数検3級 平方根の意味—平方根と根号が表す数を分けて正負を答える練習｜武蔵野個別指導塾

9の平方根と√9の違い、負の数の二乗に根号を付けたときの判断を例題でたどり、正負を選ぶ手がかりは平方根の意味です。

よくあるのは、平方根を聞かれて正の数だけを書き、答え合わせで負の数も必要だと気づく場面です。正の数を二乗して元の数に戻ることは確認できています。それでも負の数を同じように二乗するとどうなるかを試さないと、もう一方の答えが抜けます。一方、根号が付いた式の値を聞かれたときは、いつでも正負の2つを並べるわけではありません。問いの言葉と記号を分けて読み、どの数を答えるかを決めましょう。

問いの言葉で分かれる3つの型

1つ目は、ある数の平方根を求める型です。たとえば正の数の平方根を聞かれたら、二乗してその数になる数を探します。正と負の両方を候補にして、それぞれを二乗して戻すことが答えの確認になります。0の場合は正と負に分かれず、答えは0の1つです。

2つ目は、√が付いた式そのものの値を求める型です。根号の中が正のとき、√の記号は正の平方根を表します。記号の前にマイナスが付けば、その正の平方根にマイナスを付けた数です。根号の中身の平方根を全部求める問いとは、答える対象が違います。

3つ目は、文字や負の数を二乗したものに根号が付く型です。√(a²)は、aの値が負でも負にはなりません。文字の符号がわかるときは、数直線で0からの距離を考えて表し直します。符号が決まっていなければ絶対値を使えます。

この3つは見た目が似ていますが、問題文の「平方根」「値」と、根号の範囲を読むと分かれます。ここでは実数の範囲で考え、負の数の平方根を実数として求める問いにも触れます。根号を含む複雑な計算や近似値は扱いません。

二乗して戻る数と根号の約束

数を二乗するとは、その数自身を2回掛けることです。4の二乗は16で、-4の二乗も16です。正の数と負の数では、掛け算の符号が違うように見えても、負どうしの積は正になります。そこで16の平方根は4と-4の2つです。±4とまとめても、4と-4の両方を表します。

図1のように、正負の2つの数から同じ16へ二乗の矢印が向かいます。矢印を逆にたどる問いが「16の平方根」です。片方の矢印だけを戻すと、条件を満たすもう1つを落とします。

図1では√16も示しています。√16は16の平方根のうち正の方を表すので4です。-√16はその反対の-4です。±√16なら2つをまとめて表します。根号自体に「正と負の両方」という意味はありません。√0は0であり、0も非負の数です。

絶対値は数直線で0からその数までの距離です。距離は負にならないので、4の絶対値も-4の絶対値も4です。aが正なら√(a²)はa、aが負なら-a、aが0なら0です。これらを一度に書くと√(a²) = |a|です。負のaに対する-aは正になります。たとえばa = -4なら-a = 4で、マイナス記号があるからといって値も負とは限りません。

また、実数の二乗は0以上です。正の数の二乗は正、負の数の二乗も正、0の二乗は0です。したがって、二乗した結果が負の数になる実数はありません。「負の数の平方根」という言葉を見たときも、最初に二乗して戻る実数があるかを調べます。0は負ではないため、この場合と分けます。

基本例題：問いを読み替えてから答える

次の各問いに、整数で答えてください。平方根を求める問いでは、条件に合う数をすべて答えます。

ア 25の平方根を求める。

イ √25の値を求める。

ウ -√25の値を求める。

図2のように、まず25に二乗して戻る数を考え、次に根号の有無とその前の符号を見ます。3問とも25を使いますが、求めているものは同じではありません。

アの考え方を1行ずつ追います。

5 × 5 = 25です。

(-5) × (-5) = 25です。

正の数の二乗と負の数の二乗が同じ25になりました。

したがって、25の平方根は5と-5、すなわち±5です。

イでは√25が表すのは25の正の平方根です。

したがって、√25 = 5です。

ウでは√25の値5の前にマイナスが付いています。

したがって、-√25 = -5です。

確認すると、アの5と-5はどちらも二乗すると25です。イの5は正で、二乗すると25です。ウの-5はイの値の反対の数で、二乗すれば同じく25に戻ります。ただし二乗が25になるという確認だけでは、イとウのどちらかを選べません。最後に元の式の符号へ戻る必要があります。

もしアに5だけを書いたら、(-5)²も25になることを試します。逆にイに±5と書いたら、√25という記号が正の方を指す約束を確かめます。数を二乗する操作と記号の読み方を別々に点検すると、どこで間違えたかが見えます。

なお、根号の中の数が0なら√0 = 0です。0の平方根も0なので、この場合は問いが違っても答えが一致します。これを見て常に答えが同じだと考えず、正の数で正負の両方を試すと違いをつかめます。

少し難しい例題：文字の符号を先に見る

aは負の数で、a² = 49です。aと√(a²)の値を、それぞれ整数で求めてください。

まず、二乗して49になる数を探します。7² = 49、(-7)² = 49なので候補は7と-7です。ここでaは負という条件がありますから、a = -7を選びます。7は二乗の条件を満たしても、負という条件を満たしません。

次にa² = 49を根号の中へ戻します。√(a²) = √49 = 7です。あるいは√(a²) = |a|と考え、|-7| = 7としても同じです。aが負のとき、|a|は-aと表せます。ここで-a = -(-7) = 7です。

答えはa = -7、√(a²) = 7です。元の条件に戻すと、-7は負であり、その二乗は49です。また7は非負で、二乗するとa²の49に戻ります。両方を確認することで、文字に入れる数と根号が表す数を取り違えた場合を見つけられます。

判断の分かれ目は、aの符号が与えられているかどうかです。もし二乗の値だけが与えられ、符号の条件がなければ、aの候補は7と-7の両方です。それでも√(a²)はどちらの場合も7です。さらにaの具体的な値も符号も与えられていない式なら、勝手にaや-aのどちらかに決めず、|a|と残します。a = 0の可能性も含めた表現です。

括弧の位置も見てください。(-7)²は負の数全体を二乗するので49です。一方、-7²は7²にマイナスを付けた-49です。根号に入れる式が何を表すのかを、計算の前に読む習慣が役立ちます。

誤答を直す：何を求めたかに戻る

「36の平方根は6」と答えた場合、6² = 36という確認は正しくても、候補を調べ終えていません。図3のように-6も二乗して36に戻ります。問いが平方根を求めているなら、6と-6の両方が答えです。書いた答えが条件を満たすかという確認に加え、反対の符号も条件を満たすかを調べます。

図3の訂正は「√36 = 6」という式を否定するものではありません。√36の値を聞かれたら6でよいのです。36の平方根を聞かれたときに限らず、まず問題文が数の集合を求めているのか、1つの式の値を求めているのかを指で追うと、直すべき場所が明確になります。

別の誤りは√((-8)²) = -8とすることです。括弧の中を二乗すると64なので、左辺は√64 = 8です。答えを二乗すると64に戻るという点では-8も合いますが、根号の値は非負という条件には合いません。二乗で戻す検算と、符号の条件の検算の両方を行います。

また「0の平方根は0と-0の2つ」と数えるのも誤りです。-0は0と同じ数なので、異なる2つの数ではありません。さらに、負の数について無理に正負の答えを書いてはいけません。実数を二乗して負にはならないため、負の数の平方根は実数の範囲では存在しません。正、0、負を分けて考えると、例外を覚える負担が減ります。

根号の範囲を読み直す

√の横線がどこまでかかっているかも、値を決める手がかりです。√(16)と√((-4)²)は、どちらも根号の中が16になり、値は4です。後者に負の数が見えても、その負号は二乗される数の一部です。根号の外に残る符号ではありません。

一方、-√16のマイナスは根号の外にあります。まず√16を4と読み、その反対の-4を取ります。これらの式は二乗すると同じ16に戻るため、二乗の確認だけでは区別できません。根号の範囲と外側の符号を別の印で囲んでから値を決めると、確認の順序がはっきりします。

文字の場合も同様です。aが負であれば、a²は正になり、√(a²)は正です。aが0であれば根号の中も値も0です。aが正であれば√(a²)はaと等しくなります。どの場合にも0からの距離を表す|a|なら、符号の条件を付けずにまとめられます。式を書き換えた後は、正、負、0の例をそれぞれ代入して、書き換え前と同じ値になるかを点検できます。

答えが1つか2つかを先に決めるのではなく、二乗した結果と符号の条件から選びます。途中で符号が変わったように見えるときは、どの操作をしたかを1行ずつ書き戻しましょう。

練習問題

次の4問はそれぞれ独立しています。数を答える問題は整数または根号を使った正確な形で答え、条件に合う数が複数あるときはすべて書いてください。実数の範囲で考えます。

1. 81の平方根を求めてください。
2. √12と-√12がそれぞれ正、0、負のどれかを答えてください。また、それぞれの数を二乗した値を整数で答えてください。
3. bは負の数で、b² = 121です。bと√(b²)をそれぞれ整数で求めてください。
4. 0を二乗するとどの数になるかを参考に、0の平方根を求めてください。また、-16の平方根が実数の範囲にあるか答え、理由を書いてください。

練習問題の答えと解き方

1. 答えは9と-9、すなわち±9です。9 × 9 = 81、(-9) × (-9) = 81です。どちらも元の「二乗して81」という条件に戻るので、正の9だけで終えません。二乗すると81になる正の数は9、負の数はその反対の-9です。

2. √12は正、-√12は負です。12が正なので、√12は二乗して12になる正の数を表します。その反対の数は負です。それぞれを二乗すると、どちらも12です。元の記号に戻して、前にマイナスのない方を正、ある方を負と照合します。±を√12の値として付け足さないことも確認してください。

3. 答えはb = -11、√(b²) = 11です。11² = 121、(-11)² = 121ですが、bは負という条件から-11を選びます。その二乗は121なので、√(b²) = √121 = 11です。元の条件に戻すと、-11は負で、その二乗は121です。根号の値11は非負で、二乗すると121に戻ります。

4. 0の平方根は0です。0² = 0であり、0以外の実数を二乗すると正になるため、別の値はありません。数の計算で確かめると、0 × 0 = 0となり、元の数に戻ります。-16の平方根は実数の範囲にはありません。どんな実数を二乗しても0以上であり、-16に戻る数を作れないからです。0の場合と負の場合を一緒に扱わず、二乗の結果がそれぞれの数になるかを調べます。

覚えておくこと

正の数の平方根は、絶対値が等しい正と負の2つです。0の平方根は0の1つです。

√は0以上の平方根を表し、その前のマイナスは値を反対にします。

√(a²) = |a|です。aの符号が不明なら、そのままaとはできません。

実数の二乗は負にならないので、負の数の平方根は実数の範囲にはありません。

答えの抜け方から見えるつまずき

正の平方根だけを書く場合は、負の数の二乗を計算してもらい、正の結果になるかを確認します。掛け算はできるのに答えが1つなら、問題文の「平方根」が複数の数を求めている点を見直します。反対に、√の値にも常に±を付ける場合は、根号が表す数を1つ選ぶ約束に戻ります。

個別指導で確かめる箇所は、問いの対象、二乗の符号、根号の非負性、文字の符号の順です。お子さまが途中を口に出して説明すると、計算の誤りと、問いの読み違いを分けて扱えます。平方根の答えは、二乗して戻ることと元の問いの両方で決まります。