高校化学 気体の状態方程式—定期テストで温度と圧力の単位をそろえて体積と分子量を求める｜武蔵野個別指導塾

摂氏から絶対温度への換算と、質量から分子量を求める手順を、具体例でたどる気体の状態方程式です。

よくあるのは、範囲表で気体の計算を見つけ、授業ノートの式に摂氏温度をそのまま入れてしまう場面です。小テストの解答では温度に273を足しているのに、なぜそうするのかが曖昧だと、条件が変わった問題で手が止まります。まず学校の範囲表、ノート、小テストを並べ、圧力や体積に使っている単位も確かめましょう。ここでは単一の理想気体の状態変化と分子量測定を扱います。混合気体の分圧は扱いません。

どの量を残して比べるか

出題の型の1つは、一定量の気体を圧縮したり温めたりして、変化後の体積を求めるものです。最初と後の圧力、体積、温度を書き分け、変化しない量を見つけます。温度一定なら圧力と体積の積、圧力一定なら体積と絶対温度の比が手掛かりです。両方が変わる場合は、積を温度で割った値を前後で比べます。

もう1つの型は、圧力、体積、温度から気体の物質量を求めるものです。与えられた気体定数と単位をそろえて状態方程式に入れます。さらに質量が与えられれば、質量を物質量で割って分子量を求められます。同じ記号の式でも、状態の前後を比べる問題か、1つの状態から物質量を求める問題かで、必要な情報は異なります。

学習範囲の照合には、高等学校学習指導要領の「化学」にある状態・溶液の内容を目安にし、実際の進度は学校の資料で確認します。

温度と圧力を式に渡す前に

気体の状態を表す量を、圧力 p、体積 V、物質量 n、絶対温度 T とします。理想気体は、これらが pV = nRT の関係に従うと考える気体です。R は気体定数です。計算では問題に与えられた R の数値だけでなく、圧力と体積に付いた単位も使います。理想気体として扱うという条件の下で式を使いましょう。

絶対温度の単位は K です。摂氏 t ℃ からは T = t + 273 と換算します。例えば 27 ℃ は 300 K です。0 ℃ でも絶対温度は 273 K なので、摂氏の数字を式に直接入れてはいけません。温度差は摂氏でも K でも同じ数になりますが、状態方程式で使うのは温度差でなく、それぞれの状態の絶対温度です。

図1のように、最初に与えられた温度を K に直し、圧力と体積の単位を R に合わせてから式へ進みます。圧力が kPa、体積が L なら、例えば R = 8.3 kPa·L/(mol·K) という与え方ができます。Pa を使う場合、1 kPa = 1000 Pa です。また 1 L = 0.001 m³ なので、圧力と体積をそれぞれ変換する必要があります。

図1の左から順に確認すると、計算の途中で 27 と 300 が混ざる失敗を防げます。単位を添えた式を書けば、与えられた R と合うかも見直せます。圧力の数字だけを1000倍して体積の単位をそのままにした場合は、使う R の単位まで確認し直します。

一定量の気体では nR が一定です。温度一定なら pV が一定となり、圧力を2倍にすると体積は半分になります。これがボイルの法則です。圧力一定なら V/T が一定となり、絶対温度を2倍にすると体積も2倍になります。これがシャルルの法則です。気体の出入りがあれば n が変わるため、前後の pV/T を等しくすることはできません。

状態方程式の両辺には同じ状態の値を入れます。例えば容器の大きさが固定されているなら、加熱後も体積は一定ですが、圧力は変化します。一方、外から圧力を一定に保てる条件なら、温度の変化に伴って体積が変わります。容器の形を想像するだけで一定量を決めず、問題文が固定している条件に線を引きましょう。与えられていない量を勝手に一定とせず、求めたい量を文字で残して関係式を作ることが出発点です。

基本例題：温度も圧力も変える

密閉した容器内の一定量の気体を理想気体とします。はじめの状態は 27 ℃、100 kPa、6.0 L です。気体の出入りがないまま、温度を 127 ℃、圧力を 200 kPa にしました。後の体積を有効数字2桁で L 単位で求めてください。温度換算には 273 を用います。

はじめと後の状態をそれぞれ 1、2 とすると、物質量が変わらないので、次の関係が成り立ちます。

p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂

まず温度を変換します。T₁ = 27 + 273 = 300 K、T₂ = 127 + 273 = 400 K です。次に、求める体積を V₂ L として、値と単位を対応させます。

100 × 6.0 / 300 = 200 × V₂ / 400

左辺は 2.0、右辺は V₂/2 です。したがって V₂ = 4.0 L です。割り算の順序を見失う場合は、先に V₂ = p₁V₁T₂/(T₁p₂) と変形してから代入しても同じ結果になります。

図2のように、圧力が2倍になる効果と絶対温度が 300 K から 400 K になる効果を分けて考えると、答えの向きも調べられます。圧力だけを2倍にすれば体積は 3.0 L、そこから絶対温度が 4/3 倍になれば体積は 4.0 L です。この順番は計算上の整理で、実際の操作の順番を指定するものではありません。

答えを元の条件へ戻すと、後の pV/T は 200 × 4.0 / 400 = 2.0 です。はじめの 100 × 6.0 / 300 と一致します。圧力を2倍にしながら温度も上げているため、体積は半分の 3.0 L より大きく、元の 6.0 L より小さくなるという見通しにも合います。片方の効果だけで答えを決めず、両方を反映したか確かめてください。

この問題では R を数値として使わずに済みました。前後とも同じ気体の物質量であり、両辺の nR が等しいからです。容器が密閉されていても気体が液体になるなどして気体の物質量が変わる条件なら、この等式はそのまま適用できません。問題の状態と、気体として残る量に注意します。

発展例題：質量から分子量へ

ある純粋な気体 2.8 g が、27 ℃、100 kPa で 2.49 L を占めています。この気体を理想気体とし、R = 8.3 kPa·L/(mol·K)、絶対温度への換算には 273 を使います。気体の分子量を有効数字2桁で求めてください。分子量は無単位の値で答えます。

最初に T = 27 + 273 = 300 K とします。状態方程式から n = pV/(RT) なので、次のように代入します。

n = 100 × 2.49 / (8.3 × 300) = 0.10 mol

ここで質量を m g、モル質量を M g/mol とすると、m = nM です。したがって M = 2.8 / 0.10 = 28 g/mol です。この値に対応する分子量は 28 です。質量を体積で割ると密度は出ますが、そのままでは分子量にはなりません。1 mol が占める体積も温度と圧力によって変わるため、与えられた状態から物質量を求めます。

逆算して条件へ戻しましょう。分子量 28 に対応するモル質量 28 g/mol と 2.8 g から、物質量は 2.8 / 28 = 0.10 mol です。これを式に戻すと V = 0.10 × 8.3 × 300 / 100 = 2.49 L となり、与えられた体積を復元できます。質量、圧力、温度、体積の対応が取れています。

分かれ目は、同じ気体の前後を比べるか、質量から未知の分子量を出すかです。前者では一定の nR を消して比を作れます。後者では n 自体が必要なので、R の数値と単位を使います。分子量の問題でも、異なる状態の体積が示されたときは、どの状態の p、V、T を組にするかを書いてから計算します。別々の状態の圧力と体積を組み合わせると、式の形が合っていても答えは条件を表しません。

誤答を見つけて戻す

基本例題で「温度が 27 ℃ から 127 ℃ だから、体積に 127/27 を掛ける」とした解答を考えます。この比は摂氏の数値の比であり、シャルルの法則に使う比ではありません。原因は、温度差と絶対温度の比を区別せず、問題文の数字を直接式に入れたことです。図3のように 300 K と 400 K に直し、温度の倍率を 400/300 = 4/3 と修正します。

図3の修正後も、圧力が変化する基本例題では、圧力の倍率を別に反映する必要があります。温度の修正だけで計算を終えないようにします。0 ℃ を代入して体積が0になるという結果が出たときも、摂氏を使っていないか最初に見直しましょう。

もう1つの誤りは、R の圧力の単位が kPa なのに、与えられた Pa の数値をそのまま入れることです。例えば 100000 Pa は 100 kPa です。数字を変える前後に単位を書き、どちらの単位系の R を使うかを決めます。答えが1000倍違うときは、小数点を動かすだけでなく、圧力と体積の両方の換算をたどり直します。

最後に、分子量を求める問題で n を求めた後、n/m としてしまうことがあります。m/n の単位は g/mol ですが、n/m の単位は mol/g です。求めたいモル質量の単位を先に書き、分子と分母を決めると直せます。

練習：条件を読み分ける

次の気体はすべて理想気体とし、温度の換算には 273、必要なら R = 8.3 kPa·L/(mol·K) を使います。数値は計算のために与えた条件です。各問の答えは有効数字2桁とし、途中では丸めません。

1. 一定量の気体が 20 ℃、150 kPa で 8.0 L あります。温度を一定に保って圧力を 300 kPa にしたときの体積を L 単位で求めてください。
2. 一定量の気体が 27 ℃、一定の圧力で 3.0 L あります。圧力を変えず 327 ℃ にしたときの体積を L 単位で求めてください。
3. 気体 0.20 mol が 27 ℃、166 kPa にあります。体積を L 単位で求めてください。
4. 純粋な気体 4.4 g が 27 ℃、100 kPa で 2.49 L を占めます。分子量を無単位で求めてください。

練習の答えと道筋

1. 温度と物質量が一定なので、圧力と体積の積が等しくなります。後の体積を V L とすると、150 × 8.0 = 300 × V です。よって V = 4.0 L です。後の積は 300 × 4.0 = 1200 で、前の 150 × 8.0 = 1200 に戻ります。圧力が2倍なので体積が半分という向きも合います。

2. 温度はそれぞれ 300 K と 600 K です。圧力と物質量が一定なので、3.0/300 = V/600 と置きます。V = 3.0 × 600/300 = 6.0 L です。逆に 6.0/600 = 3.0/300 となり、はじめの状態に戻せます。摂氏の 327/27 を倍率にしないことが要点です。

3. pV = nRT を V について解くと、V = nRT/p です。T = 300 K なので、V = 0.20 × 8.3 × 300 / 166 = 3.0 L です。戻して確かめると、166 × 3.0 = 498、0.20 × 8.3 × 300 = 498 です。両辺は同じ圧力と体積の単位で一致します。

4. T = 300 K、n = 100 × 2.49 / (8.3 × 300) = 0.10 mol です。モル質量は 4.4 / 0.10 = 44 g/mol、分子量は 44 です。0.10 mol と 44 g/mol の積は 4.4 g で、元の質量に戻ります。また 0.10 × 8.3 × 300 / 100 = 2.49 L なので、体積の条件も満たします。質量だけでなく、気体の状態にも答えを戻すと立式の取り違えを見つけやすくなります。

手元に残す要点

• 摂氏温度に273を足し、絶対温度 K で式に入れます。
• 一定量の前後では pV/T を比べ、変化しない条件を明示します。
• pV = nRT では圧力と体積の単位を R に合わせます。
• 分子量は質量と物質量から求め、条件に戻して確かめます。

途中式からつまずきを探す

答えが合わないときは、まず温度の行に K が書かれているかを見ます。次に、前後で同じ物質量と判断した根拠、p と V と T が同じ状態に属しているかを確認します。単位まで合っていれば、式の変形と四則計算を順にたどります。数値が大きくずれた場合も、最初から解き直す前にこの順で調べると、どこから修正すべきかを絞れます。

個別指導で確かめるなら、生徒が書いた式の各記号を問題文の条件に結び付け、一定とした量を自分の言葉で説明できるかを見ます。分子量の問題では、求めた物質量を質量と体積の両方へ戻してもらいます。温度を K に直した理由まで説明できれば、別の数値でも同じ筋道を使えます。気体の状態は、単位をそろえた4つの量の関係で読み解けます。