高校化学 結晶格子—定期テストで単位格子に含まれる粒子を数えて密度を求める｜武蔵野個別指導塾

頂点や面で共有する原子の数から密度まで、配位数との違いも押さえる題材は結晶格子です。

よくあるのは、立方体の絵に描かれた頂点の原子を丸ごと数え、単位格子の中に8個あると答えてしまう場面です。まず学校の範囲表で結晶格子の対象を見て、授業ノートの図と小テストの数え方を照合しましょう。同じ球の絵でも、格子に所属する割合と、ある粒子に隣接する粒子の数は別の情報です。ここでは金属結晶と代表的なイオン結晶を用い、単位格子の粒子数、配位数、密度を結び付けます。結合の種類全体の復習には広げません。学習範囲の照合先である高等学校学習指導要領の化学には、物質の状態が含まれます。

どの数を答える問題か

出方の1つは、単位格子の頂点、面心、体心にある粒子を数える問題です。絵に見える球の個数ではなく、隣の単位格子と分け合った後の個数を求めます。位置ごとに寄与を掛け、最後に足します。粒子の種類が複数ある場合は、それぞれを別々に数えて比を確かめます。

2つ目は配位数です。注目した粒子から最も近い距離にある粒子を数えます。単位格子の境界を越えた隣も対象ですから、単位格子に含まれる粒子数と一致するとは限りません。イオン結晶では何のイオンの周囲の何を数えるかまで書きます。

3つ目は密度です。単位格子の質量を体積で割ります。粒子数とモル質量から質量を出し、辺の長さをcmに直して体積を出します。原子半径から辺を求める問題では、球が接する方向を図で確認してから式を作ります。問題で与えられた格子の配置と接触条件を使い、実在の結晶の測定値として扱わないことも大切です。

共有と近さは別々に考える

単位格子は、平行に繰り返すと結晶全体を表せる基本の立体です。立方体の頂点は8個の立方体に共有されるため、頂点の粒子1個が1つの格子に寄与する数は1/8です。辺上の粒子は4個で共有されて1/4、面心の粒子は2個で共有されて1/2、内部の粒子は1個分です。図1のように位置と寄与を対応させると、見える球の数をそのまま足す誤りを避けられます。

図1の割合は、境界上に中心がある粒子についての数え方です。原子の物理的な切断を意味するのではなく、繰り返す立体に平均して割り当てるための考え方です。例えば頂点8か所だけなら8 × 1/8 = 1個です。面心が6か所加われば6 × 1/2 = 3個が加わります。図の位置の分類を先に行い、数と割合を掛けてから合計します。

金属の体心立方格子は頂点8か所と体心1か所に原子があるので、1格子あたり2個です。最も近い原子の数、すなわち配位数は8です。面心立方格子は頂点8か所と面心6か所に原子があり、1格子あたり4個、配位数は12です。配位数を確かめる際は、注目した原子から同じ最短距離にある原子を隣の格子まで含めます。個数の2と8、4と12は、それぞれ別の問いへの答えです。

代表的なイオン結晶にも、粒子ごとの数え分けが必要です。塩化ナトリウム型では、一方のイオンが頂点と面心、他方が辺の中心と体心にある立方体を取れます。前者は8 × 1/8 + 6 × 1/2 = 4個、後者は12 × 1/4 + 1 = 4個です。比は1:1で、それぞれのイオンの配位数は6です。塩化セシウム型では頂点に一方、体心に他方を置くと各1個、各イオンの配位数は8です。両者では粒子の配置が異なるので、名前だけでなく問題の図を見て数えましょう。

イオンの配位数を数えるときは、同符号のイオンを混ぜないことも必要です。塩化ナトリウム型の頂点の陰イオンを中心にすると、辺の方向に最も近い陽イオンが並びます。立方体の内部に見える方向だけで終わらせず、隣の立方体側にも同じ配置が続くと考えます。各軸の正負の方向に2個ずつあり、合計6個です。これは陰イオンが単位格子に4個あることとは異なる数え方です。

密度を求める問題でイオン結晶を扱うなら、両方のイオンの質量を足します。化学式の単位が格子内に何組あるかを数え、その物質の式量に対応するモル質量を使います。片方のイオンだけの質量では結晶全体の質量になりません。組の数と配位数を混ぜず、電荷のつり合いも確かめます。

基本例題：面心立方格子の密度

ある金属の結晶は面心立方格子を作ります。単位格子の1辺を4.0 × 10⁻⁸ cm、金属のモル質量を60 g/mol、アボガドロ定数を6.0 × 10²³ /molとします。単位格子に含まれる原子数を整数で、密度を有効数字2桁のg/cm³で求めてください。値はこの問題のために与えたものです。

図2のように頂点と面心の寄与を足してから、1格子の質量と体積を別々に求めます。原子数をモル質量に直接掛けると、1個の質量と1 molの質量を混同するので、アボガドロ定数で割る段階を省きません。

頂点からの寄与は8 × 1/8 = 1個です。面心からの寄与は6 × 1/2 = 3個です。したがって1格子の原子数は1 + 3 = 4個です。4個の原子の物質量は4/(6.0 × 10²³) molです。

その質量は4 × 60/(6.0 × 10²³) = 4.0 × 10⁻²² gです。一方、立方体の体積は(4.0 × 10⁻⁸ cm)³ = 6.4 × 10⁻²³ cm³です。密度は質量を体積で割って、4.0 × 10⁻²²/(6.4 × 10⁻²³) = 6.25 g/cm³となります。最後に有効数字2桁に丸め、答えは6.3 g/cm³です。

逆に、丸める前の6.25 g/cm³に体積6.4 × 10⁻²³ cm³を掛けると4.0 × 10⁻²² gに戻ります。この質量を60 g/molで割り、6.0 × 10²³ /molを掛けると原子4個に戻るので、与えられた配置と整合します。図2では数、質量、体積の順を示しています。配位数12は近さの情報であり、この質量に掛ける数ではありません。

接している方向で辺の式を選ぶ

少し難しい例として、半径 r = 1.0 × 10⁻⁸ cmの同じ大きさの原子が体心立方格子を作るとします。原子は体対角線上で接し、モル質量は48 g/mol、アボガドロ定数は6.0 × 10²³ /molとします。単位格子の辺 a を根号を用いてcmで、密度を根号を含む正確な式でg/cm³として求めてください。

体対角線は立方体の内部を通り、頂点、体心、反対側の頂点の原子の中心を結びます。接している2組の中心間距離はそれぞれ2rですから、体対角線の長さは4rです。立方体の面の対角線は三平方の定理から√2a、体対角線は√3aです。よって√3a = 4r、a = 4r/√3 = 4√3 × 10⁻⁸/3 cmです。

1格子の原子数は8 × 1/8 + 1 = 2個なので、質量は2 × 48/(6.0 × 10²³) = 1.6 × 10⁻²² gです。体積はa³ = 64r³/(3√3) = 64 × 10⁻²⁴/(3√3) cm³です。割り算をすると密度は1.6 × 10⁻²² × 3√3/(64 × 10⁻²⁴) = 7.5√3 g/cm³です。途中の根号は丸めません。

逆に、求めた辺から体対角線を計算すると√3a = 4rとなり、2組の接触距離の合計に戻ります。また密度に体積を掛ければ1.6 × 10⁻²² gになり、原子2個分の質量に戻ります。辺と原子が接する方向を取り違えると、この条件には戻りません。

分かれ目は格子の種類と接触条件です。面心立方格子で頂点と面心が面対角線上で接するなら、面対角線について√2a = 4rを使います。体心立方格子の√3a = 4rをそのまま流用しないでください。接触を仮定しない問題では、半径から辺を決める根拠がないため、与えられた辺の長さを使います。

間違えた式を戻して点検する

図3のように、頂点8個をそのまま8個と数え、面心立方格子を8 + 6 = 14個とする誤答を考えます。原因は絵に描かれた球と、1格子に割り当てる粒子の数の混同です。頂点を8格子、面心を2格子で共有することを式に戻し、8 × 1/8 + 6 × 1/2 = 4個に修正します。図3の左右は同じ配置を別の方法で数えた結果です。

もう1つの誤りは配位数12を1格子の原子数として密度に使うことです。配位数は1個の原子を中心とする近傍の数で、質量を計算するための所属数ではありません。配置図に戻り、格子の境界を基準に4個と数える操作と、中心から最短距離の原子を12個数える操作を分けます。問いに「周囲」とあれば中心を、「含まれる」とあれば立方体の範囲を印で示すと、数える対象が明確です。

単位の誤りも結果を大きく変えます。辺をcmで求める指定なのに別の長さの単位の数値をそのまま使うと、体積では換算のずれが3乗されます。式の前に辺の単位を書き、体積の単位がcm³、質量がgになっているか点検してください。密度に体積を掛けても元の質量に戻らなければ、計算か単位のどちらかに戻って調べます。

自分で数えて試す

次の問題では、各条件に書いた値を使います。近似する指定のない答えは整数または正確な分数で表してください。

1. ある立方体の単位格子には、同種の原子が頂点8か所と体心1か所にあります。1格子に含まれる原子数と配位数をそれぞれ整数で求めてください。
2. ある面心立方格子の金属は、1辺が2.0 × 10⁻⁸ cm、モル質量が30 g/molです。アボガドロ定数を6.0 × 10²³ /molとし、密度を有効数字2桁のg/cm³で求めてください。
3. 塩化ナトリウム型の格子で、陰イオンを頂点と面心、陽イオンを辺の中心と体心に置きます。各イオンの1格子あたりの個数、個数比、陰イオンのまわりの陽イオンの配位数を整数で求めてください。
4. 面心立方格子を作る同じ大きさの原子の半径を3.0 × 10⁻⁸ cmとし、面対角線上で接するとします。辺の長さを根号を用いてcmで求め、面対角線が接触条件を満たすことを示してください。

解答と途中の考え方

1. 頂点の寄与は8 × 1/8 = 1個、体心は1個です。したがって原子数は2個です。体心の原子から最も近い原子は周囲の8頂点にあるため、配位数は8です。頂点の原子を中心に選んでも隣接する格子を含めて体心の原子が8個あり、同じ結果に戻ります。

2. 原子数は8 × 1/8 + 6 × 1/2 = 4個です。質量は4 × 30/(6.0 × 10²³) = 2.0 × 10⁻²² g、体積は(2.0 × 10⁻⁸)³ = 8.0 × 10⁻²⁴ cm³です。密度は25 g/cm³です。25 × 8.0 × 10⁻²⁴ = 2.0 × 10⁻²² gと戻り、この質量は与えたモル質量で原子4個分です。

3. 陰イオンは8 × 1/8 + 6 × 1/2 = 4個です。陽イオンは12 × 1/4 + 1 = 4個です。個数比は陰イオン:陽イオン = 1:1、陰イオンの周囲の陽イオンの配位数は6です。両種が1価で符号が反対なら、格子あたりの電荷は相殺されます。辺の中心を数え忘れた場合は、陽イオンが体心の1個しか残らず、与えられた配置の12か所を反映していないと気づけます。

4. 面対角線上の頂点、面心、反対の頂点の中心を結ぶと、その長さは4rです。√2a = 4rよりa = 2√2r = 6.0√2 × 10⁻⁸ cmです。代入すると√2a = 12 × 10⁻⁸ cmで、4r = 12 × 10⁻⁸ cmに一致します。体対角線を用いた式では、この面での接触条件に戻りません。

手元に残す要点

• 頂点、辺、面、内部の寄与は順に1/8、1/4、1/2、1です。
• 単位格子に属する数と、最短距離にある粒子の配位数を分けます。
• 密度は1格子の質量を1格子の体積で割ります。
• 半径から辺を求めるときは、接する方向を先に決めます。

式のどこで止まったかを見る

最初の式が8 + 6なら、共有の割合を図に書き込むところから確かめます。粒子数は正しいのに密度が合わない場合は、1 molの質量を1個の質量に直したか、辺を3乗したかを順に見ます。個別指導で確認するなら、答えを聞くだけでなく、本人に格子の外側まで図を延ばして頂点を共有する立体を示してもらうと、割合の根拠を確かめられます。

配位数で止まった場合は、注目する粒子と最短距離を色や印で指定し、境界の向こうを含めて数え直します。半径の式で止まった場合は、接する球の中心を結んだ線が面対角線か体対角線かを説明してもらいます。最後に密度から質量へ戻し、与えられた粒子数に一致するかを点検すれば、計算の経路と結晶格子の配置がつながります。