数になるかを見ます。積が合わなければ分解の段階に戻り、積が合っていれば同じ素因数を2個ずつ組にできたかを調べます。組が正しいのに外の数が違えば、平方数そのものを移していないか、外の数を二乗して確かめます。

個別指導では、計算の結果だけでなく、どの平方数を見つけて何を外に出したかを口にしてもらうと、判断の分かれ目が見えます。お子さまが途中の形で止まった場合は、値の誤りと簡単化の不足を分けて確認します。大小比較なら符号、比較する数全体、最後の不等号の順にたどります。取り出す前後で値が変わらないことが、平方根の簡単化の軸です。