数検3級 因数分解の公式—積と和から整数の組を選んで展開で確かめる練習｜武蔵野個別指導塾

積が合っても和の符号が違う組をどう直すか、展開による点検まで、因数分解の公式を追います。

よくあるのは、積が合う整数の組を見つけ、和の符号を確かめないまま括弧に入れる場面です。たとえば積が正なら、2つとも正の場合と2つとも負の場合があります。積だけでは、どちらを選ぶか決まりません。和まで戻って確かめると、符号の違いが見えてきます。

ここでは、x²の係数が1の二次式を、整数を使った括弧の積に直します。平方の形と平方の差も扱います。複雑な係数を処理する方法には広げず、選んだ組を展開して元の式へ戻すことに集中します。

積と和を使う3つの型

因数分解は、和や差で表された式を積の形に直すことです。たとえば、2つの括弧を掛けて得られた式から、もとの括弧を探します。答えが式として等しいかは、括弧を展開して項ごとに比べれば確かめられます。

1つ目は、定数の積が正の型です。積が正なら、整数の符号は同じです。和が正なら両方を正、和が負なら両方を負にします。どちらも負なら積は正ですが、和は負です。積の符号と和の符号を別々に見る必要があります。

2つ目は、定数の積が負の型です。整数の符号は異なります。和の符号は、絶対値の大きい数の符号と同じになります。ただし符号だけで候補を確定せず、実際に足して中央の係数に合うか調べます。

3つ目は、同じ式の平方や平方の差に気づく型です。平方の形では、両端が平方であることに加え、中央の項が2つの数の積の2倍になっているか確かめます。平方の差では中央の項がなく、2つの平方が引き算で結ばれています。形が似ていても条件が違うため、式全体を見て選びます。

2つの整数が受け持つ場所

(x+a)(x+b)を展開すると、x²+ax+bx+abです。中央の2項をまとめると、x²+(a+b)x+abになります。つまり括弧の中の整数aとbは、掛け算では定数項、足し算ではxの係数を作ります。

図1のように、積と和は同じ2数から作られます。定数項とxの係数を逆に読まないよう、元の式に印をつけてから候補を探すと整理しやすくなります。

図1ではaとbを順に入れ替えても積は同じです。したがって、括弧の順番が違う答えは同じ因数分解です。一方、片方の符号を変えると一般には別の式になります。順序と符号を同じ扱いにしないことが大切です。

積から組を探すときは、まず正の約数の組を並べます。その後、積の符号に合わせて符号を付け、和で絞ります。和が合わない場合は、計算の途中を消す前に、掛けた結果と足した結果を別々に書くと、どこでずれたか見つけられます。

平方の公式は、aとbが同じ数の場合です。たとえば(x+p)²は(x+p)(x+p)なので、展開するとx²+2px+p²です。負の場合もpに負の数を入れれば同じ関係が成り立ちます。中央の符号は、括弧の中の数の符号に対応します。

平方の差はx²-p²=(x+p)(x-p)です。展開すると、中央の+pxと-pxが打ち消し合います。2つの括弧は和と差の組になり、定数の積は負になります。足し算の平方にこの形を当てはめないよう、引き算の位置も確かめます。

基本例題：正の積から負の和を選ぶ

問題：x²-7x+12を整数を使って因数分解し、括弧の積で答えなさい。

定数項は+12、xの係数は-7です。求める2整数の積は12、和は-7です。正の約数の組を小さい数から順に調べます。

1. 1と12は積が12、和が13です。
2. 2と6は積が12、和が8です。
3. 3と4は積が12、和が7です。
4. 積が正で和が負なので、両方を負にします。
5. -3と-4の積は12、和は-7です。
6. 答えは(x-3)(x-4)です。

図2のように、正の組で大きさを探し、符号を付けて和を照合します。図2の最後の組は、元の式の定数項と中央の係数の両方を作っています。

答えを展開して、元の式へ戻します。

(x-3)(x-4) = x²-4x-3x+12 = x²-7x+12

x²の項、xの項、定数項がそれぞれ一致しました。これは方程式を解く問題ではなく、式を等しい積に直す問題です。xに特定の値を入れた結果が偶然一致するだけでは、式全体の確認には足りません。展開して各項を比べるところまで行います。

候補の途中で2と6を選ぶと、両方を負にしても和は-8です。積が合っても、中央の項が-8xになり、元の-7xとは違います。条件を2つ並べてから候補を選ぶと、この違いを見落としにくくなります。

少し難しい例題：負の積と和の符号

問題：x²+2x-35を整数を使って因数分解し、括弧の積で答えなさい。

積が-35、和が+2になる整数の組を探します。積が負なので、2数の符号は異なります。35の正の約数の組は1と35、5と7です。異符号にしたときの和を考えると、1と35では34または-34、5と7では2または-2になります。

和を+2にしたいので、大きい方の7を正、小さい方の5を負に選びます。7と-5は、積が-35、和が2です。したがって答えは(x+7)(x-5)です。

展開するとx²-5x+7x-35となり、中央をまとめてx²+2x-35に戻ります。積の-35と和の+2の両方が元の式に一致しています。

ここで分かれ目になるのは、和の符号です。-7と5も積は-35ですが、和は-2です。その組から作る(x-7)(x+5)は、中央の項が-2xになります。積だけで選ぶと見た目の似た別の式に変わってしまいます。

また、候補が一度で見つからない場合は、積の絶対値の約数を順に書いて戻ります。候補の順番に決まりはありませんが、同じ組を何度も試すより、片方を小さい順に並べる方が抜けを防げます。整数の組が見つからない式に出会ったら、無理に数字を当てはめず、対象とする数の範囲や式の写し間違いを確認します。

誤答を展開して、ずれた項から直す

基本例題のx²-7x+12に対し、(x+3)(x+4)と書いたとします。3と4の積は確かに12ですが、和は+7です。図3のように展開すると、中央は+7xになります。

図3の誤答では定数項が合っているため、最後の数だけ見ても間違いに気づけません。xの係数まで元の-7と比較することが必要です。2数とも負に直すと、積は正の12のまま、和が-7になります。

別の間違いとして、x²+6x+9を(x+3)(x-3)にする場合もあります。両端の平方に目を向けていますが、この積は中央が消え、定数項が-9になります。正しくは(x+3)²です。中央の6xは3xが2つ集まったものだと確かめます。

反対にx²-9を(x-3)²とすると、展開結果はx²-6x+9です。中央の項が生じ、定数項の符号も変わります。平方の差なら、符号が反対の括弧を掛けて中央が消えることを確かめます。

書き直すときは、答えの括弧だけを眺めず、元の式の3つの項と展開結果を縦に対応させます。合う項と合わない項を分ければ、符号の修正で済むのか、整数の大きさから探し直すのか判断できます。

候補を並べても決まらないとき

積と和の条件を表にすると、試した結果を後からたどれます。たとえば積が正なら、正の組を並べたあと、その和が求める係数の絶対値に合うか見ます。合った組には、和の符号に合わせて2つとも同じ符号を付けます。負の組を最初から思いつけなくても、正の約数から順にたどれます。

積が負なら、正の約数の組の差が必要な和の絶対値に合うかを見ます。差が合っても、どちらを正にするかで和の符号が変わります。そこで符号を付けた後、もう一度実際に足します。差だけを見て括弧を書き始めると、最後の符号確認が抜けやすくなります。

途中で候補を取り違えた場合は、まず元の定数項を写し直します。次に、選んだ2数を掛けた値と足した値を別の行に書きます。どちらが違うかで修正の方向が決まります。積も違うなら大きさを探し直し、積が合って和の符号だけが逆なら符号を見直します。

平方の形を使う前の確認

両端が平方に見えるだけでは、式全体が平方とは限りません。中央の項が、括弧の中の2項を掛けたものの2倍になっている必要があります。中央が不足したり符号が違ったりする式を、見た目だけで平方にすると元へ戻りません。

逆に、平方の差では2つの平方の間が引き算であることが入口です。積に直した後、一方の括弧から出る中央の項と、もう一方から出る中央の項が反対の符号で同じ大きさになるか確かめます。2つが消えて元の式に中央の項が残らないことまで確認すると、公式の形に頼り切らずに判断できます。

練習で誤ったときも、答えを見てすぐ書き換える前に、自分の括弧を展開します。元の式と違う項に印を付け、積の条件と和の条件のどちらを満たしていなかったか言葉にします。その後に整数の組を選び直せば、同じ符号の誤りを次の式で点検できます。

練習問題

次の式をそれぞれ整数を使って因数分解し、括弧の積または平方の形で答えなさい。まず4問を続けて解き、その後で解答と比べます。

1. x²+9x+20
2. x²-3x-28
3. x²-10x+25
4. x²-49

解答と確かめ

1. 答えは(x+4)(x+5)です。4と5の積は20、和は9です。展開するとx²+5x+4x+20となり、元の式に戻ります。積が正で和も正なので、2数とも正です。1と20、2と10も積は20ですが、和は9になりません。

2. 答えは(x-7)(x+4)です。-7と4の積は-28、和は-3です。展開するとx²+4x-7x-28で、中央の項をまとめれば元の式になります。積が負なので異符号を選び、和が負になるよう絶対値の大きい方を負にしています。

3. 答えは(x-5)²です。25は5の平方で、-10xは-5xが2つ分です。(x-5)(x-5)を展開するとx²-5x-5x+25になり、元の式に一致します。定数項が正だからといって括弧内を正にすると、中央の符号が逆になります。

4. 答えは(x+7)(x-7)です。49は7の平方で、式はx²と7²の差です。展開するとx²-7x+7x-49となり、中央が消えてx²-49に戻ります。(x-7)²では中央が消えないので、差の形と区別します。

どの問題も、答えを展開して与えられた式の各項に戻ることを確認しました。平方で書いた答えも、同じ括弧を2回掛けた形に戻して展開できます。答えの括弧を逆の順に書いても、掛ける順序が違うだけなので正解です。

解答を見比べる際には、どの2数を選んだかも確認します。括弧の中の数の順序を入れ替えても、展開した結果は変わりません。平方の形で答えた場合は、同じ括弧が2つあることを表しています。見た目の違いに迷ったときは、展開して元の式になるかで判断できます。

もし途中で和と積の役割が混ざったら、括弧を文字のまま展開した式に戻ります。xに掛かる数は2つの交差する項から生まれ、定数項は括弧内の数どうしの積から生まれます。この由来をたどると、暗記した順番を思い出せなくても、条件を立て直せます。

覚えておくこと

積は定数項、和はxの係数に合わせます。
正の積では符号が同じ、負の積では符号が異なります。
平方は中央が同じ項2つ分かを確かめます。
平方の差は符号の異なる括弧で中央が消えます。
最後は展開して元の各項と比べます。

つまずきの場所を見分ける

積は合うのに和が合わないときは、約数探しより符号の選択を見直します。積も合わないときは、定数項を読み取って約数の組を書き出すところからやり直します。和は合うのに積が違うときは、足し算だけで候補を決めていないか確認します。

個別指導では、お子さまが候補を声に出して説明するとき、積と和のどちらを先に見て、なぜその符号を選んだかを確かめます。答えだけを訂正するのではなく、展開した3つの項と元の式を対応させれば、次の問題でも自分で誤りを見つけられます。積と和の両方がそろった整数の組が、元の式へ戻る道を示します。確認は計算の最後まで続きます。